Phép đối xứng trục
Định nghĩa
Cho đường thẳng 
\(d\). Phép biến hình biến mỗi điểm \(M\) thuộc \(d\) thành chính nó, biến mỗi điểm \(M\) không thuộc \(d\) thành \(M'\) sao cho \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(MM’\) được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) hay phép đối xứng trục \(d\).
Hình vẽ minh họa
- Đường thẳng \(d\) được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.
- Phép đối xứng trục \(d\) thường được kí hiệu là \(Đ_d\).
- Nếu hình \(H_0\) là ảnh của hình \(H\) qua phép đối xứng trục \(d\) thì ta còn nói \(H\) đối xứng với \(H_0\) qua \(d\) hay \(H\) và \(H_0\) đối xứng với nhau qua \(d\).
Ví dụ: Cho tứ giác \(ABCD\). Hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(E\). Xác định ảnh của tam giác \(ABE\) qua phép đối xứng qua đường thẳng \(CD\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Ảnh phải tìm là tam giác \(A’B’E’\).
|
Nhận xét Cho đường thẳng
|
2. Tính chất của phép đối xứng trục
Tính chất 1
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2
Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Hình vẽ minh họa
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(∆\) có phương trình \(2x − y + 1 = 0\) và điểm \(A (3; 2)\). Tìm điểm đối xứng với điểm \(A\) qua đường thẳng \(∆\).
Hướng dẫn giải
Đường thẳng \(d\) qua \(A\) và vuông góc với \(∆\) có phương trình d: \(x + 2y − 7 = 0\).
Gọi \(H = d ∩ ∆\), tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ
Theo giả thiết: \(Đ_∆(A) = A’(x’; y’)\)
\(\begin{matrix}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x - y + 1 = 0} \\
{x + 2y - 7 = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1} \\
{y = 3}
\end{array}} \right. \hfill \\
\Rightarrow H\left( {1;3} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
=> \(H\) là trung điểm của \(AA’\)
\(\begin{matrix}
\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x' = 2{x_H} - {x_A}} \\
{y' = 2{y_H} - {y_A}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x' = - 1} \\
{y' = 4}
\end{array}} \right. \hfill \\
\Rightarrow A' = \left( { - 1;4} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
3. Đối xứng của một hình
Đường thẳng \(d\) gọi là trục đối xứng của hình \(H\) nếu phép đối xứng qua \(d\) biến hình \(H\) thành chính nó. Khi đó ta nói \(H\) là hình có trục đối xứng.
