Phép đối xứng tâm
Định nghĩa
Cho điểm 
\(I\). Phép biến hình biến điểm \(I\) thành chính nó, biến mỗi điểm M khác \(I\) thành M' sao cho \(I\) là trung điểm của \(MM'\) được gọi là phép đối xứng tâm \(I\).
Hình vẽ minh họa
- Điểm \(I\) được gọi là tâm đối xứng.
- Phép đối xứng tâm \(I\) thường được kí hiệu là \(Đ_I\).
- Nếu hình \(H'\) là ảnh của hình \(H\) qua \(Đ_I\) thì ta còn nói \(H\) đối xứng với \(H'\)qua tâm \(I\), hay \(H\) và \(H'\) đối xứng với nhau qua \(I\).
- Từ đinh nghĩa suy ra \(M' = {Đ_I}\left( M \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = - \overrightarrow {IM}\)
2. Tính chất của phép đối xứng tâm
Tính chất 1
Nếu \(Đ_I(M) = M'\) và \(Đ_I(N) = N'\) thì \(\overrightarrow {M'N'} = - \overrightarrow {MN}\), từ đó suy ra \(M'N' = MN\).
Hình vẽ minh họa
Tính chất 2
Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
Hình vẽ minh họa
3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm
Với \(O(0; 0)\) ta có \(M'(x';y')=Đ_O[M(x;y)]\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x' = - x} \\
{y' = - y}
\end{array}} \right.\)
Với \(I(a;b)\) ta có \(M'(x';y')=Đ_I[M(x;y)]\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x' = 2a- x} \\ {y' = 2b- y} \end{array}} \right.\)
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\)cho điểm \(I(2; −3)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình\(3x + 2y − 1 = 0\). Tìm tọa độ của điểm \(I'\) và phương trình của đường thẳng \(d'\) lần lượt là ảnh của \(I\) và đường thẳng \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(I’(−2; 3)\). Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = - x'} \\
{y = - y'}
\end{array}} \right.\)
Thay biểu thức của x và y vào phương trình của \(d\) ta được \(3(−x’) + 2(−y’) − 1 = 0\), hay \(3x’ + 2y’ + 1 = 0\)
=> Phương trình của \(d’\): \(3x + 2y + 1 = 0\)
4. Tâm đối xứng của một hình
Điểm \(I\) được gọi là tâm đối xứng của hình \(H\) nếu phép đối xứng tâm \(I\) biến hình \(H\) thành chính nó. Khi đó ta nói \(H\) là hình có tâm đối xứng.
