Chuyên đề Tích phân theo cấp độ: Lý thuyết và bài tập nâng cao
Lý thuyết và bài tập tích phân
VnDoc.com - Tài tài liệu, vbpl, biểu mẫu miễn phí
Trang
1
/80
CHỦ ĐỀ 2. TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho
f
là hàm số liên tục trên đoạn
[ ; ].a b
Giả sử
F
là một nguyên hàm của
f
trên
[ ; ].a b
Hiệu số
( ) ( )F b F a
được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn
[ ; ]a b
của hàm số
( ),f x
kí hiệu là
( ) .
b
a
f x dx
Ta dùng kí hiệu
( ) ( ) ( )
b
a
F x F b F a
để chỉ hiệu số
( ) ( )F b F a
. Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
.
Nhận xét: Tích phân của hàm số
f
từ a đến b có thể kí hiệu bởi
( )
b
a
f x dx
hay
( ) .
b
a
f t dt
Tích phân đó
chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số
f
liên tục và không âm trên đoạn
[ ; ]a b
thì tích phân
( )
b
a
f x dx
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )y f x
, trục Ox và hai đường
thẳng
, .x a x b
Vậy
( ) .
b
a
S f x dx
2. Tính chất của tích phân
1.
( ) 0
a
a
f x dx
2.
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
3.
( ) ( ) ( )
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx
(
a b c
)4.
. ( ) . ( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx k
5.
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
.
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Một số phương pháp tính tích phân
I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
a)
1
3
0
I
(1 )
dx
x
. b)
1
0
I
1
x
dx
x
. c)
1
0
2 9
I
3
x
dx
x
. d)
1
2
0
I
4
x
dx
x
.
Hướng dẫn giải
a)
1
1 1
3 3 2
0 0
0
(1 ) 1 3
I
8
(1 ) (1 ) 2(1 )
dx d x
x x x
.
b)
1 1
1
0
0 0
1
I 1 ln( 1) 1 ln 2
1 1
x
dx dx x x
x x
.
c)
1 1
1
0
0 0
2 9 3
I 2 2 3ln( 3) 3 6ln 2 3ln3
3 3
x
dx dx x x
x x
.
d)
2
1 1
1
2
2 2
0
0 0
4
1 3
I ln | 4 | ln
2 4
4 4
d x
x
dx x
x x
.
VnDoc.com - Tài tài liệu, vbpl, biểu mẫu miễn phí
Trang
2
/80
Bài tập áp dụng
1)
1
3 4 5
0
I ( 1)x x dx
. 2)
1
3
0
I 2 1x x dx
.
3)
1
0
I 1x xdx
. 4)
16
0
I
9
dx
x x
.
II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân
Sử dụng tính chất
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 2: Tính tích phân
2
2
| 1|I x dx
.
Hướng dẫn giải
Nhận xét:
1, 1 2
1 .
1, 2 1
x x
x
x x
Do đó
1 2
2 1 2 1 2
2 2
2 2 1 2 1
2 1
| 1| | 1| | 1| 1 1 5.
2 2
x x
I x dx x dx x dx x dx x dx x x
Bài tập áp dụng
1)
3
2
4
| 4 |I x dx
. 2)
2
3 2
1
| 2 2 |I x x x dx
.
3)
3
0
| 2 4 |
x
I dx
. 4)
2
2
2 | sin |I x dx
. 5)
0
1 cos2I xdx
.
III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số
1) Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số
f
liên tục trên đoạn
[ ; ].a b
Giả sử hàm số
( )u u x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ; ]a b
và
( ) .u x
Giả sử có thể viết
( ) ( ( )) '( ), [ ; ],f x g u x u x x a b
với
g
liên tục trên đoạn
[ ; ].
Khi đó, ta có
( )
( )
( ) ( ) .
u b
b
a u a
I f x dx g u du
Ví dụ 3: Tính tích phân
2
2
0
sin cosI x xdx
.
Hướng dẫn giải
Đặt
sin .u x
Ta có
cos .du xdx
Đổi cận:
0 (0) 0; 1.
2 2
x u x u
Khi đó
1
2
2 2 3
0 0
1
1 1
sin cos .
0
3 3
I x xdx u du u
Bài tập áp dụng
1)
1
2
0
1I x x dx
. 2)
1
3
0
1I x x dx
.
3)
1
1 ln
e
x
I dx
x
. 4)
2
2 2 ln
e
e
dx
I
x x
.
VnDoc.com - Tài tài liệu, vbpl, biểu mẫu miễn phí
Trang
3
/80
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
Dấu hiệu
Có thể đặt
Ví dụ
1
Có
( )f x
( )t f x
3
3
0
1
x dx
I
x
. Đặt
1t x
2
Có
( )
n
ax b
t ax b
1
2016
0
( 1)I x x dx
. Đặt
1t x
3
Có
( )f x
a
( )t f x
tan 3
4
2
0
cos
x
e
I dx
x
. Đặt
tan 3t x
4
Có
ln
dx
và x
x
lnt x
hoặc biểu thức
chứa
ln x
1
ln
(ln 1)
e
xdx
I
x x
. Đặt
ln 1t x
5
Có
x
e dx
x
t e
hoặc biểu thức
chứa
x
e
ln2
2
0
3 1
x x
I e e dx
. Đặt
3 1
x
t e
6
Có
sin xdx
cost x
3
2
0
sin cosI x xdx
. Đặt
sint x
7
Có
cos xdx
sint xdx
3
0
sin
2cos 1
x
I dx
x
Đặt
2cos 1t x
8
Có
2
cos
dx
x
tant x
2
4 4
4 2
0 0
1 1
(1 tan )
cos cos
I dx x dx
x x
Đặt
tant x
9
Có
2
sin
dx
x
cott x
cot cot
4
2
6
1 cos 2
2sin
x x
e e
I dx dx
x
x
. Đặt
cott x
2) Đổi biến số dạng 2
Cho hàm số
f
liên tục và có đạo hàm trên đoạn
[ ; ].a b
Giả sử hàm số
(t)x
có đạo hàm
và liên tục trên đoạn
(*)
[ ; ]
sao cho
( ) , ( )a b
và
( )a t b
với mọi
[ ; ].t
Khi
đó:
( ) ( ( )) '( ) .
b
a
f x dx f t t dt
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
1.
2 2
a x
: đặt
| |sin ; ;
2 2
x a t t
2.
2 2
x a
: đặt
| |
; ; \ {0}
sin 2 2
a
x t
t
3.
2 2
x a
:
| | tan ; ;
2 2
x a t t
4.
a x
a x
hoặc
a x
a x
: đặt
.cos 2x a t
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính
tích phân
3
2
2
0
1
x dx
I
x
thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân
3
3
0
2
1
x dx
I
x
thì nên đổi
biến dạng 1.
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
a)
1
2
0
1I x dx
. b)
1
2
0
1
dx
I
x
.
Hướng dẫn giải
a) Đặt
sinx t
ta có
cos .dx tdt
Đổi cận:
0 0; 1
2
x t x t
.
Chuyên đề Tích phân theo cấp độ: Lý thuyết và bài tập
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc Chuyên đề Tích phân theo cấp độ: Lý thuyết và bài tập nâng cao để bạn đọc cùng tham khảo. Mong rằng qua đây bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.
Chuyên đề Tích phân theo cấp độ: Lý thuyết và bài tập nâng cao vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc tham khảo. Bài viết gồm có lý thuyết và bài tập về tích phân trong toán học lớp 12. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.
Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Chuyên đề Tích phân theo cấp độ: Lý thuyết và bài tập nâng cao, mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán 12. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...
