VnDoc.com

Cách tìm vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp tọa độ trong không gian Toán 12

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng

A. Cách tìm vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng
- a. Phương pháp hình học
- b. Phương pháp đại số
B. Bài tập xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong hình học không gian, việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là một kỹ năng quan trọng, giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán 3D, đặc biệt trong chương trình Toán lớp 12 và kỳ thi THPT Quốc gia. Hiểu rõ cách nhận biết các vị trí như: song song, cắt nhau hoặc nằm trong mặt phẳng sẽ giúp bạn tư duy chính xác và giải nhanh bài toán. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, kèm theo ví dụ minh họa, công thức và phương pháp giải dễ hiểu.

A. Cách tìm vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng

Để xét vị trị tương đối của $d$ và $(\alpha)$ $(\alpha)$, ta sử dụng hai phương pháp sau:

a. Phương pháp hình học

Nếu $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{n_{\alpha}} \\ M\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right) \in (\alpha) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{n_{\alpha}} \\ M\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right) \in (\alpha) \\ \end{matrix} \right.$ thì $d \subset (\alpha)$ $d \subset (\alpha)$.
Nếu $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{n_{\alpha}} \\ M\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right) \notin (\alpha) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{n_{\alpha}} \\ M\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right) \notin (\alpha) \\ \end{matrix} \right.$ thì $d//(\alpha)$ $d//(\alpha)$.
Nếu $\overrightarrow{u_{d}}$ $\overrightarrow{u_{d}}$ không cùng phương với $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ thì $d$ cắt $(\alpha)$ $(\alpha)$.
$d\bot(\alpha) \Leftrightarrow \ \overrightarrow{u_{d}}$ $d\bot(\alpha) \Leftrightarrow \ \overrightarrow{u_{d}}$ và $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ cùng phương $\overrightarrow{u_{d}} = k.\overrightarrow{n_{\alpha}}$ $\overrightarrow{u_{d}} = k.\overrightarrow{n_{\alpha}}$ với $k\neq 0$ $k\neq 0$.

b. Phương pháp đại số

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = x_{o} + at & (1) \\ y = y_{o} + bt & (2) \\ z = z_{o} + ct & (3) \\ Ax + By + Cz + D = 0 & (4) \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = x_{o} + at & (1) \\ y = y_{o} + bt & (2) \\ z = z_{o} + ct & (3) \\ Ax + By + Cz + D = 0 & (4) \\ \end{matrix} \right.$ .

Thay $(1),\ (2),\ (3)$ $(1),\ (2),\ (3)$ vào $(4)$, ta được

$A\left( x_{o} + at \right) + B\left( y_{o} + bt \right) + C\left( z_{o} + ct \right) + D = 0$ $A\left( x_{o} + at \right) + B\left( y_{o} + bt \right) + C\left( z_{o} + ct \right) + D = 0$

$\Leftrightarrow (Aa + Bb + Cc)t = - \left( D + Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} \right)$ $\Leftrightarrow (Aa + Bb + Cc)t = - \left( D + Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} \right)$. $(*)$

Phương trình $(*)$ là phương trình bậc nhất, ẩn $t$. Ta có

Nếu phương trình $(*)$ vô nghiệm $t$ thì $d//(\alpha)$ $d//(\alpha)$.
Nếu phương trình $(*)$ có nghiệm $t$ duy nhất thì $d$ cắt $(\alpha)$ $(\alpha)$.
Nếu phương trình $(*)$ có vô số nghiệm $t$ thì $d \subset (\alpha)$ $d \subset (\alpha)$.

Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta giải phương trình bậc nhất theo $t$, sau đó thay giá trị của $t$ vào phương trình tham số của $d$ để tìm $(x;y;z)$.

B. Bài tập xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho cho mặt phẳng $(P):x - 2y + 3z - 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{3} =\frac{z - 3}{1}$ $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{3} =\frac{z - 3}{1}$. Khẳng định nào sau đây đúng:

A. Đường thẳng $d$ cắt mặt phẳng $(P)$.

B. Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$.

C. Đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$.

D. Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;2;3)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{d}} = (3;3;1)$ $\overrightarrow{u_{d}} = (3;3;1)$.

Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n_{P}} = (1; - 2;3)$ $\overrightarrow{n_{P}} = (1; - 2;3)$.

● $\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{P}} = 3 - 6 + 3 = 0$ $\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{P}} = 3 - 6 + 3 = 0$. $(1)$

● $1 - 2.2 + 3.3 - 1 \neq 0$ $1 - 2.2 + 3.3 - 1 \neq 0$ hay $M \notin (P)$ $M \notin (P)$. $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra $d$ song song với $(P)$.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng

$(P):9x + 3y - 10z + 26 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3}$ $d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{3}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $d \parallel (P)$ $d \parallel (P)$. B. $d \subset (P)$ $d \subset (P)$.

C. $d\bot(P)$ $d\bot(P)$. D. $d$ chỉ cắt $(P)$ nhưng không vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d$ đi qua $M( - 1;1;2)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{d}} = (2;4;3)$ $\overrightarrow{u_{d}} = (2;4;3)$.

Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n_{P}} = (9;3; - 10)$ $\overrightarrow{n_{P}} = (9;3; - 10)$ .

$\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{P}} = 2.9 + 4.3 + 3.( - 10) = 0$ $\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{P}} = 2.9 + 4.3 + 3.( - 10) = 0$. $(1)$

$- 9 + 3 - 20 + 26 = 0$ chứng tỏ $M \in (P)$ $M \in (P)$.$(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra $d\subset (P)$ $d\subset (P)$.

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 10}{5} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 2}{1}$ $\Delta:\frac{x - 10}{5} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 2}{1}$. Xét mặt phẳng $(P):10x + 2y + mz + 11 = 0$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để mặt phẳng $(P)$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$ $\Delta$.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ có VTCP $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (5;1;1)$ $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (5;1;1)$.

Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n_{P}} = (10;2;m)$ $\overrightarrow{n_{P}} = (10;2;m)$.

Để $\Delta\bot(P)\ \Leftrightarrow \ \overrightarrow{u_{\Delta}} \parallel \overrightarrow{n_{P}}\ \Leftrightarrow \ \frac{10}{5} = \frac{2}{1} = \frac{m}{1} \Leftrightarrow m = 2.$ $\Delta\bot(P)\ \Leftrightarrow \ \overrightarrow{u_{\Delta}} \parallel \overrightarrow{n_{P}}\ \Leftrightarrow \ \frac{10}{5} = \frac{2}{1} = \frac{m}{1} \Leftrightarrow m = 2.$

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x+ y-z + 3= 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + mt \\ y = n + 3t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} \right.$ $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + mt \\ y = n + 3t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} \right.$. Với giá trị nào của $m,\ n$ $m,\ n$ thì $d$ nằm trong $(P)$?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d$ đi qua $M(2;n;1)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{d}} = (m;3; - 2)$ $\overrightarrow{u_{d}} = (m;3; - 2)$.

Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 1)$ $\overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 1)$.

Để $d \subset (P) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{n_{p}} \\ M \in (P) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \\ 4 + n - 1 + 3 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $d \subset (P) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{n_{p}} \\ M \in (P) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \\ 4 + n - 1 + 3 = 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m + 5 = 0 \\ n = - 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} n = - \frac{5}{2} \\ n = - 6 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m + 5 = 0 \\ n = - 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} n = - \frac{5}{2} \\ n = - 6 \\ \end{matrix} \right.$ .

Câu 5. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 9}{- 1}$ $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 9}{- 1}$ và mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$ có phương trình $m^{2}x - my - 2z + 19 = 0$ $m^{2}x - my - 2z + 19 = 0$ với $m$ là tham số. Xác định tập hợp các giá trị $m$ thỏa mãn $d\ //(\alpha)$ $d\ //(\alpha)$?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;3; - 1)$ $\overrightarrow{u} = (1;3; - 1)$.

Mặt phẳng $(\alpha)$ $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left( m^{2}; - m; - 2 \right)$ $\overrightarrow{n} = \left( m^{2}; - m; - 2 \right)$.

Để $d\ //(\alpha)$ $d\ //(\alpha)$ thì $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \\ M(1;2;9) \in (\alpha) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 3m + 2 = 0 \\ m^{2} - 2m - 18 + 19 \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \\ m \neq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 2$ $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \\ M(1;2;9) \in (\alpha) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 3m + 2 = 0 \\ m^{2} - 2m - 18 + 19 \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \\ m \neq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 2$.

Câu 6. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, tìm tất cả các giá trị của tham số $m$để đường thẳng $d$: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$ song song với mặt phẳng $(P):2x + y - m^{2}z + m = 0$ $(P):2x + y - m^{2}z + m = 0$

A. $m = 1$. B. $m \in \varnothing$ $m \in \varnothing$ C. $m \in \left\{ - 1;1 \right\}$ $m \in \left\{ - 1;1 \right\}$. D. $m = - 1$

Hướng dẫn giải

Một vectơ chỉ phương của $d:$ $\overrightarrow{u} = (1; - 1;1)$ $\overrightarrow{u} = (1; - 1;1)$; $A(1; - 1;2) \in d$ $A(1; - 1;2) \in d$.

Một vectơ pháp tuyến của $(P):$ $\overrightarrow{n} = \left( 2;1; - m^{2} \right)$ $\overrightarrow{n} = \left( 2;1; - m^{2} \right)$.

$d//(P) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \\ A \notin (P) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot m^{2} = 0 \\ 2 \cdot 1 - 1 - 2m^{2} + m \neq 0 \\ \end{matrix} \right.$ $d//(P) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \\ A \notin (P) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot m^{2} = 0 \\ 2 \cdot 1 - 1 - 2m^{2} + m \neq 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - m^{2} = 0 \\ 1 - 2m^{2} + m \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = \pm 1 \\ 1 - 2m^{2} + m \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - 1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - m^{2} = 0 \\ 1 - 2m^{2} + m \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = \pm 1 \\ 1 - 2m^{2} + m \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - 1$.

---------------------------------------------------------

Với những kiến thức đã trình bày ở trên, bạn hoàn toàn có thể xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng một cách nhanh chóng và chính xác. Đừng quên luyện tập thêm nhiều bài tập thực hành để ghi nhớ cách làm và nâng cao khả năng giải toán không gian. Nếu bài viết hữu ích, hãy chia sẻ để nhiều bạn cùng học được nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: