VnDoc.com

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là gì?

Bài trước

Tải về

Bài sau

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

A. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
B. Bài tập tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong hình học không gian Oxyz, việc xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đóng vai trò quan trọng trong giải các bài toán liên quan đến hình học 3D, ứng dụng trong kiến trúc, kỹ thuật và công nghệ. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng một cách chi tiết, dễ hiểu, kèm theo ví dụ minh họa và công thức áp dụng chuẩn xác. Nếu bạn đang tìm kiếm một phương pháp đơn giản và hiệu quả để giải bài toán này, hãy cùng khám phá ngay sau đây.

A. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow{u_{d}}$ $\vec{u_{d}}$ và mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ có VTPT $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ $\vec{n_{α}}$ .

Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ bằng góc giữa đường thẳng $d$ với hình chiếu $d^{'}$ của nó trên $(\alpha)$ $(α)$ .

Tức là:

$\sin\left( d,(\alpha) \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{\alpha}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{d}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{\alpha}} \right|}$ $\sin (d, (α)) = | \cos (\vec{u_{d}}, \vec{n_{α}}) | = \frac{| \vec{u_{d}} . \vec{n_{α}} |}{| \vec{u_{d}} | . | \vec{n_{α}} |}$ .

B. Bài tập tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 6 + 5t \\ y = 2 + t \\ z = 1 \\ \end{matrix} \right.$ $d : {\begin{matrix} x = 6 + 5 t \\ y = 2 + t \\ z = 1 \end{matrix}$ và mặt phẳng $(P) : 3 x - 2 y + 1 = 0$ . Tính góc hợp bởi giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có VTCP $\overrightarrow{u_{d}} = (5;1;0)$ $\vec{u_{d}} = (5; 1; 0)$ . Mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{n_{P}} = (3; - 2;0)$ $\vec{n_{P}} = (3; - 2; 0)$ .

Gọi $\varphi$ $φ$ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Ta có $\sin\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{P}} \right) \right| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin φ = | \cos (\vec{u_{d}}; \vec{n_{P}}) | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow \varphi = 45^{0}$ $\Rightarrow φ = 45^{0}$

Câu 2: Cho mặt phẳng $(P) : 3 x + 4 y + 5 z + 8 = 0$ và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng: $(\alpha):x - 2y + 1 = 0$ $(α) : x - 2 y + 1 = 0$ và $(\beta):x - 2z - 3 = 0$ $(β) : x - 2 z - 3 = 0$ . Gọi $\varphi$ $φ$ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:

A. $\varphi = 30^{0}$ $φ = 30^{0}$ B. $\varphi = 90^{0}$ $φ = 90^{0}$ C. $\varphi = 60^{0}$ $φ = 60^{0}$ D. $\varphi = 45^{0}$ $φ = 45^{0}$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

$\overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(\alpha)}};\overrightarrow{n_{(\beta)}} \right\rbrack = (4;2;2)$ $\vec{u_{d}} = [\vec{n_{(α)}}; \vec{n_{(β)}}] = (4; 2; 2)$

$\sin\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};n_{P} \right) \right| = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin φ = | \cos (\vec{u_{d}}; n_{P}) | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow \varphi = 60^{0}$ $\Rightarrow φ = 60^{0}$

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.$ $d : {\begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 3 + t \end{matrix}$ và mặt phẳng $(P) : x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$ $\vec{u} = (- 1; 2; 1)$

Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$ $\vec{n} = (1; - 1; 0)$

Gọi $\alpha$ $α$ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó ta có

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|}$ $\sin α = \frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | | \vec{n} |}$ $= \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 \right|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $= \frac{| - 1.1 + 2. (- 1) + 1.0 |}{\sqrt{(- 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + (- 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$ $\Rightarrow α = 60^{0}$

Câu 4. Trong không gian $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ $(P) : - \sqrt{3} x + y + 1 = 0$ . Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 \right)$ $\vec{n} = (- \sqrt{3}; 1; 0)$

Trục Ox có VTCP $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$ $\vec{i} = (1; 0; 0)$

Góc tạo bởi (P) với trục Ox

$\sin\left( (P);Ox \right) = \left| \cos\left( (P);Ox \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{i} \right|}$ $\sin ((P); O x) = | \cos ((P); O x) | = \frac{| \vec{u} . \vec{i} |}{| \vec{u} | | \vec{i} |}$

$= \frac{\left| - \sqrt{3}.1 + 1.0 + 0.0 \right|}{\sqrt{3 + 1}.\sqrt{1}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $= \frac{| - \sqrt{3} .1 + 1.0 + 0.0 |}{\sqrt{3 + 1} . \sqrt{1}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy góc tạo bởi (P) với trục Ox bằng $60^{0}$ $60^{0}$ .

Câu 5. Trong không gian $O x y z$ cho đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ $(α) : x - y + 2 z = 0$ . Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ $Δ$ và mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $\Delta$ $Δ$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$ $\vec{u} = (1; 2; - 1)$ , mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$ $\vec{n} = (1; - 1; 2)$ .

Gọi $\varphi$ $φ$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ $Δ$ và mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ , khi đó

$\sin(\varphi) = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|}$ $\sin (φ) = | \cos (\vec{n}; \vec{u}) | = \frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | | \vec{n} |}$

$= \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 30^{0}$ $= \frac{| 1 - 2 - 2 |}{\sqrt{6} . \sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 30^{0}$

--------------------------------

Hy vọng qua bài viết trên, bạn đã hiểu rõ cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian một cách bài bản và có thể áp dụng vào thực tế học tập hoặc công việc. Đừng quên ôn luyện với các ví dụ và bài tập để nắm chắc kiến thức hơn. Nếu bạn thấy bài viết hữu ích, hãy chia sẻ cho bạn bè hoặc lưu lại để tham khảo khi cần nhé!

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

11

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Bơ

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

277,8 KB

File word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!