Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Cách tìm vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong hình học không gian, việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là một kỹ năng quan trọng, giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán 3D, đặc biệt trong chương trình Toán lớp 12 và kỳ thi THPT Quốc gia. Hiểu rõ cách nhận biết các vị trí như: song song, cắt nhau hoặc nằm trong mặt phẳng sẽ giúp bạn tư duy chính xác và giải nhanh bài toán. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, kèm theo ví dụ minh họa, công thức và phương pháp giải dễ hiểu.

A. Cách tìm vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng

Để xét vị trị tương đối của dd(\alpha)(α), ta sử dụng hai phương pháp sau:

a. Phương pháp hình học

  • Nếu \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{n_{\alpha}} \\
M\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right) \in (\alpha) \\
\end{matrix} \right.{udnαM(x0;y0;z0)(α) thì d
\subset (\alpha)d(α).
  • Nếu \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{n_{\alpha}} \\
M\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right) \notin (\alpha) \\
\end{matrix} \right.{udnαM(x0;y0;z0)(α) thìd//(\alpha)d//(α).
  • Nếu \overrightarrow{u_{d}}ud không cùng phương với \overrightarrow{n_{\alpha}}nα thì dd cắt (\alpha)(α).
  • d\bot(\alpha) \Leftrightarrow \
\overrightarrow{u_{d}}d(α) ud\overrightarrow{n_{\alpha}}nα cùng phương \overrightarrow{u_{d}} =
k.\overrightarrow{n_{\alpha}}ud=k.nα với k\neq 0k0.

b. Phương pháp đại số

Xét hệ phương trình \left\{
\begin{matrix}
x = x_{o} + at & (1) \\
y = y_{o} + bt & (2) \\
z = z_{o} + ct & (3) \\
Ax + By + Cz + D = 0 & (4) \\
\end{matrix} \right.{x=xo+at(1)y=yo+bt(2)z=zo+ct(3)Ax+By+Cz+D=0(4) .

Thay (1),\ (2),\ (3)(1), (2), (3) vào (4)(4), ta được

A\left( x_{o} + at \right) + B\left(
y_{o} + bt \right) + C\left( z_{o} + ct \right) + D = 0A(xo+at)+B(yo+bt)+C(zo+ct)+D=0

\Leftrightarrow (Aa + Bb + Cc)t = -
\left( D + Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} \right)(Aa+Bb+Cc)t=(D+Ax0+By0+Cz0). (*)()

Phương trình (*)() là phương trình bậc nhất, ẩn tt. Ta có

  • Nếu phương trình (*)() vô nghiệm tt thì d//(\alpha)d//(α).
  • Nếu phương trình (*)() có nghiệm tt duy nhất thì dd cắt (\alpha)(α).
  • Nếu phương trình (*)() có vô số nghiệm tt thì d \subset (\alpha)d(α).

Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta giải phương trình bậc nhất theo tt, sau đó thay giá trị của tt vào phương trình tham số của dd để tìm (x;y;z)(x;y;z).

B. Bài tập xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho cho mặt phẳng (P):x - 2y + 3z - 1 = 0(P):x2y+3z1=0 và đường thẳng d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{3} =\frac{z - 3}{1}d:x13=y23=z31. Khẳng định nào sau đây đúng:

A. Đường thẳng dd cắt mặt phẳng (P)(P).

B. Đường thẳng dd song song với mặt phẳng (P)(P).

C. Đường thẳng dd nằm trong mặt phẳng (P)(P).

D. Đường thẳng dd vuông góc với mặt phẳng (P)(P).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng dd đi qua M(1;2;3)M(1;2;3) và có VTCP \overrightarrow{u_{d}} = (3;3;1)ud=(3;3;1).

Mặt phẳng (P)(P) có VTPT \overrightarrow{n_{P}} = (1; - 2;3)nP=(1;2;3).

\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{P}} = 3
- 6 + 3 = 0ud.nP=36+3=0. (1)(1)

1 - 2.2 + 3.3 - 1 \neq 012.2+3.310 hay M \notin (P)M(P). (2)(2)

Từ (1)(1)(2)(2), suy ra dd song song với (P)(P).

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt phẳng

(P):9x + 3y - 10z + 26 = 0(P):9x+3y10z+26=0 và đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y -
1}{4} = \frac{z - 2}{3}d:x+12=y14=z23. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. d \parallel (P)d(P).                                          B. d \subset (P)d(P).

C. d\bot(P)d(P).                                           D. dd chỉ cắt (P)(P) nhưng không vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng dd đi qua M( - 1;1;2)M(1;1;2) và có VTCP \overrightarrow{u_{d}} = (2;4;3)ud=(2;4;3).

Mặt phẳng (P)(P) có VTPT \overrightarrow{n_{P}} = (9;3; - 10)nP=(9;3;10) .

\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{P}} =
2.9 + 4.3 + 3.( - 10) = 0ud.nP=2.9+4.3+3.(10)=0. (1)(1)

- 9 + 3 - 20 + 26 = 09+320+26=0 chứng tỏ M \in (P)M(P).(2)(2)

Từ (1)(1)(2)(2), suy ra d\subset (P)d(P).

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 10}{5} = \frac{y - 2}{1} =
\frac{z + 2}{1}Δ:x105=y21=z+21. Xét mặt phẳng (P):10x + 2y + mz + 11 = 0(P):10x+2y+mz+11=0 với mm là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của mm để mặt phẳng (P)(P) vuông góc với đường thẳng \DeltaΔ.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \DeltaΔ có VTCP \overrightarrow{u_{\Delta}} =
(5;1;1)uΔ=(5;1;1).

Mặt phẳng (P)(P) có VTPT \overrightarrow{n_{P}} = (10;2;m)nP=(10;2;m).

Để \Delta\bot(P)\  \Leftrightarrow \
\overrightarrow{u_{\Delta}} \parallel
\overrightarrow{n_{P}}\  \Leftrightarrow \ \frac{10}{5} = \frac{2}{1} =
\frac{m}{1} \Leftrightarrow m = 2.Δ(P)  uΔnP  105=21=m1m=2.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+ y-z + 3= 0(P):2x+yz+3=0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + mt \\
y = n + 3t \\
z = 1 - 2t \\
\end{matrix} \right.d:{x=2+mty=n+3tz=12t. Với giá trị nào của m,\ nm, n thì dd nằm trong (P)(P)?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng dd đi qua M(2;n;1)M(2;n;1) và có VTCP \overrightarrow{u_{d}} = (m;3; - 2)ud=(m;3;2).

Mặt phẳng (P)(P) có VTPT \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 1)nP=(2;1;1).

Để d \subset (P) \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{n_{p}} \\
M \in (P) \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \\
4 + n - 1 + 3 = 0 \\
\end{matrix} \right.d(P){udnpM(P) {ud.nP=04+n1+3=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2m + 5 = 0 \\
n = - 6 \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
n = - \frac{5}{2} \\
n = - 6 \\
\end{matrix} \right.{2m+5=0n=6 {n=52n=6 .

Câu 5. Trong không gian tọa độ OxyzOxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z -
9}{- 1}d:x11=y23=z91 và mặt phẳng (\alpha)(α) có phương trình m^{2}x - my - 2z + 19 = 0m2xmy2z+19=0 với mm là tham số. Xác định tập hợp các giá trị mm thỏa mãn d\ //(\alpha)d //(α)?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng dd có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;3; -
1)u=(1;3;1).

Mặt phẳng (\alpha)(α) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left( m^{2};
- m; - 2 \right)n=(m2;m;2).

Để d\ //(\alpha)d //(α) thì \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \\
M(1;2;9) \in (\alpha) \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m^{2} - 3m + 2 = 0 \\
m^{2} - 2m - 18 + 19 \neq 0 \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left\lbrack \begin{matrix}
m = 1 \\
m = 2 \\
\end{matrix} \right.\  \\
m \neq 1 \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow m = 2{u.n=0M(1;2;9)(α) {m23m+2=0m22m18+190 {[m=1m=2 m1 m=2.

Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ OxyzOxyz, tìm tất cả các giá trị của tham số mmđể đường thẳng dd: \frac{x -
1}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{1}x11=y+11=z21 song song với mặt phẳng (P):2x + y - m^{2}z + m =
0(P):2x+ym2z+m=0

A. m = 1m=1.                            B. m \in \varnothingm                   C. m \in \left\{ - 1;1 \right\}m{1;1}.                  D. m = - 1m=1

Hướng dẫn giải

Một vectơ chỉ phương của d:d: \overrightarrow{u} = (1; -
1;1)u=(1;1;1);A(1; - 1;2) \in
dA(1;1;2)d.

Một vectơ pháp tuyến của (P):(P): \overrightarrow{n} = \left( 2;1; - m^{2}
\right)n=(2;1;m2).

d//(P) \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \\
A \notin (P) \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot m^{2} = 0 \\
2 \cdot 1 - 1 - 2m^{2} + m \neq 0 \\
\end{matrix} \right.d//(P){unA(P) {12111m2=02112m2+m0

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1 - m^{2} = 0 \\
1 - 2m^{2} + m \neq 0 \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = \pm 1 \\
1 - 2m^{2} + m \neq 0 \\
\end{matrix} \right.\  \Leftrightarrow m = - 1{1m2=012m2+m0 {m=±112m2+m0 m=1.

---------------------------------------------------------

Với những kiến thức đã trình bày ở trên, bạn hoàn toàn có thể xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng một cách nhanh chóng và chính xác. Đừng quên luyện tập thêm nhiều bài tập thực hành để ghi nhớ cách làm và nâng cao khả năng giải toán không gian. Nếu bài viết hữu ích, hãy chia sẻ để nhiều bạn cùng học được nhé!

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Thi THPT Quốc gia môn Toán

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng