Chứng minh [1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)]²=1/(a-b)²+1/(b-c)²+1/(c-a)²

Chứng minh [1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)]²=1/(a-b)²+1/(b-c)²+1/(c-a)²

Mời các bạn cùng tham gia giải đẳng thức trong đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường chuyên Lam Sơn (Thanh Hóa) xem khả năng môn Toán của bản thân như nào!

Một câu trong đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường chuyên Lam Sơn (Thanh Hóa) dẫn đến bài toán khá thú vị sau đây.

Bài toán. Cho ba số thực a, b, c phân biệt. Chứng minh rằng

${(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})}^2=\frac{1}{{(a-b)}^2}+\frac{1}{{(b-c)}^2}+\frac{1}{{(c-a)}^2}$

Giải.

Dùng hằng đẳng thức số 10 để khai triển vế trái ta được:

${(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})}^2$

$=2(\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)})+\frac{1}{{(a-b)}^2}+\frac{1}{{(b-c)}^2}+\frac{1}{{(c-a)}^2}$

Mà

$\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}=\frac{c-a+a-b+b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

= 0

nên ta có đẳng thức cần chứng minh.