VnDoc.com

Cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian

Công thức toán 12

Bài trước

Tải về

Bài sau

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

A. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian
B. Bài tập tính góc giữa hai đường thẳng

Trong toán học không gian, việc xác định góc giữa hai đường thẳng là một kiến thức quan trọng, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, kỳ thi THPT Quốc gia và ứng dụng trong thực tiễn như kiến trúc, cơ học và đồ họa 3D. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ cách tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian, từ lý thuyết cơ bản đến công thức và ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn áp dụng chính xác và hiệu quả vào bài toán thực tế.

A. Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng

Trong không gian $O x y z$ , cho hai đường thẳng $d_{1},\ d_{2}$ $d_{1}, d_{2}$ lần lượt có các VTPT là $\overrightarrow{u_{1}},\ \overrightarrow{u_{2}}$ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ .

Góc giữa $d_{1}$ $d_{1}$ và $d_{2}$ $d_{2}$ bằng hoặc bù với góc giữa $\overrightarrow{u_{1}}$ $\vec{u_{1}}$ và $\overrightarrow{u_{2}}$ $\vec{u_{2}}$ .

Tức là:

$\cos\left( d_{1},d_{2} \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|}$ $\cos (d_{1}, d_{2}) = | \cos (\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}) | = \frac{| \vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} |}{| \vec{u_{1}} | . | \vec{u_{2}} |}$

B. Bài tập tính góc giữa hai đường thẳng

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho hai đường thẳng

$\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 5 - 2t \\ z = 14 - 3t \\ \end{matrix} \right.$ $Δ : {\begin{matrix} x = t \\ y = 5 - 2 t \\ z = 14 - 3 t \end{matrix}$ và $\Delta$ $Δ^{'} : {\begin{matrix} x = 1 - 4 t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 + 5 t \end{matrix}$ .

Xác định góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ $Δ$ và $\Delta$ $Δ^{'}$ .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $\Delta$ $Δ$ có VTCP $\overrightarrow{u} = (1; - 2; - 3)$ $\vec{u} = (1; - 2; - 3)$ , $\Delta$ $Δ^{'}$ có VTCP $\overrightarrow{u$ $\vec{u^{'}} = (- 4; 1; 5)$ .

Gọi $\varphi$ $φ$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ $Δ$ và $\Delta$ $Δ^{'}$ .

Ta có:

$\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{u$ $\cos φ = | \cos (\vec{u}, \vec{u^{'}}) |$

$= \frac{\left| 1.( - 4) + ( - 2).1 + ( - 3).5 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( - 3)^{2}}.\sqrt{( - 4)^{2} + 1^{2} + 5^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $= \frac{| 1. (- 4) + (- 2) .1 + (- 3) .5 |}{\sqrt{1^{2} + (- 2)^{2} + (- 3)^{2}} . \sqrt{(- 4)^{2} + 1^{2} + 5^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\rightarrow \varphi = 30^{0}.$ $\to φ = 30^{0} .$

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho bốn điểm $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 1; 0)$ , $C (0; 0; 1)$ và $D (- 2; 1; - 1)$ . Góc giữa hai cạnh $A B$ và $C D$ có số đo là:

A. $30^{0}$ $30^{0}$ B. $45^{0}$ $45^{0}$ C. $60^{0}$ $60^{0}$ D. $90^{0}$ $90^{0}$

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 1;1;0)$ $\vec{A B} = (- 1; 1; 0)$ và $\overrightarrow{CD} = ( - 2;1; - 2)$ $\vec{C D} = (- 2; 1; - 2)$ .

Gọi $\varphi$ $φ$ là góc giữa hai đường thẳng $A B$ và $C D$ .

Ta có $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) \right| = \frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow \varphi = 45^{0}.$ $\cos φ = | \cos (\vec{A B}, \vec{C D}) | = \frac{\sqrt{2}}{2} \to φ = 45^{0} .$

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho hai đường thẳng

$d_{1}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ $d_{1} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ và $d_{2}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 3}{1}$ $d_{2} : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 3}{1}$

Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $d_{1}$ $d_{1}$ và $d_{2}$ $d_{2}$ .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d_{1}$ $d_{1}$ có VTCP $\overrightarrow{u_{1}} = (2;2; - 1)$ $\vec{u_{1}} = (2; 2; - 1)$ .

Đường thẳng $d_{2}$ $d_{2}$ có VTCP $\overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1)$ $\vec{u_{2}} = (1; - 2; 1)$ .

Ta có $\cos\left( d_{1};d_{2} \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|}$ $\cos (d_{1}; d_{2}) = | \cos (\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}) | = \frac{| \vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} |}{| \vec{u_{1}} | | \vec{u_{2}} |}$

$= \frac{|2 - 4 - 1|}{\sqrt{4 + 4 + 1}.\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ $= \frac{| 2 - 4 - 1 |}{\sqrt{4 + 4 + 1} . \sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ s

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho hai đường thẳng

$d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = - \sqrt{2}t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right.$ $d_{1} : {\begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = - \sqrt{2} t \\ z = 2 + t \end{matrix}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + \sqrt{2}t \\ z = 2 + mt \\ \end{matrix} \right.$ $d_{2} : {\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + \sqrt{2} t \\ z = 2 + m t \end{matrix}$ .

Tìm giá trị của tham số m để hai đường thẳng hợp với nhau một góc bằng $60^{0}$ $60^{0}$ ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d_{1}$ $d_{1}$ có VTCP $\overrightarrow{u_{1}} = \left( 1; - \sqrt{2};1 \right)$ $\vec{u_{1}} = (1; - \sqrt{2}; 1)$ , $d_{2}$ $d_{2}$ có VTCP $\overrightarrow{u_{2}} = \left( 1;\sqrt{2};m \right)$ $\vec{u_{2}} = (1; \sqrt{2}; m)$ .

Do đó

$cos60^{0} = \cos\left( d_{1};d_{2} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right) \right|$ $c o s 60^{0} = \cos (d_{1}; d_{2}) \Leftrightarrow \frac{1}{2} = | \cos (\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}) |$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|\left| \overrightarrow{u_{2}} \right|} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{|m - 1|}{2\sqrt{m^{2} + 3}} \Leftrightarrow m = - 1$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{| \vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} |}{| \vec{u_{1}} | | \vec{u_{2}} |} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{| m - 1 |}{2 \sqrt{m^{2} + 3}} \Leftrightarrow m = - 1$ .

-------------------------------------------------

Như vậy, bạn đã nắm được toàn bộ phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian một cách chi tiết và dễ hiểu. Hãy luyện tập thêm với các ví dụ và bài tập để củng cố kiến thức, đồng thời tăng khả năng vận dụng trong các đề thi và bài toán thực tiễn. Nếu bạn thấy bài viết hữu ích, đừng quên chia sẻ để lan tỏa giá trị đến những người cùng học nhé!

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

7

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Đen2017

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian

250,1 KB

File Word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!