Giới hạn của dãy số
1. Định nghĩa giới hạn của dãy số
Dãy số 
\(\left( {{u}_{n}} \right)\) được gọi là có giới hạn hữu hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối \(\left| {{u_n}} \right|\) nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0\).hay \(\lim {u_n} = 0\)
Ví dụ: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là \(a\) nếu \(\left| {{u_n} - a} \right|\) có giới hạn bằng 0. Nghĩa là:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\)
Ví dụ: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2n + 1}}{{n + 3}} = 2\)
Chú ý: Dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có giới hạn là số thực được gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
2. Một số giới hạn đặc biệt
- \(\lim \frac{1}{{{n}^{k}}}=0,\forall k\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)
- Nếu \(\left| {{q}^{n}} \right|<1\) thì \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{q}^{n}}=0\)
- Nếu \({{u}_{n}}=c=const\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim c=c}}\,\)
Chú ý: Cách viết \(\lim {{u}_{n}}=a\) thay cho \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a\)
II. Một số định lí về giới hạn
Định lí 1: Nếu dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {{u}_{n}} \right|<{{v}_{n}}\) kể từ số hạng nào đó trở đi và \(\lim {{v}_{n}}=0\) thì \(\lim {{u}_{n}}=0\).
Định lí 2: Cho \(\lim {{u}_{n}}=a, \lim {{v}_{n}}=b\). Ta có:
- \(\lim ({{u}_{n}}+{{v}_{n}})=a+b\)
- \(\lim ({{u}_{n}}-{{v}_{n}})=a-b\)
- \(\lim ({{u}_{n}}.{{v}_{n}})=a.b\)
- \(\lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=\frac{a}{b} ,(b \ne 0)\)
- Nếu \({{u}_{n}}\ge 0,\forall n\) và \(\lim {u_n} = a\) thì \(\lim \sqrt{{{u}_{n}}}=\sqrt{a}\)
III. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Cho cấp số nhân vô hạn \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right|<1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là:
\(S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}+.... =\frac{{{u}_{1}}}{1-q}\)
Ví dụ: Tính giới hạn sau \(\lim \frac{{1 + 3 + {3^2} + ... + {3^n}}}{{{{2.3}^{n + 1}} + {2^n}}}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
\lim \dfrac{{1 + 3 + {3^2} + ... + {3^n}}}{{{{2.3}^{n + 1}} + {2^n}}} \hfill \\
= \lim \dfrac{{1 + \dfrac{3}{2}\left( {1 - {3^n}} \right)}}{{{{2.3}^{n + 1}} + {2^n}}} = \dfrac{1}{4} \hfill \\
\end{matrix}\)
IV. Giới hạn vô cực của dãy số
1. Định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số
Ta nói dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có giới hạn \(+\infty\) khi \(n \to + \infty\), nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trờ đi
Kí hiệu: \(\lim {u_n} = + \infty\)
Ta nói dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có giới hạn \(-\infty\) khi \(n \to + \infty\), nếu \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,(-{{u}_{n}})=+\infty\)
Kí hiệu: \(\lim {u_n} = - \infty\)
2. Một số kết quả đặc biệt
- \(\lim {{n}^{k}}=+\infty ,\forall k>0\)
- \(\lim {{q}^{n}}=+\infty ,\forall q>1\)
- Nếu \(\lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty\) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0\)
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn của dãy số
Quy tắc 1: Nếu \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\pm \infty ,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=\pm \infty\) thì \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})\) được cho như sau:
| \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}\) |
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}\) |
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})\) |
| \(+\infty\) |
\(+\infty\) |
\(+\infty\) |
| \(+\infty\) |
\(-\infty\) |
\(-\infty\) |
| \(-\infty\) |
\(+\infty\) |
\(-\infty\) |
| \(-\infty\) |
\(-\infty\) |
\(+\infty\) |
Quy tắc 2: Nếu \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\pm \infty ,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=L\) thì \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})\) được cho như sau:
| \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}\) |
Dấu của L | \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{u}_{n}}.{{v}_{n}})\) |
| \(+\infty\) |
+ | \(+\infty\) |
| \(+\infty\) |
- | \(-\infty\) |
| \(-\infty\) |
+ | \(-\infty\) |
| \(-\infty\) |
- | \(+\infty\) |
Quy tắc 3: Nếu \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=\pm \infty\) và \({{v}_{n}}>0\) hoặc \({{v}_{n}}<0\) kể từ một số hạng nào đó trở đi thì \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}\) được coi như sau:
|
Dấu của |
Dấu của \({{v}_{n}}\) |
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}\) |
| \(+\infty\) |
+ | \(+\infty\) |
| \(+\infty\) |
- | \(-\infty\) |
| \(-\infty\) |
+ | \(-\infty\) |
| \(-\infty\) |
- | \(+\infty\) |
Ví dụ: Tính giới hạn sau: \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - {n^2}} \right)\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - {n^2}} \right) \hfill \\
= \lim \left[ {{n^2}\left( {\sqrt {\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}} - 1} \right)} \right] \hfill \\
\end{matrix}\)
Mà \(\lim {n^2} = + \infty\) và \(\lim \left( {\sqrt {\frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} - 1} \right) = \left( {\sqrt {0 + 0} - 1} \right) = - 1 < 0\) nên \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - {n^2}} \right) = - \infty\)
Ví dụ: Tính giới hạn: \(\lim \frac{{{n^3} - 7n}}{{1 - 2{n^2}}}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
\lim \dfrac{{{n^3} - 7n}}{{1 - 2{n^2}}} = \lim \dfrac{{{n^3}\left( {1 - \dfrac{7}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {\dfrac{1}{{{n^2}}} + 2} \right)}} \hfill \\
= \lim \dfrac{{n\left( {1 - \dfrac{7}{{{n^2}}}} \right)}}{{\dfrac{1}{{{n^2}}} + 2}} = + \infty \hfill \\
\end{matrix}\)
Vì \(\lim \dfrac{{1 - \dfrac{7}{{{n^2}}}}}{{\dfrac{1}{{{n^2}}} + 2}} = \dfrac{1}{2} > 0\) và \(\lim n = + \infty\)
