Luyện tập Ôn tập chương 4 Định lí Thales

Câu 1: Vận dụng

Tính tỉ số giữa hai cạnh

Cho tam giác $ABC$ , các đường cao $AK$ và $BD$ cắt nhau tại $G$ . Vẽ các đường trung trực $HE, HF$ của các cạnh $AC, BC$ . Đường thẳng qua $A$ song song với $BG$ cắt đường thẳng qua $B$ song song với tại $I$ . Tính tỉ số $\frac{AG}{HF}$ ?

A.
$2$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$1$
D.
$\frac{2}{3}$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa:

Ta có AG // BI và BG // AI nên tứ giác AIBG là hình bình hành, suy ra BG = AI.

IB // AG => IB⊥BC, mà HF⊥BC, do đó IB // HF.

Lại có F là trung điểm của BC nên HF đi qua trung điểm của IC.

Chứng minh tương tự, HE cũng đi qua trung điểm của IC.

Từ đó ta được H là trung điểm của IC.

Trong tam giác AIC, HE là đường trung bình, do đó: $HE = \frac{1}{2}AI = \frac{1}{2}BG$

Vậy BG = 2HE.

Theo chứng minh trên, HF là đường trung bình trong CBI.

Suy ra $HF = \frac{1}{2}BI = \frac{1}{2}AG$ (Vì AIBG là hình bình hành).

Vậy AG = 2HF hay $\frac{AG}{HF} = 2$

Câu 2: Thông hiểu

Tính độ dài cạnh AI

Cho tam giác $ABC$ . Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác $ABC$ . Tính độ dài cạnh $AI$ biết $AB = AC = 10cm, BC = 12cm$ .

A.
5cm
B.
6cm
C.
9cm
D.
3 cm

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Tính chất đường phân giác

Ta có: AB = AC

=> Tam giác ABC cân tại A

I là giao của các đường phân giác tam giác ABC => AI và BI là đường phân giác tam giác ABC

Gọi HE giao điểm của AI và BC

=> AE vừa là đường phân giác vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác ABC.

=> E là trung điểm của BC

=> $BE= EC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\left( {cm} ight)$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABH vuông tại E, ta có:

$\begin{matrix} A{E^2} + B{E^2} = A{B^2} \hfill \\ \Leftrightarrow A{E^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \hfill \\ \Leftrightarrow AE = 8\left( {cm} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Vì BI là phân giác tam giác ABE nên ta có:

$\begin{matrix} \dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{AI}}{{IE}} = \dfrac{{AE - IE}}{{IE}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{6} = \dfrac{{8 - IE}}{{IE}} \Leftrightarrow IE = 3\left( {cm} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

$=>AI=AE-IE=8-3=5(cm)$

Câu 3: Vận dụng

Tính số đo góc BAC

Cho tam giác ABC, đường phân giác AD thỏa mãn $\frac{1}{AD} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}$ . Tính số đo góc $\widehat{BAC}$ ?

A.
$\widehat{BAC} = 60^{0}$
B.
$\widehat{BAC} = 120^{0}$
C.
$\widehat{BAC} = 135^{0}$
D.
$\widehat{BAC} = 90^{0}$

Hướng dẫn:

Kẻ $DE // AB$ . Đặt $DE = EA = x$ . Ta có

$\frac{DE}{AB} = \frac{CE}{CA} \Rightarrow \frac{x}{AB} = \frac{AC - x}{AC} = 1 - \frac{x}{AC}$

$\Rightarrow \frac{x}{AB} + \frac{x}{AC} = 1 \Rightarrow \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC} = \frac{1}{x}$

Theo bài ra ta có: $\frac{1}{AD} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}$

Suy ra $AD = x$

=> Tam giác ADE đều $\Rightarrow \widehat{BAC} = 120^{0}$

Câu 4: Nhận biết

Xác định giá trị x/y

Tính tỉ lệ độ dài hai cạnh x và y trong hình vẽ sau:

A.
$\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$
B.
$\frac{x}{y} =\frac{1}{2}$
C.
$\frac{x}{y} =\frac{2}{3}$
D.
$\frac{x}{y} =\frac{4}{3}$

Hướng dẫn:

Ta có: AD là phân giác trong của tam giác ABC

$\Rightarrow \frac{DB}{DC} =\frac{AB}{AC} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{4,5}{6} =\frac{3}{4}$

Câu 5: Vận dụng

Tìm đáp án chưa chính xác

Quan sát hình vẽ sau:

Chọn đáp án chưa chính xác?

A.
$y = 10,5cm$
B.
$x = 19,2cm$
C.
$x = 17,5cm$
D.
$\frac{x}{y} =\frac{5}{3}$

Hướng dẫn:

Áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác EFG, phân giác GH ta có:

$\frac{GF}{GE} = \frac{HF}{EH}\Rightarrow \frac{12}{20} = \frac{y}{x} \Rightarrow \frac{x}{y} =\frac{5}{3}$

Lại có: $\frac{12}{20} = \frac{y}{x}\Rightarrow \frac{12}{y} = \frac{20}{x} = \frac{12 + 20}{y + x} =\frac{32}{28} = \frac{8}{7}$ (theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{20.7}{8} = 17,5(cm) \\y = \dfrac{12.7}{8} = 10,5(cm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy đáp án sai là: $x =19,2cm$

Câu 6: Nhận biết

Tìm giá trị của x

Cho các đoạn thẳng AB = 8cm, CD = 6cm, MN = 12cm, PQ = x cm, (PQ < MN). Tìm x để AB và CD tỉ lệ với MN và PQ?

A.
x = 2 cm
B.
x = 18 mm
C.
x = 0,9 cm
D.
x = 9 cm

Hướng dẫn:

Ta có: AB và CD tỉ lệ với MN và PQ

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{MN}}{{PQ}} \Rightarrow \dfrac{8}{6} = \dfrac{{12}}{x}\\ \Rightarrow x = \dfrac{{12.6}}{8} = 9\end{array}$

Câu 7: Thông hiểu

Tính giá trị của x

Cho hình vẽ. Tìm x (làm tròn kết quả đến chữ thập phân thứ hai)

Định lí Thales

A. $x = 7,10$
B.
$x = 7,15$
C. $x = 7,14$
D.
$x = 7,142$

Hướng dẫn:

Ta có: $AB = BD + AD = 5 + 2 = 7$

Vì $DE // AC$ , áp dụng hệ quả của định lý Thales, ta có:

$\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{DE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{5}{7} = \frac{x}{{10}} \Rightarrow x = \frac{{5.10}}{7} \approx 7,14$

Câu 8: Nhận biết

Tính độ dài đường trung bình

Cho tam giác $ABC;\left( \widehat{A} = 90^{0} ight)$ như hình vẽ:

Tính độ dài đường trung bình ứng với cạnh BC?

Đáp án: 5cm

Đáp án là:

Cho tam giác $ABC;\left( \widehat{A} = 90^{0} ight)$ như hình vẽ:

Tính độ dài đường trung bình ứng với cạnh BC?

Đáp án: 5cm

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10(cm)$

Vì đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy nên độ dài đường trung bình ứng với cạnh BC là: $\frac{1}{2}.10 = 5(cm)$

Câu 9: Vận dụng

Bóng AK của một cột điện MK trên mặt đất dài 6 m (như hình vẽ). Cùng lúc đó một cột đèn giao thông DE cao 3 m có bóng AE dài 2 m.

Chiều cao của cột điện MK là:

A. 4 m
B. 1 m
C. 6 m
D. 9 m

Câu 10: Thông hiểu

Tính độ dài cạnh MP

Cho tứ giác $ACBD$ có $AB$ vuông góc với $CD$ . Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $BC, BD, AD, AC$ . Biết $BC // AD, BC = 4cm, AD = 16cm$ . Tính độ dài cạnh $MP$ .

A.
MP = 5
B.
MP = 12
C.
MP = 10
D.
MP = 8

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác ACD, PQ là đường trung bình, suy ra $PQ // CD$ .

Tương tự $MN // CD, MQ // AB, NP // AB.$

Từ đó ta có MN // PQ và $NP // MQ$

Suy ra MNPQ là hình bình hành. Mặt khác $AB ⊥ CD; MN ⊥ MQ$ .

Vậy MNPQ là hình chữ nhật.

Ta có MP = NQ.

Theo giả thiết thì BCAD là hình thang với hai đáy BC, AD và QN là đường trung bình nên $MP = NQ = 1/2.(BC + AD) = 10cm$ .

Câu 11: Thông hiểu

Tính độ dài AD

Trong tam giác ABC kẻ đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại D và E. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD, cắt AB ở F. Tính độ dài AD, biết $AB = 16, AF = 9$ .

A.
$14 cm$
B.
$15 cm$
C.
$10 cm$
D.
$12 cm$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Định lí Thales

Với EF // CD, áp dụng định lý Thales ta có:

$\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}$

Với DE // BC, áp dụng định lý Thales ta có:

$\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow A{D^2} = AF.AB \hfill \\ \Rightarrow A{D^2} = 9.16 \Rightarrow A{D^2} = 144 \Rightarrow AD = 12 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 12: Thông hiểu

Tính độ dài KK'

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $N$ là trung điểm của $AB$ . Kẻ đường cao $AH$ và phân giác $AK;(H,K \in BC)$ . Gọi $K'$ là hình chiếu vuông góc của $K$ trên $AC$ . Tính độ dài $KK'$ biết $AB =6cm;AC = 8cm$ .