Luyện tập Hình chữ nhật

Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm do đó AC gấp đôi OC mà suy ra .

Hình vẽ minh họa

Ta có: (cùng phụ với góc ).

Tam giác ABC và BME là hai tam giác vuông có:

AC = BE

Dễ dàng chứng minh được ABMK là hình chữ nhật.

Do vậy tam giác KFE vuông cân tại K. Vậy .

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác ACD, PQ là đường trung bình, suy ra .

Tương tự, .

Từ đó ta có và

Suy ra là hình bình hành.

Mặt khác, . Vậy là hình chữ nhật.

Khẳng định sai là: “Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình chữ nhật.”

Hình vẽ minh họa

Ta có  (1).

Vì DMFN là hình chữ nhật nên (2)

Từ (1), (2) suy ra

Mặt khác theo giả thiết thì .

Vậy là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Tứ giác ADME có ba góc vuông nên là hình chữ nhật nên AM = DE.

Gọi O là giao điểm của AM và DE, ta có:

Xét tam giác AHM vuông tại H ta có:

Xét tam giác HDE có HO là đường trung tuyến ứng với cạnh DE và nên tam giác HDE vuông tại H

Hình vẽ minh họa:

Ta có: ABCD là hình chữ nhật

Áp dụng định lí Pi – ta – go cho tam giác ABD ta có:

Áp dụng định lí Pi – ta – go cho tam giác AHD ta có:

(1)

Áp dụng định lí Pi – ta – go cho tam giác AHO ta có:

(2)

Từ (1) và (2) =>

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Vì . Do đó ta có: . Kết hợp với giả thiết suy ra

(góc so le trong bằng nhau).

Mặt khác, (cùng vuông với AC), suy ra là hình bình hành.

Vì hình bình hành có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Vậy khẳng định sai là:

Hình vẽ minh họa

 Dễ dàng chứng minh được OAMB là hình chữ nhật.

Ta có M là trung điểm của EF.

=> ME = MF = AB = MO, từ đó suy ra tam giác EOF vuông tại O.

Hình vẽ minh họa

Ta có O là trung điểm của AC và BD.

Mà ABCD là hình chữ nhật => BD = AC và OA = OB = OC = OD

Trong tam giác ABC, AM và BO là hai đường trung tuyến, do đó P là trọng tâm tam giác ABC.

Chứng minh tương tự ta suy ra Q là trọng tâm giác ADC

Mặt khác do đó O là trung điểm của PQ.

Vậy

Hình vẽ minh họa

Hai tam giác EBC và FBC là tam giác vuông tại E và F

M là trung điểm của BC

suy ra .

Vậy MEF là tam giác cân tại M.

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.