Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong hình học không gian Oxyz, việc xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đóng vai trò quan trọng trong giải các bài toán liên quan đến hình học 3D, ứng dụng trong kiến trúc, kỹ thuật và công nghệ. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng một cách chi tiết, dễ hiểu, kèm theo ví dụ minh họa và công thức áp dụng chuẩn xác. Nếu bạn đang tìm kiếm một phương pháp đơn giản và hiệu quả để giải bài toán này, hãy cùng khám phá ngay sau đây.
A. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian 
\(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow{u_{d}}\) và mặt phẳng \((\alpha)\) có VTPT \(\overrightarrow{n_{\alpha}}\).
Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((\alpha)\) bằng góc giữa đường thẳng \(d\) với hình chiếu \(d'\) của nó trên \((\alpha)\).
Tức là:
\(\sin\left( d,(\alpha) \right) =
\left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{n_{\alpha}}
\right) \right| = \frac{\left|
\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{\alpha}} \right|}{\left|
\overrightarrow{u_{d}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{\alpha}}
\right|}\).
B. Bài tập tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{matrix}
x = 6 + 5t \\
y = 2 + t \\
z = 1 \\
\end{matrix} \right.\) và mặt phẳng \((P):3x - 2y + 1 = 0\). Tính góc hợp bởi giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có VTCP \(\overrightarrow{u_{d}} = (5;1;0)\). Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow{n_{P}} =
(3; - 2;0)\).
Gọi \(\varphi\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Ta có \(\sin\varphi = \left| \cos\left(
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{P}} \right) \right| =
\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Rightarrow
\varphi = 45^{0}\)
Câu 2: Cho mặt phẳng \((P):3x + 4y + 5z + 8
= 0\) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng: \((\alpha):x - 2y + 1 = 0\) và \((\beta):x - 2z - 3 = 0\). Gọi \(\varphi\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:
A. \(\varphi = 30^{0}\) B. \(\varphi = 90^{0}\) C. \(\varphi = 60^{0}\) D. \(\varphi = 45^{0}\)
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:
\(\overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack
\overrightarrow{n_{(\alpha)}};\overrightarrow{n_{(\beta)}} \right\rbrack
= (4;2;2)\)
\(\sin\varphi = \left| \cos\left(
\overrightarrow{u_{d}};n_{P} \right) \right| =
\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow
\varphi = 60^{0}\)
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - t \\
y = 2 + 2t \\
z = 3 + t \\
\end{matrix} \right.\) và mặt phẳng \((P):x - y + 3 = 0\). Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)\)
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)\)
Gọi \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó ta có
\(\sin\alpha = \frac{\left|
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u}
\right|\left| \overrightarrow{n} \right|}\) \(= \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0
\right|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} +
0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha = 60^{0}\)
Câu 4. Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P): - \sqrt{3}x + y + 1 =
0\). Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow{n}
= \left( - \sqrt{3};1;0 \right)\)
Trục Ox có VTCP \(\overrightarrow{i} =
(1;0;0)\)
Góc tạo bởi (P) với trục Ox
\(\sin\left( (P);Ox \right) = \left|
\cos\left( (P);Ox \right) \right| = \frac{\left|
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{u}
\right|\left| \overrightarrow{i} \right|}\)
\(= \frac{\left| - \sqrt{3}.1 + 1.0 + 0.0
\right|}{\sqrt{3 + 1}.\sqrt{1}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Vậy góc tạo bởi (P) với trục Ox bằng \(60^{0}\).
Câu 5. Trong không gian \(Oxyz\) cho đường thẳng \(\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2}
= \frac{z}{- 1}\) và mặt phẳng \((\alpha):x - y + 2z = 0\). Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng \((\alpha)\)?
Hướng dẫn giải
Đường thẳng \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)\), mặt phẳng \((\alpha)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (1; -
1;2)\).
Gọi \(\varphi\) là góc giữa đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng\((\alpha)\), khi đó
\(\sin(\varphi) = \left| \cos\left(
\overrightarrow{n};\overrightarrow{u} \right) \right| = \frac{\left|
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u}
\right|\left| \overrightarrow{n} \right|}\)
\(= \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}
= \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 30^{0}\)
--------------------------------
Hy vọng qua bài viết trên, bạn đã hiểu rõ cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian một cách bài bản và có thể áp dụng vào thực tế học tập hoặc công việc. Đừng quên ôn luyện với các ví dụ và bài tập để nắm chắc kiến thức hơn. Nếu bạn thấy bài viết hữu ích, hãy chia sẻ cho bạn bè hoặc lưu lại để tham khảo khi cần nhé!
