Luyện tập Hình bình hành

Hình vẽ minh họa:

Vẽ

Ta có: (cùng bù với ).

Từ đó suy ra

Suy ra DB là tia phân giác của góc D.

Góc là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác cân ADB, nên

(vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).

Vậy tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang này có (vì cùng bằng ) nên là hình thang cân.

Vậy có 2 khẳng định sai.

Hình vẽ minh họa:

Vẽ F sao cho K là trung điểm của DF thì AF // DE, AF = DE.

Tam giác DEC có nên DE = DC, suy ra AF = DC.

∆BAF = ∆BCD (c – g - c) nên BF = BD, .

Ta lại có , do đó ∆DBF đều

Hình vẽ minh họa

Dễ thấy tam giác BCE cân tại C suy ra

Ta lại có

Mà nên

Suy ra AC // ED (2 góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra AECD là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác DAC có PQ là đường trung bình

Xét tam giác BAC có MN là đường trung bình

Từ (1) và (2) suy ra

Tứ giác là hình bình hành.

Trong các hình: hình bình hành, hình chữ nhật đều có các cạnh đối song song và bằng nhau

Hình thang cân chỉ có 1 cặp cạnh đối song song nên không thỏa mãn.

Trong hình bình hành ABCD có là hai góc đối nhau mà các góc đối của hình bình hành thì bằng nhau do đó mà suy ra .

Trong hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của cạnh AB, ta có (1) (so le trong).

Mặt khác, DM là phân giác góc D nên (2)

Từ (1), (2) suy ra

Do đó tam giác ADM cân tại A.

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Ta có AG // BI và BG // AI nên tứ giác AIBG là hình bình hành, suy ra BG // AI; BG = AI

IB // AG ⇒ IB ⊥ BC mà HF⊥ BC, do đó IB // HF.

Lại có F là trung điểm của BC nên HF đi qua trung điểm của IC.

Chứng minh tương tự, HE cũng đi qua trung điểm của IC.

Từ đó ta được H là trung điểm của IC

Trong ∆AIC có: HE là đường trung bình, do đó

Vậy

Hình vẽ minh họa

Tam giác KBC có KO = OC, BM = MC nên OM là đường trung bình của ∆KBC.

Suy ra OM // KB, .

Ta lại có OM // AH (cùng vuông góc với BC).

Suy ra KB // AH.

Chứng minh tương tự ta có: KA // BH.

Tứ giác AHBK có KB // AH, KA // BH nên là hình bình hành.

Ta có: AHBK là hình bình hành nên KB = AH

Ta lại có:

Hình vẽ minh họa

Trong hình bình hành ABCD, và .

Tam giác ADE cân và có một góc bằng , nên tam giác ADE đều.

Theo trên, tâm giác ADE đều nên , suy ra tam giác AEC cân tại E.

Trong hình bình hành các cạnh đối bằng nhau mà hình bình hành ABCD có AB = 2cm nên

Trong hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm do đó bằng mà suy ra

Vậy .