Luyện tập Ôn tập chương 4 Định lí Thales

Câu 1: Nhận biết

Chọn khẳng định đúng

Cho tam giác ACE có $AC = 12cm$ . Lấy điểm B trên cạnh AC sao cho $BC = 6cm$ . Lấy điểm D trên cạnh AE sao cho $BD // EC$ . Chọn khẳng định đúng.

A.
$\frac{DE}{AE} = \frac{1}{2}$
B.
$\frac{DE}{AE} = \frac{3}{4}$
C.
$\frac{DE}{AE} = \frac{4}{3}$
D.
$\frac{DE}{AE} = 2$

Hướng dẫn:

Xét tam giác $ACE$ có: $BD//CE$

Khi đó theo định lí Thalès ta có: $\frac{DE}{AE} = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Câu 2: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu cặp đường thẳng song song?

Định lí Thales

A.
3
B.
1
C.
0
D.
2

Hướng dẫn:

Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{{MN}}{{PQ}} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \dfrac{{ON}}{{OP}} = \dfrac{{3,5}}{{3 + 4}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{PQ}} = \dfrac{{ON}}{{OP}} \Rightarrow MN//PQ$ (theo định lí Thales đảo) (1)

Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{{OE}}{{PE}} = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \dfrac{{OF}}{{FQ}} = \dfrac{{2,4}}{{3,2}} = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \frac{{OE}}{{PE}} = \dfrac{{OF}}{{FQ}} \Rightarrow EF//PQ$ (theo định lí Thales đảo) (2)

Từ (1) và (2) => $MN//FE$

Vậy có ba đường thẳng song song với nhau

Câu 3: Nhận biết

Xác định giá trị x/y

Tính tỉ lệ độ dài hai cạnh x và y trong hình vẽ sau:

A.
$\frac{x}{y} =\frac{1}{2}$
B.
$\frac{x}{y} =\frac{2}{3}$
C.
$\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$
D.
$\frac{x}{y} =\frac{4}{3}$

Hướng dẫn:

Ta có: AD là phân giác trong của tam giác ABC

$\Rightarrow \frac{DB}{DC} =\frac{AB}{AC} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{4,5}{6} =\frac{3}{4}$

Câu 4: Vận dụng

Cho hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MP // AC
B. MN // BC
C. NP // AB
D. MP // AN

Câu 5: Vận dụng

Tính tỉ số giữa hai cạnh

Cho tam giác $ABC$ , các đường cao $AK$ và $BD$ cắt nhau tại $G$ . Vẽ các đường trung trực $HE, HF$ của các cạnh $AC, BC$ . Đường thẳng qua $A$ song song với $BG$ cắt đường thẳng qua $B$ song song với tại $I$ . Tính tỉ số $\frac{AG}{HF}$ ?

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$2$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$1$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa:

Ta có AG // BI và BG // AI nên tứ giác AIBG là hình bình hành, suy ra BG = AI.

IB // AG => IB⊥BC, mà HF⊥BC, do đó IB // HF.

Lại có F là trung điểm của BC nên HF đi qua trung điểm của IC.

Chứng minh tương tự, HE cũng đi qua trung điểm của IC.

Từ đó ta được H là trung điểm của IC.

Trong tam giác AIC, HE là đường trung bình, do đó: $HE = \frac{1}{2}AI = \frac{1}{2}BG$

Vậy BG = 2HE.

Theo chứng minh trên, HF là đường trung bình trong CBI.

Suy ra $HF = \frac{1}{2}BI = \frac{1}{2}AG$ (Vì AIBG là hình bình hành).

Vậy AG = 2HF hay $\frac{AG}{HF} = 2$

Câu 6: Thông hiểu

Tính độ dài AF

Cho tam giác ABC có AB = 8cm, điểm D thuộc cạnh AB sao cho AD = 4cm. Kẻ DE song song với BC (E ∈ AC), kẻ EF song song với CD (F ∈ AB). Tính độ dài AF.

A.
7 cm
B.
6 cm
C.
4 cm
D.
2 cm

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Định lí Thales

Với EF // CD, áp dụng định lý Thales ta có:

$\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}$

Với DE // BC, áp dụng định lý Thales ta có:

$\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}$

$\Rightarrow \frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{AF}}{4} = \frac{4}{8} \Rightarrow AF = \frac{{4.4}}{8} = 2\left( {cm} ight)$

Câu 7: Thông hiểu

Xác định giá trị x trong hình vẽ

Cho hình vẽ sau:

Tìm giá trị của x?

A.
$x = 7,3$
B.
$x = 16,2$
C.
$x = 12,6$
D.
$x = 6,94$

Hướng dẫn:

Ta có:

$GH = FG - FH = 12,5 - 3,5 = 9(cm)$

Lại có EH là phân giác trong của góc E

Áp dụng tính chất đường phân giác của góc E ta có:

$\frac{EF}{EG} = \frac{FH}{GH} \Rightarrow \frac{6,3}{x} = \frac{3,5}{9} \Rightarrow x = 16,2(cm)$

Câu 8: Vận dụng

Tính giá trị biểu thức

Cho tam giác $ABC$ có ba phân giác $AM,BN,CP$ cắt nhau tại $O$ . Khi đó tính giá trị của tích $\frac{AP}{AB}.\frac{BM}{BC}.\frac{CN}{AC}$ bằng bao nhiêu?

A.
$2$
B.
$1$
C.
$\frac{2}{3}$
D.
$\frac{1}{2}$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Ta có $AM$ là phân giác góc A.

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:

$\frac{MB}{MC} =\frac{AB}{AC}$

Tương tự đối với các đường phân giác $BN,CP$ ta có:

$\frac{NC}{NA} =\frac{BC}{BA};\frac{PA}{PB} = \frac{CA}{CB}$

Do đó:

$\frac{MB}{MC}.\frac{NC}{NA}.\frac{PA}{PB} =\frac{AB}{AC}.\frac{BC}{AB}.\frac{AC}{CB} = 1$

Câu 9: Vận dụng

Điền đáp án đúng vào chỗ trống

Cho tam giác ABC có diện tích là 90 cm², kẻ AH vuông góc với BC. Trên cạnh AH lấy các điểm K và I sao cho AK = KI = HI. Từ điểm I, K lần lượt kẻ các đường thẳng EF // BC, MN // BC với E, M ∈ AB, F, N ∈ AC. Khi đó diện tích tứ giác MNEF bằng bao nhiêu?

Kết quả: 30 cm².

Đáp án là:

Cho tam giác ABC có diện tích là 90 cm², kẻ AH vuông góc với BC. Trên cạnh AH lấy các điểm K và I sao cho AK = KI = HI. Từ điểm I, K lần lượt kẻ các đường thẳng EF // BC, MN // BC với E, M ∈ AB, F, N ∈ AC. Khi đó diện tích tứ giác MNEF bằng bao nhiêu?

Kết quả: 30 cm².

Hình vẽ minh họa

Định lí Thales

Ta có:

$\begin{matrix} NK//CH \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AH}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{AC}} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ MN//BC \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ IF//CH \Rightarrow \dfrac{{AI}}{{AH}} = \dfrac{{AF}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{2}{3} \hfill \\ EF//BC \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AF}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{2}{3} \hfill \\ \end{matrix}$

Xét tứ giác MNFE có MN // FE và $KI ⊥ MN$ .

Do đó MNFE là hình thang có 2 đáy MN, FE, chiều cao KI.

$\Rightarrow {S_{MNEF}} = \frac{1}{2}\left( {MN + EF} ight).KI$

$\Rightarrow {S_{MNEF}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3}BC + \frac{2}{3}BC} ight).\frac{1}{3}AH = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = 30\left( {c{m^2}} ight)$

Câu 10: Thông hiểu

Tính độ dài cạnh AD

Cho tam giác ABC cân tại A, phân giác trong BD. Tính độ dài cạnh AD biết AB = 15 cm; BC = 10 cm.

A.
$AD = 12cm$
B.
$AD = 6cm$
C.
$AD = 9cm$
D.
$AD = 15cm$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Ta có: $BD$ là tia phân giác góc $B$ nên

$\Rightarrow \frac{DA}{DC} =\frac{AB}{BC}$

Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có:

$\frac{DA + DC}{DC} = \frac{AB + BC}{BC}\Rightarrow \frac{AC}{DC} = \frac{15 + 10}{10}$

$\Rightarrow DC = \frac{10.AC}{25} =\frac{10.15}{25} = 6(cm)$

Ta có: $DA + DC = AC \Rightarrow DA = AC -DC = 15 - 6 = 9(cm)$

Câu 11: Thông hiểu

Tính chu vi tứ giác

Cho $ΔABC$ đều cạnh $3cm$ , gọi $M, N$ là trung điểm của $AB$ và $AC$ . Tính chu vi của tứ giác $MNCB$ bằng

A.
8cm
B.
6 cm
C.
7,5 cm
D.
7 cm

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Đường trung bình của tam giác

Ta có: M, N là trung điểm của các cạnh AB và AC

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} MN//BC \hfill \\ MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.3 = 1,5\left( {cm} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Do tam giác ABC đều nên ta có:

$\left\{ \begin{gathered} MA = MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.3 = 1,5\left( {cm} ight) \hfill \\ NA = NB = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.3 = 1,5\left( {cm} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$