Đạo hàm của hàm số lượng giác
Định lí:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\)
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} u\left( x \right) = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin u\left( x \right)}}{{u\left( x \right)}} = 1\)
2. Đạo hàm của hàm số y = sinx
Hàm số y = sinx có đạo hàm tại \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\)
Nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = \sin u} \\
{u = u\left( x \right)}
\end{array}} \right.\) thì \(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\)
Mở rộng công thức đạo hàm hàm sinx
\({\left( {\sin ax} \right)^{\left( n \right)}} = {a^n}.\sin \left( {ax + n.\frac{\pi }{2}} \right)\)
\(\left[ {\arcsin \left( x \right)} \right]' = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
|
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\begin{matrix}
y' = \left[ {\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} \right)} \right]\prime \hfill \\
\Rightarrow y' = \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} \right)'.\cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} \right) \hfill \\
\Rightarrow y' = - 3.\cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 3x} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
b) Ta có:
\(\begin{matrix}
y' = \left[ {\sin \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)} \right]\prime \hfill \\
\Rightarrow y' = \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)'.\cos \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \hfill \\
\Rightarrow y' = \left( {2x - 3} \right).\cos \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
3. Đạo hàm của hàm số y = cosx
Hàm số y = cosx có đạo hàm tại \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)
Nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = \cos u} \\
{u = u\left( x \right)}
\end{array}} \right.\) thì \(\left( {\cos u} \right)' = - u'.\sin u\)
Mở rộng công thức đạo hàm hàm cosx
\({\left( {\cos ax} \right)^{\left( n \right)}} = {a^n}.\cos \left( {ax + n.\frac{\pi }{2}} \right)\)
\(\left[ {\arccos \left( x \right)} \right]' = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây:
|
a) y = 2sin2x + cos2x |
b) |
c) y = cos34x |
Hướng dẫn giải
a) y’ = (2sin2x + cos2x)’ = 4cos2x – 2sin2x
a) Ta có:
\(\begin{matrix}
y' = \left[ {\cos \left( {\dfrac{\pi }{3} - 3x} \right)} \right]\prime \hfill \\
= - \left( {\dfrac{\pi }{3} - 3x} \right)'.\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 3x} \right) \hfill \\
= - \left( { - 3} \right).\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 3x} \right) \hfill \\
= 3\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 3x} \right) \hfill \\
\end{matrix}\)
c) Ta có: y = cos34x
=> y’ = (cos34x)’
=> y’ = 3cos24x . (cos4x)’
=> y’ = 3cos24x . (4x)’.(-sin4x)
=> y’ = -12.sin4x.cos24x
4. Đạo hàm của hàm số y = tanx
Hàm số y = tanx có đạo hàm tại \(\forall x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
Nếu\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = \tan u} \\
{u = u\left( x \right)}
\end{array}} \right.\) thì \(\left( {\tan u} \right)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}\left( u \right)}}\)
Mở rộng công thức đạo hàm hàm tanx
\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( x \right)}} = {\sec ^2}\left( x \right)\)
\(\left[ {\arctan \left( x \right)} \right]' = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)
5. Đạo hàm của hàm số y = cotx
Hàm số y = cotx có đạo hàm tại \(\forall x \ne k\pi\) và \(\left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
Nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = \cot u} \\
{u = u\left( x \right)}
\end{array}} \right.\) thì \(\left( {\cot u} \right)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}\left( u \right)}}\)
Mở rộng công thức đạo hàm hàm cotx
\(\left( {\cot x} \right)' = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}\left( x \right)}} = - {\csc ^2}\left( x \right)\)
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = tan3x + cot2x
Hướng dẫn giải
Ta có: y = tan3x + cot2x
=> y’ = (tan3x + cot2x)’
=> y’ = 3 tan2x . \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) + 2.\(- \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\)
