Đạo hàm cấp hai
Định nghĩa: Giả sử hàm số 
\(y=f(x)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in \left( {a;b} \right)\). Khi đó hệ thức \(y' = f'\left( x \right)\) xác định một hàm số mới trên khoảng \((a;b)\). Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đó là đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=f(x)\) và kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f'' (x)\).
Các bước tính đạo hàm cấp hai như sau:
Bước 1: Tính đạo hàm cấp một y’.
Bước 2: Tính đạo hàm của đạo hàm cấp một ta được đạo hàm cấp hai.
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{x}{{x - 2}}\)
b) \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(y = \frac{x}{{x - 2}}\)
\(\begin{matrix}
\Rightarrow y' = \left( {\dfrac{x}{{x - 2}}} \right)' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \hfill \\
\Rightarrow y'' = \left( {y'} \right)' = \left( {\dfrac{{ - 2}}{{x - 2}}} \right)' = 2.\dfrac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}} \hfill \\
\end{matrix}\)
b) Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\)
\(\begin{matrix}
\Rightarrow y' = \left( {x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)' = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \hfill \\
\Rightarrow y'' = \left( {y'} \right)' = \left[ {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right]' = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \hfill \\
\end{matrix}\)
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp 2
- Nếu một chất điểm chuyển động có phương trình \(s=s\left( t \right)\) thì vận tốc tại thời điểm \(t_{0}\) của chất điểm đó là \(v\left( {{t}_{0}} \right)=s'\left( {{t}_{0}} \right)\)
- Nếu \({{t}_{0}}\) nhận một số gia \(\Delta t\) thì \(v\left( {{t}_{0}} \right)\)nhận một số gia \(\Delta v=v\left( {{t}_{0}}+\Delta t \right)-v\left( {{t}_{0}} \right)\) . Khi \(\left| \Delta t \right|\) càng nhỏ (khác 0) thì \(\Delta v\) càng phản ánh chính xác sự biến thiên vận tốc của chất điểm tại thời điểm \({{t}_{0}}\).
- Trong cơ học, giới hạn hữu hạn của tỉ số \(\frac{\Delta v}{\Delta t}\) khi \(\Delta t\) dần đến 0 được gọi là gia tốc tức thời tại thời điểm \({{t}_{0}}\) của chất điểm đó, và kí hiệu là \(a\left( {{t}_{0}} \right)\). Vậy:
\(a\left( {{t}_{0}} \right)=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta v}{\Delta t}\)
Ví dụ: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = t3 – 3t2 – 9t. Trong đó, t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động khi t = 3s.
Hướng dẫn giải
Ta có vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:
v(t) = s’(t) = 3t2 – 6t – 9
Suy ra vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là:
a(t) = v’(t) = (3t2 – 6t – 9)2 = 6t – 6
Khi đó gia tốc của chuyển động khi t = 3s là:
a(3) = 6.3 – 6 = 12 (m/s)
Vậy gia tốc của chuyển động khi t = 3s là 12m/s.
3. Đạo hàm cấp cao
- Đạo hàm cấp 3 của hàm số \(y=f(x)\) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là \(y'''\) hoặc \(f'''(x)\) hoặc \({f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)\).
- Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp n – 1, kí hiệu là \({f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)\), \(\left( {n \in \mathbb{N};n \geqslant 4} \right)\). Nếu\({f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)\) có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu là \({y^{\left( n \right)}}\) hoặc \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\).
\({{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)=\left[ {{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right) \right]'\)
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {2x + 5} \right)^5}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
f\left( x \right) = {\left( {2x + 5} \right)^5} \hfill \\
\Rightarrow f'\left( x \right) = 10{\left( {2x + 5} \right)^4} \hfill \\
\Rightarrow f''\left( x \right) = 80{\left( {2x + 5} \right)^3} \hfill \\
\Rightarrow {f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = 480{\left( {2x + 5} \right)^2} \hfill \\
\end{matrix}\)
4. Công thức đạo hàm cấp cao
- \({{\left( {{x}^{m}} \right)}^{\left( n \right)}}=m\left( m-1 \right)...\left( m-n+1 \right).{{x}^{m-n}}\)
- \({{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{a}^{x}}.{{\ln }^{n}}a,a>0\)
- \({{\left( \cos x \right)}^{\left( n \right)}}=\cos \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)\)
- \({{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\left( n \right)}}=\left( -1 \right).n!.{{x}^{-n-1}}\)\({{\left( \ln x \right)}^{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}\left( n-1 \right)!}{{{x}^{n}}}\)
- \({{\left( \sin x \right)}^{\left( n \right)}}=\sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)\)
- \({{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\left( n \right)}}={{e}^{x}}\)
5. Công thức Lepnit
Nếu u và v là các hàm khả vi n lần thì: \({{\left( u.v \right)}^{\left( n \right)}}=\sum{\begin{matrix}
n \\
k=0 \\
\end{matrix}}C_{n}^{k}.{{u}^{k}}.{{v}^{\left( n-k \right)}}\) với \(C_{n}^{k}\) kí hiệu tổ hợp chập k của n phần tử
\(C_{n}^{k}=\frac{n\left( n-1 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}\)
