VnDoc.com

Cách tìm vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng trong không gian

Chuyên đề Toán 12 Phương trình đường thẳng

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tìm vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

A. Phương pháp vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
B. Bài tập xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Việc xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian là kiến thức quan trọng trong hình học lớp 12, thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia và các kỳ kiểm tra chuyên đề Toán học. Các vị trí như: cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc chéo nhau cần được phân biệt rõ ràng để đưa ra cách giải phù hợp. Trong bài viết này, bạn sẽ được hướng dẫn chi tiết cách tìm vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian, kèm theo công thức, phương pháp đại số và hình học, cùng ví dụ minh họa dễ hiểu.

A. Phương pháp vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Để xét vị trị tương đối của $d_{1}$ $d_{1}$ và $d_{2}$ $d_{2}$, ta sử dụng hai phương pháp sau:

Phương pháp hình học:

$d_{1} \equiv d_{2}\ \Leftrightarrow \ \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0}$ $d_{1} \equiv d_{2}\ \Leftrightarrow \ \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0}$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}//\overrightarrow{u_{2}} \\ M_{1} \in d_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix} \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}} \\ M_{1} \in d_{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}//\overrightarrow{u_{2}} \\ M_{1} \in d_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix} \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}} \\ M_{1} \in d_{2} \\ \end{matrix} \right.$.
$d_{1} \parallel d_{2}\ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} \\ \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack \neq \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} \right.$ $d_{1} \parallel d_{2}\ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = \overrightarrow{0} \\ \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \right\rbrack \neq \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}//\overrightarrow{u_{2}} \\ M_{1} \notin d_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix} \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}} \\ M_{1} \notin d_{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}//\overrightarrow{u_{2}} \\ M_{1} \notin d_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix} \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}} \\ M_{1} \notin d_{2} \\ \end{matrix} \right.$.
$d_{1}$ $d_{1}$ cắt $d_{2} \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack \neq \overrightarrow{0} \\ \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack.\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $d_{2} \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack \neq \overrightarrow{0} \\ \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack.\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = 0 \\ \end{matrix} \right.$.
$d_{1}$ $d_{1}$ chéo $d_{2} \Leftrightarrow \ \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack.\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \neq 0$ $d_{2} \Leftrightarrow \ \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack.\overrightarrow{M_{1}M_{2}} \neq 0$.

Phương pháp đại số:

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. $\left\{ \begin{matrix} x_{\circ} + a_{1}t = {x$ $\left\{ \begin{matrix} x_{\circ} + a_{1}t = {x'}_{\circ} + {a'}_{1}t' \\ y_{\circ} + a_{2}t = {y'}_{\circ} + {a'}_{2}t' \\ z_{\circ} + a_{3}t = {z'}_{\circ} + {a'}_{3}t' \\ \end{matrix} \right.\ \ .$

B. Bài tập xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

$d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = - t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} \right.$ $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = - t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} \right.$ và $d_{2}:\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ $d_{2}:\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$.

Vị trí tương đối của $d_{1}$ $d_{1}$ và $d_{2}$ $d_{2}$ là:

A. Song song. B. Trùng nhau. C. Cắt nhau. D. Chéo nhau.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d_{1}$ $d_{1}$ đi qua $M_{1}( - 1;0;1)$ $M_{1}( - 1;0;1)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{1}} = (3; - 1; - 2)$ $\overrightarrow{u_{1}} = (3; - 1; - 2)$.

Đường thẳng $d_{2}$ $d_{2}$ đi qua $M_{2}(1;2;3)$ $M_{2}(1;2;3)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{2}} = ( - 3;1;2)$ $\overrightarrow{u_{2}} = ( - 3;1;2)$.

Ta có $\frac{3}{- 3} = \frac{- 1}{1} = \frac{- 2}{2}$ $\frac{3}{- 3} = \frac{- 1}{1} = \frac{- 2}{2}$ nên $\overrightarrow{u_{1}}//\overrightarrow{u_{2}}$ $\overrightarrow{u_{1}}//\overrightarrow{u_{2}}$. $(1)$

$\frac{- 1 - 1}{- 3} \neq \frac{0 - 2}{1} \neq \frac{1 - 3}{2}$ $\frac{- 1 - 1}{- 3} \neq \frac{0 - 2}{1} \neq \frac{1 - 3}{2}$ nên $M_{1} \notin d_{2}$ $M_{1} \notin d_{2}$. $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra $d_{1}$ $d_{1}$ và $d_{2}$ $d_{2}$ song song.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

$d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{1}$ $d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{1}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right.$ $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right.$.

Xác định vị trí tương đối của $d_{1}$ $d_{1}$ và $d_{2}$ $d_{2}$?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d_{1}$ $d_{1}$ đi qua $M_{1}(3;2;1)$ $M_{1}(3;2;1)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{1}} = (1;2;1)$ $\overrightarrow{u_{1}} = (1;2;1)$.

Đường thẳng $d_{2}$ $d_{2}$ đi qua $M_{2}(0;2;2)$ $M_{2}(0;2;2)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{2}} = (1;0;1)$ $\overrightarrow{u_{2}} = (1;0;1)$.

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = (2;0; - 2)$ $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = (2;0; - 2)$, $\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 3;0;1)$ $\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 3;0;1)$.

Suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack.\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = - 6 + 0 - 2 = - 8 \neq 0$ $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack.\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = - 6 + 0 - 2 = - 8 \neq 0$. Do đó $d_{1}$ $d_{1}$ và $d_{2}$ $d_{2}$ chéo nhau.

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

$d_{1}:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 3}$ $d_{1}:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 3}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = - 3 - t \\ z = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = - 3 - t \\ z = 0 \\ \end{matrix} \right.$.

Mệnh đề nào sau đây đúng:

A. $d_{1}$ $d_{1}$ song song $d_{2}$ $d_{2}$. B. $d_{1}$ $d_{1}$ và $d_{2}$ $d_{2}$ chéo nhau.

C. $d_{1}$ $d_{1}$ cắt $d_{2}$ $d_{2}$ và vuông góc với nhau. D. $d_{1}$ $d_{1}$ vuông góc $d_{2}$ $d_{2}$ và không cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d_{1}$ $d_{1}$ qua $M_{1}(0;0;2)$ $M_{1}(0;0;2)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{1}} = (1;2; - 3)$ $\overrightarrow{u_{1}} = (1;2; - 3)$,

$d_{2}$ $d_{2}$ qua $M_{2}(0; - 3;0)$ $M_{2}(0; - 3;0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 1;0)$ $\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 1;0)$.

$\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = 2 - 2 = 0 \Rightarrow d_{1}\bot d_{2}$ $\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = 2 - 2 = 0 \Rightarrow d_{1}\bot d_{2}$ $(1)$

$\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = ( - 3; - 6; - 5),\ \ \ \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (0; - 3; - 2) \Rightarrow \overrightarrow{M_{1}M_{2}}.\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = 18 + 10 \neq 0$ $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = ( - 3; - 6; - 5),\ \ \ \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (0; - 3; - 2) \Rightarrow \overrightarrow{M_{1}M_{2}}.\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = 18 + 10 \neq 0$.

Vậy $d_{1}$ $d_{1}$ vuông góc $d_{2}$ $d_{2}$ và không cắt nhau.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

$d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 2 + 3t \\ z = 6 - 4t \\ \end{matrix} \right.$ $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 2 + 3t \\ z = 6 - 4t \\ \end{matrix} \right.$ và $d_{2}:\frac{x + 4}{6} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 5}{3}$ $d_{2}:\frac{x + 4}{6} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 5}{3}$.

Mệnh đề nào sau đây đúng:

A. $d_{1}$ $d_{1}$ song song $d_{2}$ $d_{2}$. B. $d_{1}$ $d_{1}$ và $d_{2}$ $d_{2}$ chéo nhau.

C. $d_{1}$ $d_{1}$ cắt $d_{2}$ $d_{2}$ và vuông góc với nhau. D. $d_{1}$ $d_{1}$ vuông góc $d_{2}$ $d_{2}$ và không cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d_{1}$ $d_{1}$ qua $M_{1}(0; - 2;6)$ $M_{1}(0; - 2;6)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{1}} = (1;3; - 4)$ $\overrightarrow{u_{1}} = (1;3; - 4)$,

$d_{2}$ $d_{2}$ qua $M_{2}( - 4;2; - 5)$ $M_{2}( - 4;2; - 5)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{2}} = (6;2;3)$ $\overrightarrow{u_{2}} = (6;2;3)$.

$\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = 6 + 6 - 12 = 0 \Rightarrow d_{1}\bot d_{2}$ $\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = 6 + 6 - 12 = 0 \Rightarrow d_{1}\bot d_{2}$ $(1)$

$\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = (17; - 27; - 16),\ \ \ \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 4;4; - 11)$ $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = (17; - 27; - 16),\ \ \ \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 4;4; - 11)$

$\Rightarrow \overrightarrow{M_{1}M_{2}}.\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = - 68 - 108 + 176 = 0$ $\Rightarrow \overrightarrow{M_{1}M_{2}}.\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = - 68 - 108 + 176 = 0$.

Vậy $d_{1}$ $d_{1}$ cắt $d_{2}$ $d_{2}$ và vuông góc với nhau.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

$d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + at \\ y = - 2 + t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} \right.$ $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + at \\ y = - 2 + t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} \right.$ và $d':\frac{x}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 2}{2}$.

Với giá trị nào sau đây của $a$ thì $d$ và $d'$ song song với nhau?

A.$a = 0$ B.$a = 1$ C.$a = - 2$ D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d$ qua $M(1; - 2;0)$ và có VTCP $\overrightarrow{u} = (a;1; - 2)$ $\overrightarrow{u} = (a;1; - 2)$.

Đường thẳng $d'$ qua $M'(0;3; - 2)$ và có VTCP $\overrightarrow{u$ $\overrightarrow{u'} = (2; - 1;2)$.

Thay điểm $M(1; - 2;0)$ vào phương trình $d':\frac{1}{2} = \frac{- 2 - 3}{- 1} = \frac{0 + 2}{2}$ không thỏa mãn.

Do đó để $d$ song song $d'$, ta cần có $\overrightarrow{u} \parallel \overrightarrow{u$ $\overrightarrow{u} \parallel \overrightarrow{u'} \Leftrightarrow \frac{a}{2} = \frac{1}{- 1} = \frac{- 2}{2} \Rightarrow a = - 2$.

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

$d_{1}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 1}{1}$ $d_{1}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 1}{1}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = n + 2t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + mt \\ \end{matrix} \right.$ $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = n + 2t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + mt \\ \end{matrix} \right.$.

Với giá trị nào của $m,\ n$ $m,\ n$ thì hai đường thẳng đó trùng nhau?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d_{1}$ $d_{1}$ qua $M_{1}(1;3; - 1)$ $M_{1}(1;3; - 1)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;1)$ $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;1)$.

Đường thẳng $d_{2}$ $d_{2}$ qua $M_{2}(n; - 1;3)$ $M_{2}(n; - 1;3)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 2;m)$ $\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 2;m)$.

Để $d_{1} \equiv d_{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} M_{2} \in d_{1} \\ \overrightarrow{u_{1}} \parallel \overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} \right.$ $d_{1} \equiv d_{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} M_{2} \in d_{1} \\ \overrightarrow{u_{1}} \parallel \overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{n - 1}{1} = \dfrac{- 1 - 3}{- 1} = \dfrac{3 + 1}{1} \\ \dfrac{2}{1} = \dfrac{- 2}{- 1} = \dfrac{m}{1} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} n = 5 \\ m = 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{n - 1}{1} = \dfrac{- 1 - 3}{- 1} = \dfrac{3 + 1}{1} \\ \dfrac{2}{1} = \dfrac{- 2}{- 1} = \dfrac{m}{1} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} n = 5 \\ m = 2 \\ \end{matrix} \right.$.

-----------------------------------------------------

Hy vọng qua bài viết, bạn đã hiểu rõ cách xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian và có thể vận dụng vào việc giải các bài toán hình học không gian một cách chính xác. Hãy luyện tập thêm các ví dụ và bài tập nâng cao để ghi nhớ lâu hơn và làm chủ kiến thức này. Nếu thấy bài viết hữu ích, bạn hãy lưu lại hoặc chia sẻ để cùng học tốt hơn nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: