Luyện tập Ôn tập chương 4 Định lí Thales

Câu 1: Vận dụng

Tính giá trị biểu thức

Cho tam giác ABC có ba phân giác $AM,BN,CP$ cắt nhau tại O. Khi đó tính giá trị của tích $\frac{AP}{AB}.\frac{BM}{BC}.\frac{CN}{AC}$ bằng bao nhiêu?

A.
$2$
B.
$1$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$\frac{2}{3}$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Ta có $AM$ là phân giác góc A.

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:

$\frac{MB}{MC} =\frac{AB}{AC}$

Tương tự đối với các đường phân giác $BN,CP$ ta có:

$\frac{NC}{NA} =\frac{BC}{BA};\frac{PA}{PB} = \frac{CA}{CB}$

Do đó:

$\frac{MB}{MC}.\frac{NC}{NA}.\frac{PA}{PB} =\frac{AB}{AC}.\frac{BC}{AB}.\frac{AC}{CB} = 1$

Câu 2: Nhận biết

Chọn câu trả lời đúng

Tình giá trị của x trong hình vẽ, biết ED ⊥ AB, AC ⊥ AB

Định lí Thales

A.
x = 2
B.
x = 2,5
C.
x = 3
D.
x = 4

Hướng dẫn:

Ta có: $ED ⊥ AB, AC ⊥ AB$

$⇒ DE // AC$ (từ vuông góc đến song song)

Áp dụng định lý Thales, ta có:

$\begin{matrix} \dfrac{{BD}}{{DA}} = \dfrac{{BE}}{{EC}} \Rightarrow \dfrac{6}{x} = \dfrac{{3x}}{{13,5 - 3x}} \hfill \\ \Rightarrow 6.\left( {13,5 - 3x} ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Rightarrow {x^2} + 6x - 27 = 0 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} - 3x + 9x - 27 = 0 \hfill \\ \Rightarrow x\left( {x - 3} ight) + 9\left( {x - 3} ight) = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left( {x + 9} ight)\left( {x - 3} ight) = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 9 = 0} \\ {x - 3 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 9} \\ {x = 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy x = 3 thỏa mãn.

Câu 3: Thông hiểu

Chọn đáp án chính xác nhất

Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Trong các câu sau câu nào đúng?

A.
DE = IK
B.
$\left\{ \begin{gathered} DE//IK \hfill \\ DE = \frac{1}{2}IK \hfill \\ \end{gathered} ight.$
C.
$\left\{ \begin{gathered} DE//IK \hfill \\ DE = IK \hfill \\ \end{gathered} ight.$
D.
DE // IK

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa:

Đường trung bình của tam giác

Xét tam giác ABC, ta có:

$AE = EB$ (Vì E là trung điểm của A)

$AD = DC$ (Vi D là trung điểm của AC)

=> ED là đường trung bình của ΔABC

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} DE//BC \hfill \\ DE = \frac{1}{2}BC \hfill \\ \end{gathered} ight.$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (*)

Xét tam giác GBC, ta có:

$IB = IG$ (Vì I là trung điểm của BG)

$CK = KG$ (Vì K là trung điểm của CG)

=> IK là đường trung bình của ∆GBC

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} IK//BC \hfill \\ IK = \frac{1}{2}BC \hfill \\ \end{gathered} ight.$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: $\left\{ \begin{gathered} DE//IK \hfill \\ DE = IK \hfill \\ \end{gathered} ight.$ .

Câu 4: Thông hiểu

Xác định vị trí điểm M

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A, M$ là một điểm thuộc cạnh $BC$ . Gọi $E, D$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB$ . Tìm vị trí của $M$ trên $BC$ sao cho độ dài $DE$ là nhỏ nhất.

A.
$M$ là hình chiếu của A lên $BC$ .
B.
$M$ thuộc đường trung trực của $BC$ .
C.
$M$ thuộc đường phân giác $BC$ .
D.
$M$ là trung điểm của $BC$ .

Hướng dẫn:

Ta có: $AH ⊥ BC$ nên $AM ≥ AH$ (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

Dấu “=” xảy ra khi $M$ trùng với $H$

Mà $DE = AM$ ( chứng minh trên)

Vậy $DE$ có độ dài nhỏ nhất bằng AH khi M là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $BC$ .

Câu 5: Vận dụng

Người ta đo bóng của một cây và được các số đo như hình vẽ. Giả sử rằng các tia nắng song song với nhau.

Khi đó, độ cao x là:

A. 0,7 m
B. 1,2 m
C. 2 m
D. 3,3 m

Hướng dẫn:

Áp dụng định lí Thales ta có: $\frac{0,9}{x}=\frac{1,5}{2}$

Suy ra x = 1,2 m

Câu 6: Vận dụng

Cho hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MP // AC
B. NP // AB
C. MP // AN
D. MN // BC

Câu 7: Thông hiểu

Tính độ dài cạnh AI

Cho tam giác $ABC$ . Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác $ABC$ . Tính độ dài cạnh $AI$ biết $AB = AC = 10cm, BC = 12cm$ .

A.
9cm
B.
5cm
C.
6cm
D.
3 cm

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Tính chất đường phân giác

Ta có: AB = AC

=> Tam giác ABC cân tại A

I là giao của các đường phân giác tam giác ABC => AI và BI là đường phân giác tam giác ABC

Gọi HE giao điểm của AI và BC

=> AE vừa là đường phân giác vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác ABC.

=> E là trung điểm của BC

=> $BE= EC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\left( {cm} ight)$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABH vuông tại E, ta có:

$\begin{matrix} A{E^2} + B{E^2} = A{B^2} \hfill \\ \Leftrightarrow A{E^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \hfill \\ \Leftrightarrow AE = 8\left( {cm} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Vì BI là phân giác tam giác ABE nên ta có:

$\begin{matrix} \dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{AI}}{{IE}} = \dfrac{{AE - IE}}{{IE}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{6} = \dfrac{{8 - IE}}{{IE}} \Leftrightarrow IE = 3\left( {cm} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

$=>AI=AE-IE=8-3=5(cm)$

Câu 8: Vận dụng

Tìm điều kiện của hai đường chéo AC và BD

Cho tứ giác $ABCD$ . Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB, BC, CD, DA$ . Hai đường chéo $AC$ và $BD$ phải thỏa mãn điều kiện gì để $M, N, P, Q$ là bốn đỉnh của hình vuông.

A.
$BD$ tạo với $AC$ góc $60^0$
B.
$BD ⊥ AC$
C.
$BD = AC; BD ⊥ AC$
D.
$BD = AC$

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa

Hình vuông

Xét tam giác $ABD$ có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {MA = MB} \\ {QA = QD} \end{array}} ight.$

$=> QM$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ .

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {QM//BD} \\ {QM = \dfrac{1}{2}BD} \end{array}} ight.\left( 1 ight)$

Tương tự ta cũng có $NP$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ .

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {NP//BD} \\ {NP = \dfrac{1}{2}BD} \end{array}} ight.\left( 2 ight)$

Từ (1) và (2) suy ra $MNPQ$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Tương tự ta cũng có $MN$ là đường trung bình của tam giác $BAC$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {MN//AC} \\ {MN = \dfrac{1}{2}AC} \end{array}} ight.$

Để hình bình hành $MNPQ$ là hình vuông

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {MN \bot NP} \\ {MN = NP} \end{array}} ight.$

Để ${MN \bot NP}$ $=> AC ⊥ BD$ (vì $MN // AC, NP // BD$ )

Để ${MN = NP}$ $=> AC = BD$ (vì $\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} MN = \dfrac{1}{2}AC \hfill \\ NP = \dfrac{1}{2}BD \hfill \\ \end{gathered} ight.$ )

Vậy điều kiện cần để $MNPQ$ là hình vuông là $BD = AC; AC ⊥ BD$

Câu 9: Nhận biết

Chọn đáp án đúng

Cho tam giác ABC có I, K lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết $IK = 7cm$ . Ta có:

A. $BC = 3,5cm$
B. $BC = 14cm$
C. $BC = 10cm$
D. $BC = 12cm$

Hướng dẫn:

Ta có:

I, K là trung điểm của AB và AC

=> IK là đường trung bình tam giác ABC

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} IK//BC \hfill \\ IK = \frac{1}{2}BC \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow BC = 2IK = 2.7 = 14\left( {cm} ight)$

Câu 10: Thông hiểu

Tính tỉ số diện tích hai tam giác

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm$ . Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D. Tỉ số diện tích của tam giác $ABD$ và tam giác $ACD$ bằng bao nhiêu?