Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Định nghĩa
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α). Khi đó ta còn nói (α) vuông góc d và kí hiệu d ⊥ (α) hoặc (α) ⊥ d.
Hình vẽ minh họa
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định lí 1
|
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
|
 |
Hệ quả 1
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.
3. Tính chất
Tính chất 1
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Chú ý: Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB.
Tính chất 2
|
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
|
 |
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng SI ⊥ (ABCD).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Để chứng minh SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ta cần chứng minh SI vuông góc với hai cạnh cắt nhau trong mặt phẳng đó.
Theo giả thiết, ∆SAC và ∆SBD là tam giác cân tại S.
Hơn nữa I = AC ∩ BD là trung điểm của AC và BD (do ABCD là hình vuông). Từ đó ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{SI \bot AC} \\
{SI \bot BD} \\
{AC \cap BD = I}
\end{array}} \right. \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\)
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất 3
Hình vẽ minh họa
a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Tóm tắt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a//b} \\
{\left( \alpha \right) \bot a}
\end{array}} \right. \Rightarrow (\alpha ) \bot b\)
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tóm tắt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a \bot (\alpha )} \\
{b \bot (\alpha )}
\end{array}} \right. \Rightarrow a//b\)
Tính chất 4
Hình vẽ minh họa
a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Tóm tắt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( \alpha \right)//(\beta )} \\
{a \bot (\alpha )}
\end{array}} \right. \Rightarrow a \bot (\beta )\)
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau
Tóm tắt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( \alpha \right) \bot a} \\
{\left( \beta \right) \bot a}
\end{array}} \right. \Rightarrow (\alpha )//(\beta )\)
Tính chất 5
Hình vẽ minh họa
a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng (α) thì cũng vuông góc với a.
Tóm tắt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a//(\alpha )} \\
{b \bot (\alpha )}
\end{array}} \right. \Rightarrow b \bot a\)
b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.
Tóm tắt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a \not\subset (\alpha )} \\
{a \bot b} \\
{\left( \alpha \right) \bot b}
\end{array}} \right. \Rightarrow a//\left( \alpha \right)\)
5. Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc
a) Phép chiếu vuông góc
Hình vẽ minh họa
Cho đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α). Phép chiếu song song theo phương của ∆ lên mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α).
b) Định lí ba đường vuông góc
Hình vẽ minh họa
Định lí 2
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.
c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Hình vẽ minh họa
Định nghĩa
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α):
- Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng 900.
- Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d’ của nó trên (α) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).
Chú ý: Nếu \(\varphi\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có \({0^0} \leqslant \varphi \leqslant {90^0}\)
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA = a\sqrt 6\) và SA vuông góc (ABCD). Hãy xác định các góc giữa:
a) SC và (ABCD)
b) SC và (SAB)
Hướng dẫn giải
a) Vì AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD) => Góc giữa SC và (ABCD) là \(\widehat {SCA}\)
Trong tam giác SCA, ta có:
\(\begin{matrix}
\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{SC}} = \sqrt 3 \hfill \\
\Rightarrow \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SCA} = {60^0} \hfill \\
\end{matrix}\)
b) Vì BC ⊥ (SAB) tại B nên SB là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB)
=> \(\left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SC,SB} \right) = \widehat {CSB}\)
Trong tam giác SCB, ta có:
\(\begin{matrix}
\tan \widehat {SCB} = \dfrac{{BC}}{{SB}} = \dfrac{a}{{a\sqrt 7 }} \hfill \\
\Rightarrow \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \arctan \dfrac{1}{{\sqrt 7 }} \hfill \\
\end{matrix}\)
