Cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian
Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Trong toán học không gian, việc xác định góc giữa hai đường thẳng là một kiến thức quan trọng, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, kỳ thi THPT Quốc gia và ứng dụng trong thực tiễn như kiến trúc, cơ học và đồ họa 3D. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ cách tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian, từ lý thuyết cơ bản đến công thức và ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn áp dụng chính xác và hiệu quả vào bài toán thực tế.
A. Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng
Trong không gian 
\(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(d_{1},\ d_{2}\) lần lượt có các VTPT là \(\overrightarrow{u_{1}},\
\overrightarrow{u_{2}}\).
Góc giữa \(d_{1}\) và \(d_{2}\) bằng hoặc bù với góc giữa \(\overrightarrow{u_{1}}\) và \(\overrightarrow{u_{2}}\).
Tức là:
\(\cos\left( d_{1},d_{2} \right) =
\left| \cos\left( \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right)
\right| = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}}
\right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\left|
\overrightarrow{u_{2}} \right|}\)
B. Bài tập tính góc giữa hai đường thẳng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\(\Delta:\left\{ \begin{matrix}
x = t \\
y = 5 - 2t \\
z = 14 - 3t \\
\end{matrix} \right.\) và \(\Delta':\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - 4t \\
y = 2 + t \\
z = - 1 + 5t \\
\end{matrix} \right.\).
Xác định góc giữa hai đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta'\).
Hướng dẫn giải
Đường thẳng \(\Delta\) có VTCP \(\overrightarrow{u} = (1; - 2; - 3)\), \(\Delta'\) có VTCP \(\overrightarrow{u'} = ( - 4;1;5)\).
Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta'\).
Ta có:
\(\cos\varphi = \left| \cos\left(
\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right) \right|\)
\(= \frac{\left| 1.( - 4) + ( - 2).1 + ( -
3).5 \right|}{\sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( - 3)^{2}}.\sqrt{( - 4)^{2} +
1^{2} + 5^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\rightarrow \varphi =
30^{0}.\)
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(0;0;1)\) và \(D( - 2;1; - 1)\). Góc giữa hai cạnh \(AB\) và \(CD\) có số đo là:
A. \(30^{0}\) B. \(45^{0}\) C. \(60^{0}\) D. \(90^{0}\)
Hướng dẫn giải
Ta có \(\overrightarrow{AB} = ( -
1;1;0)\) và \(\overrightarrow{CD} = ( -
2;1; - 2)\).
Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\).
Ta có \(\cos\varphi = \left| \cos\left(
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) \right| =
\frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow \varphi = 45^{0}.\)
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\(d_{1}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{2} =
\frac{z + 1}{- 1}\) và \(d_{2}:\frac{x
+ 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 3}{1}\)
Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng \(d_{1}\) và \(d_{2}\).
Hướng dẫn giải
Đường thẳng \(d_{1}\) có VTCP \(\overrightarrow{u_{1}} = (2;2; - 1)\).
Đường thẳng \(d_{2}\) có VTCP \(\overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1)\).
Ta có \(\cos\left( d_{1};d_{2} \right) =
\left| \cos\left( \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right)
\right| = \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}}
\right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|\left|
\overrightarrow{u_{2}} \right|}\)
\(= \frac{|2 - 4 - 1|}{\sqrt{4 + 4 +
1}.\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{\sqrt{6}}{6}\) s
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\(d_{1}:\left\{ \begin{matrix}
x = - 1 + t \\
y = - \sqrt{2}t \\
z = 2 + t \\
\end{matrix} \right.\) và \(d_{2}:\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = 1 + \sqrt{2}t \\
z = 2 + mt \\
\end{matrix} \right.\).
Tìm giá trị của tham số m để hai đường thẳng hợp với nhau một góc bằng \(60^{0}\)?
Hướng dẫn giải
Đường thẳng \(d_{1}\) có VTCP \(\overrightarrow{u_{1}} = \left( 1; - \sqrt{2};1
\right)\), \(d_{2}\) có VTCP \(\overrightarrow{u_{2}} = \left( 1;\sqrt{2};m
\right)\).
Do đó
\(cos60^{0} = \cos\left( d_{1};d_{2}
\right) \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \left| \cos\left(
\overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} \right)
\right|\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2} =
\frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}}
\right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|\left|
\overrightarrow{u_{2}} \right|} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{|m -
1|}{2\sqrt{m^{2} + 3}} \Leftrightarrow m = - 1\).
-------------------------------------------------
Như vậy, bạn đã nắm được toàn bộ phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian một cách chi tiết và dễ hiểu. Hãy luyện tập thêm với các ví dụ và bài tập để củng cố kiến thức, đồng thời tăng khả năng vận dụng trong các đề thi và bài toán thực tiễn. Nếu bạn thấy bài viết hữu ích, đừng quên chia sẻ để lan tỏa giá trị đến những người cùng học nhé!
