Phương trình lượng giác cơ bản
+ Nếu 
\(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \(\left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right],\sin \beta = a\)
\((1) \Rightarrow \sin x = \sin \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \beta + k2\pi } \\
{x = \pi - \beta + k2\pi }
\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \(\beta = \arcsin a\)
|
Một số phương trình đặc biệt
|
Mở rộng phương trình
|
|
a. b. c. |
|
Ví dụ: Giải phương trình lượng giác:
| a, \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3}\) |
b, \(\sin x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) |
Hướng dẫn giải
a, Phương trình đã cho tương đương
\(\sin x = \sin \frac{\pi }{3}\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = \pi - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi }
\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\
{x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.\)
b, Phương trình đã cho tương đương
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
\(\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \\
{x + \dfrac{\pi }{4} = \pi - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }
\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = k2\pi } \\
{x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
2. Phương trình cosx = a (2)
+ Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \(\left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {0,\pi } \right],\cos \beta = a\)
\((2) \Rightarrow \cos x = \cos \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \beta + k2\pi } \\
{x = - \beta + k2\pi }
\end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \(\beta = \arccos a\)
|
Một số phương trình đặc biệt
|
Mở rộng phương trình ta có |
|
a, b, c, |
|
Ví dụ: Giải phương trình lượng giác \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
Hướng dẫn giải
\(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)
\(\Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( \pi \right)\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + \dfrac{\pi }{4} = \pi + k2\pi } \\
{x + \dfrac{\pi }{4} = - \pi + k2\pi }
\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi } \\
{x = \dfrac{{ - 5\pi }}{4} + k2\pi }
\end{array}} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
3. Phương trình tan x = a (3)
Với \(\forall m \Rightarrow \exists \alpha \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2},\frac{\pi }{2}} \right),\tan \beta = a\)
\(\begin{matrix}
(3) \Leftrightarrow \tan x = \tan \beta \Leftrightarrow x = \beta + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\beta = \arctan a \hfill \\
\end{matrix}\)
|
Một số phương trình đặc biệt |
Mở rộng phương trình
|
|
a, b, c, |
|
Ví dụ: Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình: \(\tan \left( {2x - {{15}^0}} \right) = 1\) trên khoảng \(\left( { - {{90}^0};{{90}^0}} \right)\).
Hướng dẫn giải
\(\tan \left( {2x - {{15}^0}} \right) = 1\)
\(\Leftrightarrow \tan \left( {2x - {{15}^0}} \right) = \tan {45^0}\)
\(\Leftrightarrow 2x - {15^0} = {45^0} + k{.180^0}\)
\(\Leftrightarrow 2x = {60^0} + k{.180^0}\)
\(\Leftrightarrow x = {30^0} + k{.90^0};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Do \(\left( { - {{90}^0};{{90}^0}} \right)\) nên \(- {90^0} < {30^0} + k{.90^0} < {90^0}\)
\(\Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}\)
\(\mathop \to \limits^{k \in \mathbb{Z}} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{k = 0 \Rightarrow {x_1} = {{30}^0}} \\
{k = - 1 \Rightarrow {x_2} = - {{60}^0}}
\end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow T = {x_1} + {x_2} = {30^0} + \left( { - {{60}^0}} \right) = - {30^0}\)
4. Phương trình cot x = a (4)
+ Với \(\forall m \Rightarrow \exists \alpha \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2},\frac{\pi }{2}} \right),\cot \beta = a\)
\(\begin{matrix}
(4) \Leftrightarrow \cot x = \cot \beta \Leftrightarrow x = \beta + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\
\beta = \operatorname{arccot} a \hfill \\
\end{matrix}\)
|
Một số phương trình đặc biệt |
Mở rộng phương trình |
|
a, b, c, |
|
