Đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho mặt phẳng 
\(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(d\), ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: \(d\) và \((\alpha)\) không có điểm chung
Hình vẽ minh họa
- Ta nói \(d\) song song với \(\left( \alpha \right)\) hay \(\left( \alpha \right)\) song song với \(d\)
- Kí hiệu là \(\left( \alpha \right)//d\) hay \(d //\left( \alpha \right)\)
Trường hợp 2: \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) có một điểm chung duy nhất
Hình vẽ minh họa
- Ta nói \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) cắt nhau tại điểm \(G\)
- Kí hiệu \(d\cap \left( \alpha \right)=\left\{ G \right\}\) hay \(\left( \alpha \right)\cap d =\left\{ G \right\}\)
Trường hợp 3: \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) có nhiều hơn hai điểm chung
Hình vẽ minh họa
- Ta nói đường thẳng d nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) hoặc \(\left( \alpha \right)\) chứa \(d\)
- Kí hiệu \(d\subset \left( \alpha \right)\) hay \(\left( \alpha \right) \subset d\)
II. Tính chất
Định lí
Nếu đường thẳng \(d\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(d\) song song với đường thẳng \(d’\) nằm trong \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) song song với \(d’\).
| Hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{d \not\subset \left( \alpha \right)} \\
{d//d'} \\
{d' \subset \left( \alpha \right)}
\end{array}} \right. \Rightarrow d//\left( \alpha \right)\) |
Hình vẽ minh họa
|
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao
cho MB = 2MC. Chứng minh rằng đường thẳng MG song song với mặt phẳng (ACD).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Gọi N là trung điểm của AD.
Ta có: \(\frac{{BG}}{{BN}} = \frac{2}{3}\) (Vì G là trọng tâm tam giác ABD).
Theo giả thiết, ta có: MB = 2MC => \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}\)
Tam giác BCN có \(\frac{{BG}}{{BN}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}\)
=> \(MG // CN\)
Mà \(MG \not\subset \left( {ACD} \right),CN \subset \left( {ACD} \right)\)
\(= > MG//\left( {ACD} \right)\)
Định lí
Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Nếu mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa \(a\) và cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến \(b\) thì b song song với \(a\).
| Hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a//\left( \alpha \right)} \\
{a \subset \left( \beta \right)} \\
{\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = b}
\end{array}} \right. \Rightarrow a//b\) |
Hình vẽ minh họa
|
Hệ quả
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
| Hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{d//\left( \alpha \right)} \\
{d//\left( \alpha \right)} \\
{\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = d'} \\
{\left( \alpha \right) \ne \left( \beta \right)}
\end{array}} \right. \Rightarrow d//d'\) |
Hình vẽ minh họa
|
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AD. Gọi I là trung điểm của
SB. Gọi (P) là mặt phẳng qua I, song song với SD và AC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng của (P) và (SBD).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Ta có:
\(\begin{matrix}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{I \in \left( P \right) \cap \left( {SBD} \right)} \\
{\left( P \right)//SD} \\
{SD \subset \left( {SBD} \right)}
\end{array}} \right. \hfill \\
\Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SBD} \right) = Ix \hfill \\
\end{matrix}\)
Trong đó \(Ix // SD\). Gọi \(Ix ∩ BD = K\)
\(=> (P) ∩ (SBD) = IK\)
Định lí: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
|
Chú ý: Cho
|
Hình vẽ minh hoa
|
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi (α) là mặt phẳng qua trung điểm của cạnh AC, song song
với AB và CD. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (α).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Gọi I, J, L, K lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Ta có:
\((α) ∩ (BCD) = JL\)
\((α) ∩ (ABD) = LK\)
\((α) ∩ (ACD) = IK\)
Do đó \((α) ∩ (ABCD) = IJLK\) . Dễ thấy IJLK là hình bình hành.
