Xác suất của biến cố
Định nghĩa
Cho 
\(T\) là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu \(\Omega\) là một tập hữu hạn.
Giả sử \(A\) là một biến cố được mô tả bằng \({{\Omega }_{A}}\subset \Omega\). Xác suất của biến cố \(A\), kí hiệu bởi \(P(A)\) cho bởi công thức:
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
Trong đó \(n(A)\) là số kết quả thuận lợi của biến cố \(A\), \(n(\Omega)\) là số kết quả có thể xảy ra của phép thử (hay số phần tử không gian mẫu).
2. Tính chất của xác suất
Định lí
Giả sử \(A\) và \(B\) là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó ta có:
a) \(P\left( \emptyset \right) = 0;P\left( \Omega \right) = 1\)
b) \(0 \leqslant P\left( A \right) \leqslant 1\) với mọi biến cố \(A\)
c) Nếu \(A\) và \(B\) xung khắc thì
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)
Chú ý: Các biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc nếu và chỉ nếu chúng không khi nào cùng xảy ra.
Hệ quả
Với mọi biến cố \(A\) ta có:
\(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right)\)
Với \({\overline A }\) là biến cố đối của biến cố \(A\).
Mở rộng quy tắc cộng xác suất
- Cho n biến cố \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},....,{{A}_{n}}\) đôi một xung khắc. Khi đó:
\(P\left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup {{A}_{3}}\cup ...\cup {{A}_{n}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( {{A}_{2}} \right)+...+P\left( {{A}_{n}} \right)\)
- Giả sử \(A\) và \(B\) là 2 biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó:
\(P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)+P\left( AB \right)\)
Ví dụ: Từ một hộp gồm 6 viên bị xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngấu nhiên hai viên bi.
a) Tính xác suất để thu được hai viên bi cùng màu.
b) Tính xác suất để thu được hai viên bi khác màu.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^2\)
a) Gọi A là biến cố "Lấy được hai viên bi cùng màu"
\({A_1}\) là biến cố: "Lấy được hai viên bi cùng màu xanh"
\(\begin{matrix}
\Rightarrow n\left( {{A_1}} \right) = C_6^2 \hfill \\
\Rightarrow P\left( {{A_1}} \right) = \dfrac{{n\left( {{A_1}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{C_6^2}}{{C_{10}^2}} \hfill \\
\end{matrix}\)
\({A_2}\) là biến cố: "Lấy được hai viên bi cùng màu đỏ"
\(\begin{matrix}
\Rightarrow n\left( {{A_2}} \right) = C_4^2 \hfill \\
\Rightarrow P\left( {{A_2}} \right) = \dfrac{{n\left( {{A_2}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{C_4^2}}{{C_{10}^2}} \hfill \\
\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}
\Rightarrow P\left( A \right) = P\left( {{A_1} \cup {A_2}} \right) \hfill \\
= P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) \hfill \\
= \dfrac{{C_6^2}}{{C_{10}^2}} + \dfrac{{C_4^2}}{{C_{10}^2}} = \dfrac{7}{{15}} \hfill \\
\end{matrix}\)
b) Gọi B là biến cố: " Lấy được hai viên bi khác nhau".
Vì chỉ có hai màu xanh hoặc đỏ nên ta có: \(B = \overline A\)
=> \(P\left( B \right) = P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = \frac{8}{{15}}\)
Quy tắc nhân xác suất
Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi \(P(AB) = P(A).P(B)\)
Ví dụ: Có 2 hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ, hộp thứ
hai chứa 5 quả cầu xanh và 4 quả cầu đỏ. Lấy mỗi hộp 1 quả cầu. Tính xác suất để lấy được hai quả cầu xanh.
Hướng dẫn giải
Gọi A là biến cố “lấy được quả cầu xanh ở hộp thứ nhất” và B là biến cố “lấy được quả cầu xanh ở hộp thứ hai”. Khi đó ta có:
\(P\left( A \right) = \frac{3}{7};P\left( B \right) = \frac{5}{9}\)
Kết quả việc lấy quả cầu ở hộp thứ nhất không ảnh hưởng đến kết quả lấy quả cầu ở hộp thứ hai và ngược lại nên A và B là hai biến cố độc lập.
Xác suất cần tìm là: \(P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{3}{7}.\frac{5}{9} = \frac{5}{{21}}\)
3. Xác suất điều kiện
Định nghĩa
Xác suất có điều kiện của biến cố \(A\) với điều kiện biến cố \(B\) là một số được xác định bởi công thức:
\(P(AB) = P(A).P(B)\) nếu \(P(B)>0\)
Tính chất
a) \(P\left( {A|B} \right) \geqslant 0\)
b) \(P\left( {\Omega |B} \right) = P\left( {B|B} \right) = 1\)
c) Nếu \({A_i},i = \overline {1,n}\) là các biến cố đôi một xung khắc thì \(P\left( {\mathop \cup \limits_{i = 1}^n {A_i}|B} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {P\left( {{A_i}|B} \right)}\)
d) \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\) \(= P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)\)
Chú ý: Xác suất điều kiện cho phép tính xác suất xảy ra của một biến cố khi biến cố khác đã xảy ra. Trong trường hợp hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập thì việc biến cố \(B\) xảy ra không ảnh hưởng gì tới việc xảy ra của biến cố \(A\) nên \(P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right)\). Ta được công thức nhân xác suất thông thường.
Định lí
Nếu \({B_i},i = \overline {1,n}\) là hệ các biến cố đôi một xung khắc cho \(\mathop \cup \limits_{i = 1}^n {B_i} = \Omega\) thì với biến cố \(A\) bất kì thì ta luôn có:
\(P\left( A \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {P\left( {{B_i}} \right).P\left( {A|{B_i}} \right)}\)
Hệ các biến cố \({B_i},i = \overline {1,n}\) như vậy gọi là hệ đầy đủ.
Định lí
Cho biến cố \(A\) và hệ đầy đủ \({B_i},i = \overline {1,n}\) đều có xác suất dương. Khi đó:
\(P\left( {{B_i}|A} \right) = \frac{{P\left( {{B_i}} \right).P\left( {A|{B_i}} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)
\(= \frac{{P\left( {{B_i}} \right).P\left( {A|{B_i}} \right)}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {P\left( {{B_i}} \right).P\left( {A|{B_i}} \right)} }}\)
Ví dụ: Một công ty một ngày sản xuất được 850 sản phẩm trong đó có 50 sản phẩm không
đạt chất lượng. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm để kiểm tra.
a) Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng biết sản phẩm thứ nhất đạt chất
lượng.
b) Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng.
Hướng dẫn giải
a) Gọi Ak là biến cố sản phầm thứ k không đạt chất lượng (k = 1, 2).
Do sản phẩm thứ nhất không đạt chất lượng nên còn 49 sản phẩm không đạt chất lượng trong tổng số 849 sản phẩm. Vậy xác suất cần tìm là:
\(P\left( {{A_2}|{A_1}} \right) = \frac{{49}}{{849}}\)
b) Do \({{A_1}}\) và \(\overline {{A_1}}\) là hệ biến cố đầy đủ nên theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\(\begin{matrix}
P\left( {{A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}|{A_1}} \right) \hfill \\
+ P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {{A_2}|\overline {{A_1}} } \right) \hfill \\
= \dfrac{{50}}{{850}}.\dfrac{{49}}{{849}} + \dfrac{{800}}{{850}}.\dfrac{{50}}{{849}} \hfill \\
= \dfrac{1}{{17}} \hfill \\
\end{matrix}\)
