Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn
Chuyên đề tích phân hàm ẩn
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Trang 1
TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN 1
A. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1.
TÍCH PHÂN CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC
Ví dụ 1. Cho hàm số
( )
2
2
1 0
4 3 0
x
x x khi x
y f x
e khi x
+ + ≤
= =
− ≥
. Biết
( )
1
2
1
b
f x dx ae
c
−
= −
∫
với
*
, ,
a b c N
∈
. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T a b c
= + +
.
A.
23
. B.
27
. C.
33
. D.
42
.
Lời giải
Ta có,
( ) ( )
( ) ( )
0 1 0 1
2 2 2 2
1 0 1 0
5 25
1 4 3 2 5 2
6 6
x
f x dx f x dx x x dx e dx e e
− −
+ = + + + − = + − = −
∫ ∫ ∫ ∫
.
2 25 6 33
T
⇒ = + + =
Ví dụ 2. [Đề tham khảo – 2018] Cho hàm số
( )
f x
xác định trên
1
\
2
ℝ
thỏa mãn
2
( )
2 1
f x
x
′
=
−
,
(0) 1
f
=
và
(1) 2
f
=
. Giá trị của biểu thức
( 1) (3)
f f
− +
bằng
A.
4 ln 5
+
. B.
2 ln15
+
. C.
3 ln15
+
. D.
ln15.
Lời giải
Cách 1: Trên khoảng
1
;
2
+∞
:
1
2
( ) ln(2 1) .
2 1
f x dx x C
x
= = − +
−
∫
Lại có
1
(1) 2 2.
f C
= ⇒ =
• Trên khoảng
1
;
2
−∞
:
2
2
( ) ln(1 2 ) .
2 1
f x dx x C
x
= = − +
−
∫
Lại có
2
(0) 1 1.
f C
= ⇒ =
Vậy
1
ln(2 1) 2
2
( )
1
ln(1 2 ) 1
2
x khi x
f x
x khi x
− + >
=
− + <
.
Suy ra
( 1) (3) 3 ln15.
f f
− + = +
Cách 2:
Ta có:
0 0
0
1
1 1
3 3
3
1
1 1
2 1
(0) ( 1) '( ) ln 2 1| ln (1)
2 1 3
2
(3) (1) '( ) ln 2 1| ln 5 (2)
2 1
dx
f f f x dx x
x
dx
f f f x dx x
x
−
− −
− − = = = − =
−
− = = = − =
−
∫ ∫
∫ ∫
Lấy (2)-(1), ta được
(3) (1) (0) ( 1) ln15 ( 1) (3) 3 ln15
f f f f f f
− − + − = ⇒ − + = +
.
2. TÍCH PHÂN HÀM ẨN
DẠNG 1. Điều kiện hàm ẩn có dạng:
1.
(
)
(
)
(
)
(
)
.
f x g x h f x
′
=
2.
(
)
(
)
(
)
(
)
.
f x h f x g x
′
=
Phương pháp giải:
1.
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
( )
...
f x f x df x
g x dx g x dx g x dx
h f x h f x h f x
′ ′
= ⇔ = ⇔ =
∫ ∫ ∫ ∫
2.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
. ...
f x h f x dx g x dx h f x df x g x dx
′
= ⇔ =
∫ ∫ ∫ ∫
7ҥL W j L O L ӉX PL ӇQ SKt KW W SV YQGRF F RP
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Trang 2
Chú ý:
•
1
và
2
bản chất là một ( cô lập các cụm
(
)
(
)
,
f x f x
′
sang một vế).
• Ngoài việc nguyên hàm cả hai vế, ta có thể tích phân hai về (tùy cách hỏi)
•
(
)
f x
′
phải để trên tử
Ví dụ 1. Giả sử hàm số
(
)
y f x
=
liên tục, nhận giá trị dương trên
(
)
0;
+∞
và thỏa mãn
(
)
1 1
f
=
,
(
)
(
)
3 1
f x f x x
= ′ +
, với mọi
0
x
>
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
(
)
4 5 5
f
< <
. B.
(
)
2 5 3
f
< <
. C.
(
)
3 5 4
f
< <
. D.
(
)
1 5 2
f
< <
.
Lời giải
Cách 1:
Với điều kiện bài toán ta có
(
)
(
)
3 1
f x f x x
= ′ +
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
d d
3 1 3 1
f x f x
x x
f x f x
x x
′ ′
⇔ = ⇔ =
+ +
∫ ∫
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
1
2
d
1
3 1 d 3 1
3
f x
x x
f x
−
⇔ = + +
∫ ∫
′
( )
2
ln 3 1
3
f x x C
⇔ = + +
(
)
2
3 1
3
e
x C
f x
+ +
⇔ =
.
Khi đó
( )
4
3
4
1 1 e 1
3
C
f C
+
= ⇔ = ⇔ =−
(
)
2 4
3 1
3 3
e
x
f x
+ −
⇒ =
(
)
(
)
4
3
5 e 3,79 3; 4
f
⇒ = ≈ ∈
.
Vậy
(
)
3 5 4
f
< <
.
Cách 2:
Với điều kiện bài toán ta có
(
)
(
)
3 1
f x f x x
= +
′
(
)
(
)
1
3 1
f x
f x
x
′
⇔ =
+
(
)
(
)
5 5
1 1
1
d d
3 1
f x
x x
f x
x
⇔ =
+
∫ ∫
′
(
)
(
)
(
)
5
1
d
4
3
f x
f x
⇔ =
∫
( )
5
1
4
ln
3
f x
⇔ =
(
)
(
)
5
4
ln
1 3
f
f
⇔ =
(
)
(
)
(
)
4
3
5 1 .e 3,79 3; 4
f f
⇔ = ≈ ∈
.
Ví dụ 2. Cho
( )
f x
xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên
[
]
1;4
thỏa mãn
( ) ( ) [ ] ( )
2
3
2 , 1;4 , 1
2
x xf x f x x f
′
+ = ∀ ∈ =
. Giá trị
(
)
4
f
bằng:
A.
391
18
B.
361
18
C.
381
18
D.
371
18
Lời giải
Biến đổi:
(
)
(
)
2
2
x xf x f x
′
+ =
(
)
(
)
(
)
2
1 2
x f x f x
′
⇔ + =
(
)
( )
(
)
(
)
2
1 2
1 2
f x
f x
x x
f x
f x
′
′
⇔ = ⇒ =
+
+
.
(
)
( )
4 4
1 1
1 2
f x
dx xdx
f x
′
⇒ =
+
∫ ∫
( )
4
1
14
1 2
3
f x⇔ + =
( ) ( )
14 391
1 2 4 2 4
3 18
f f⇔ + − = ⇔ =
.
Ví dụ 3. Cho
( )
f x
không âm thỏa mãn điều kiện
2
( ). '( ) 2 ( ) 1
f x f x x f x
= +
và
(0) 0
f
=
. Tổng giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
( )
y f x
=
trên
[
]
1;3
là
A.
22
B.
4 11 3
+
C.
20 2
+
D.
3 11 3
+
Lời giải
Biến đổi:
7ҥL W j L O L ӉX PL ӇQ SKt KW W SV YQGRF F RP
Biên soạn: Hoàng Phi Hùng Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng
Trang 3
2
2 2
( ). '( ) ( ). '( )
( ). '( ) 2 ( ) 1 2 2
( ) 1 ( ) 1
f x f x f x f x
f x f x x f x x dx xdx
f x f x
= + ⇔ = ⇒ =
+ +
∫ ∫
2 2
( ) 1
f x x C
⇔ + = +
Với
2 2 2 4 2
(0) 0 1 ( ) 1 1 ( ) 2 ( )
f C f x x f x x x g x
= ⇒ = ⇒ + = + ⇒ = + =
Ta có:
[
]
3
'( ) 4 4 0, 1;3
g x x x x
= + > ∀ ∈
. Suy ra
( )
g x
đồng biến trên
[
]
1;3
Suy ra:
(
)
( ) 0
2 2
(1) ( ) ( ) 3 3 ( ) 99 3 ( ) 3 11
f x
g g x f x g f x f x
≥
≤ = ≤ ⇒ ≤ ≤ → ≤ ≤
[ ]
1;3
3
min ( ) 3
( ) 3 11
f x
Max f x
=
⇒
=
Chú ý: Nếu không tìm được ra luôn
2
2
( ). '( )
( ) 1
( ) 1
f x f x
dx f x C
f x
= + +
+
∫
thì ta có thể sử dụng
kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một)
+) Vi phân:
( )
( ) ( )
1
2 2 2
2
2 2
( ). '( ) ( ) 1
( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1
2
( ) 1 ( ) 1
f x f x f x
dx d f x f x d f x f x C
f x f x
−
= = + + = + +
+ +
∫ ∫ ∫
+ Đổi biến: Đặt
2 2 2
( ) 1 ( ) 1 ( ) '( )
t f x t f x tdt f x f x dx
= + ⇒ = + ⇒ =
Suy ra:
2
2
( ). '( )
( ) 1
( ) 1
f x f x tdt
dx dt t C f x C
t
f x
= = = + = + +
+
∫ ∫ ∫
Ví dụ 4. Cho hàm số
(
)
0
f x
≠
thỏa mãn điều kiện
(
)
(
)
(
)
' 2
2 3 .
f x x f x
= +
và
( )
1
0
2
f
−
=
. Biết
tổng
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 ... 2017 2018
a
f f f f
b
+ + + + =
với
*
,a b
∈ ∈
ℤ ℕ
và
a
b
là phân số tối giản.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1
a
b
<−
. B.
1
a
b
>
. C.
1010
a b
+ =
. D.
3029.
b a
− =
Lời giải
Biến đổi
(
)
(
)
(
)
' 2
2 3 .
f x x f x
= +
(
)
(
)
'
2
2 3
f x
x
f x
⇔ = +
(
)
(
)
( )
'
2
2 3
f x
dx x dx
f x
⇔ = +
∫ ∫
(
)
( )
2
2
1 1
3
3
x x C f x
f x x x C
⇔ − = + + ⇒ = −
+ +
. Mà
( )
1
0
2
f
−
=
nên
2
C
=
.
Do đó
( )
(
)
(
)
2
1 1
3 2 1 2
f x
x x x x
=− =−
+ + + +
.
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 ... 2017 2018
a
f f f f
b
= + + + +
1 1 1 1
.....
2.3 3.4 2018.2019 2019.2020
=− + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1
.....
2 3 3 4 2018 2019 2019 2020
=− − + − + + − + −
1 1
2 2020
=− −
1009
2020
−
=
.
Với điều kiện
,
a b
thỏa mãn bài toán, suy ra:
1009
2020
a
b
=−
=
3029
b a
⇒ − =
.
7ҥL W j L O L ӉX PL ӇQ SKt KW W SV YQGRF F RP
Bài tập trắc nghiệm về tích phân hàm ẩn
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu học tập nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.
- Chuyên đề Tích phân theo cấp độ: Lý thuyết và bài tập nâng cao
- Tính nhanh nguyên hàm - tích phân bằng máy tính Casio
Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết gồm có các dạng bài tập về tích phân hàm ẩn, gồm có các dạng toán thường gặp và phần bài tập tự luyện, bài tập có lời giải kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.
Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Bài tập trắc nghiệm tích phân hàm ẩn, mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 12 nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...
