Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm

Chú ý: 

• Đại lượng \(\Delta x = x - {x_0}\)được gọi là số gia của đối số \({x_0}\).
• Đại lượng \(\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)\(= f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy:

\(y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \({{x_0}}\) bằng định nghĩa ta có quy tắc sau đây:

Cách 1:

Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x₀, tính:

\(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)

Bước 2: Lập tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\).

• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) tồn tại hữu hạn thì tại x₀ hàm số có đạo hàm là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) không tồn tại hữu hạn thì tại x₀ hàm số không có đạo hàm

Cách 2: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) tồn tại hữu hạn thì tại x₀ hàm số có đạo hàm là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) không tồn tại hữu hạn thì tại x₀ hàm số không có đạo hàm.

Ví dụ: Cho hàm số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}{\text{ khi x}} \ne {\text{0}}} \\ {\dfrac{1}{4}{\text{ khi x = 0}}} \end{array}} \right.\). Dùng định nghĩa đạo hàm đã biết hãy tính đạo hàm của hàm số tại x = 0.

Hướng dẫn giải

Thực hiện tính đạo hàm bằng định nghĩa như sau:

\(\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } \right)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \dfrac{1}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}\)

3. Mối liên hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiên cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm \({{x}_{0}}\) nhưng hàm đó không có đạo hàm tại \({{x}_{0}}\).

Đạo hàm bên trái \(f'\left( {{x}_{0}}^{-} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\)

Đạo hàm bên phải \(f'\left( {{x}_{0}}^{+} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\)

Hệ quả:

Ví dụ: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\text{x}}^2}{\text{ - 1 khi x}} \geqslant {\text{0}}} \\ {{\text{ - }}{{\text{x}}^2}{\text{ khi x < 0}}} \end{array}} \right.\). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A. Hàm số không liên tục tại x = 0	B. Hàm số không có đạo hàm
C. Hàm số liên tục tại x = 2	D. Hàm số có đạo hàm tại x = 0

Hướng dẫn giải

Xét các giới hạn như sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = - 1} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = 0} \end{array}} \right.\)

Do nên hàm số không liên tục tại x = 0

Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0

Chọn đáp án D.

4. Ý nghĩa của đạo hàm

a. Ý nghĩa hình học

b. Ý nghĩa vật lí

Bài toán 1: Xét chuyển động thẳng \(s=f\left( t \right)\)

\(\Rightarrow\) Vận tốc tức thời tại điểm \({{t}_{0}}\) là: \(v\left( {{t}_{0}} \right)=s'\left( {{t}_{0}} \right)=f'\left( {{t}_{0}} \right)\)

\(\Rightarrow\) Gia tốc tức thời tại điểm \({{t}_{0}}\) là đọa hàm cấp 2 của phương trình chuyển động hay nói cách khác gia tốc tức thời là đạo hàm bậc 1 của vận tốc tức thời tại điểm \({{t}_{0}}\).

\(a\left( {{t}_{0}} \right)=f''\left( {{t}_{0}} \right)=v'\left( {{t}_{0}} \right)\)

Bài toán 2: Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:

\(Q=f\left( t \right)\)

Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \({{t}_{0}}\):

\(I\left( {{t}_{0}} \right)=Q'\left( {{t}_{0}} \right)=f'\left( {{t}_{0}} \right)\)

II. Đạo hàm trên một khoảng

Mở rộng kiến thức

Định lý Rolle:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] (với a < b), có đạo hàm trên khoảng (a; b) và f(a) = f(b) thì luôn tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f’(c) = 0.

Định lý Lagrange:

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] (với a < b), có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một số c ∈ (a; b) sao cho \(f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b{\text{ }} - {\text{ }}a}}\).