Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 10 Toán lớp 10 Chuyên đề Toán 10
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm đúng sai Tích vô hướng của hai vectơ Toán 10

Bài tập Đúng sai Toán 10 Có đáp án

Bài tập đúng sai Tích vô hướng của hai vectơ kèm lời giải chi tiết

Trong chương trình Toán 10, chuyên đề Tích vô hướng của hai vectơ là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra cũng như đề thi học kỳ. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và cách vận dụng tích vô hướng sẽ giúp học sinh không chỉ giải quyết tốt các bài toán về vectơ mà còn ứng dụng hiệu quả trong hình học giải tích và thực tế.

Để hỗ trợ quá trình ôn tập, bài viết này cung cấp hệ thống trắc nghiệm đúng sai Tích vô hướng của hai vectơ Toán 10 được biên soạn khoa học, kèm theo đáp án chi tiết và lời giải rõ ràng. Các dạng bài tập được lựa chọn bám sát chương trình sách giáo khoa, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích, suy luận logic và củng cố kiến thức một cách vững chắc.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 13 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 13 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho tam giác ABC có AB = 2;AC = 3;\widehat{BAC} = 60^{0}. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm J thuộc đoạn AC thỏa mãn 12AJ = 7AC. Khi đó:

    a) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 4. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{BJ} = - \overrightarrow{AB} + \frac{7}{12}\overrightarrow{AC}. Đúng||Sai

    d) AI\bot BJ. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho tam giác ABC có AB = 2;AC = 3;\widehat{BAC} = 60^{0}. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm J thuộc đoạn AC thỏa mãn 12AJ = 7AC. Khi đó:

    a) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 4. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{BJ} = - \overrightarrow{AB} + \frac{7}{12}\overrightarrow{AC}. Đúng||Sai

    d) AI\bot BJ. Đúng||Sai

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Ta có: \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC\cos\widehat{BAC} = 2a \cdot 3a \cdot cos60^{0} = 3a^{2}

    b) Do I là trung điểm BC nên \overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}

    c) Ta có: \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AJ} = - \overrightarrow{AB} + \frac{7}{12}\overrightarrow{AC}

    d) Ta có:

    \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\left( - \overrightarrow{AB} + \frac{7}{12}\overrightarrow{AC} \right)

    = \frac{1}{2}\left( { - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{7}{{12}}{{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)

    = \frac{1}{2}\left( - 4a^{2} + \frac{7}{12} \cdot 3a^{2} - 3a^{2} + \frac{7}{12} \cdot 9a^{2} \right) = 0

    Vậy AI\bot BJ

  • Câu 2: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( - 3;0), B(3;0) và C(2;6).

    a) Tích vô hướng của hai véc tơ là một số. Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 8. Sai||Đúng

    c) AB vuông góc với trục Ox. Đúng||Sai

    d) Gọi H(a;b) là trực tâm của tam giác đã cho. Tính được giá trị biểu thức a - 6b = 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( - 3;0), B(3;0) và C(2;6).

    a) Tích vô hướng của hai véc tơ là một số. Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 8. Sai||Đúng

    c) AB vuông góc với trục Ox. Đúng||Sai

    d) Gọi H(a;b) là trực tâm của tam giác đã cho. Tính được giá trị biểu thức a - 6b = 2. Sai||Đúng

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai

    a) Tích vô hướng của hai vectơ là một số.

    b) Ta có: \overrightarrow{AB} = (6;0);\overrightarrow{BC} = ( - 1;6) \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - 6 + 0 = - 6

    c) \overrightarrow{AB} = (6;0);\overrightarrow{i} = (0;1)\ \Rightarrow \ \ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{i} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{i}.

    Vậy AB vuông góc với trục Ox.

    d) Gọi H(a;b) là trực tâm của tam giác đã cho.

    Ta có:

    \overrightarrow{AH} = (a + 3\ ;\ b)\ ,\ \overrightarrow{BC} = ( - 1\ ;\ 6)\ ,\ \overrightarrow{BH} = (a - 3\ ;\ b)\ ,\ \overrightarrow{AC} = (5\ ;\ 6)

    Vì H là trực tâm tam giác ABCnên:

    \left\{ \begin{matrix} AH\bot BC \\ BH\bot AC \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- a - 3 + 6b = 0 \\5a - 15 + 6b = 0\end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - a + 6b = 3 \\ 5a + 6b = 15 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = \frac{5}{6} \end{matrix} \right.

    Suy ra a - 6b = - 3.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho các véc-tơ \overrightarrow{a} = ( - 2;3), \overrightarrow{b} = (4;1), \overrightarrow{c} = k\overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b} và \overrightarrow{d} = n\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.

    a) \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 5. Sai||Đúng

    b) \cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = \frac{- 5\sqrt{221}}{221}. Đúng||Sai

    c) Với 2k + 3m = 0 thì \overrightarrow{c}\bot\left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right). Đúng||Sai

    d) Có 2 giá trị nguyên n để \cos\left( \overrightarrow{d},\overrightarrow{e} \right) = 45^{0}với \overrightarrow{e} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho các véc-tơ \overrightarrow{a} = ( - 2;3), \overrightarrow{b} = (4;1), \overrightarrow{c} = k\overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b} và \overrightarrow{d} = n\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.

    a) \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 5. Sai||Đúng

    b) \cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = \frac{- 5\sqrt{221}}{221}. Đúng||Sai

    c) Với 2k + 3m = 0 thì \overrightarrow{c}\bot\left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right). Đúng||Sai

    d) Có 2 giá trị nguyên n để \cos\left( \overrightarrow{d},\overrightarrow{e} \right) = 45^{0}với \overrightarrow{e} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}. Sai||Đúng

    a)Saib)Đúngc)Đúngd)Sai

    a) \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = ( - 2).4 + 3.1 = - 5.

    b) Ta có:

    \cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) =\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}\right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}= \frac{( - 2).4 +3.1}{\sqrt{( - 2)^{2} + 3^{2}}.\sqrt{4^{2} + 1}} = \frac{-5\sqrt{221}}{221}.

    c) Ta có \overrightarrow{c} = k.\overrightarrow{a} + m.\overrightarrow{b} = ( - 2k + 4m;3k + m),\ \ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2;4).

    Để \overrightarrow{c}\bot\left(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\Leftrightarrow\overrightarrow{c}.\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\right) = 0

    \Leftrightarrow 2( - 2k + 4m) + 4(3k + m) = 0\Leftrightarrow 2k + 3m = 0

    Vậy với 2k + 3m = 0 thì \overrightarrow{c}\bot\left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right).

    d) Ta có: \overrightarrow{d} = n\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 2n + 4;3n + 1),\ \ \overrightarrow{e} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = (1;1).

    \mathbf{\cos}\left( \overrightarrow{\mathbf{d}}\mathbf{,}\overrightarrow{\mathbf{e}} \right)\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{5}^{\mathbf{0}}

    \Leftrightarrow \frac{- 2n + 4 + 3n + 1}{\sqrt{( - 2n + 4)^{2} + (3n + 1)^{2}}.\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow n + 5 = \sqrt{13n^{2} - 10n + 17}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} n \geq - 5 \\ 12n^{2} - 20n - 8 = 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} n \geqslant - 5 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} n = \frac{{ - 1}}{3} \hfill \\ n = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} n = \frac{{ - 1}}{3} \notin \mathbb{Z} \hfill \\ n = 2 \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} \right..

  • Câu 4: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng a. Khi đó:

    a) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = 2a^{2}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OC} = a^{2}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{OC} = - a^{2}. Đúng||Sai

    d) (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}) = a^{2}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng a. Khi đó:

    a) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = 2a^{2}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OC} = a^{2}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{OC} = - a^{2}. Đúng||Sai

    d) (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}) = a^{2}. Đúng||Sai

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng

    a) Do \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC} cùng hướng nên (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}) = 0^{0}.

    Suy ra: \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = AB \cdot DC \cdot cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}) = a \cdot a \cdot \cos 0^{{^\circ}} = a^{2}.

    b) Hai vectơ \overrightarrow{AO},\overrightarrow{OC} cùng hướng, do đó (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{OC}) = (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}) = \widehat{BAO} = 45^{{^\circ}}

    Ta có: \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OC} = AB \cdot OC \cdot cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{OC}) = a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot cos45^{{^\circ}} = \frac{a^{2}}{2}.

    c) Hai vectơ \overrightarrow{CA},\overrightarrow{OC} ngược hướng, do đó (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{OC}) = 180^{{^\circ}}.

    Suy ra \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{OC} = CA \cdot OC \cdot cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{OC}) = a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot cos180^{{^\circ}} = - a^{2}.

    d) Ta có: (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}).(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}) = \overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD})

    = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} (trong đó AC\bot BD \Rightarrow \overrightarrow{AC} \cdot\overrightarrow{BD}= 0 ).

    Ta có: \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{CA}|.|\overrightarrow{CB}|.cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})

    = CA.CB.cos\widehat{ACB} = a\sqrt{2}.a.cos45^{0} = a^{2}.

    Vậy (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}).(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}) = a^{2}.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;\ 1), B( - 1;\ 3). Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Tích vô hướng của hai vectơ là một vectơ. Sai||Đúng

    b) Tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 2. Đúng||Sai

    c) Gọi I là điểm đối xứng với điểm B qua điểm A. Khi đó OI\bot AB. Sai||Đúng

    d) Gọi điểm Mthuộc Oy có tung độ dương sao cho \Delta ABMvuông tại M. Khi đó tọa độ điểm M là M\left( 0;\ 2 + 2\sqrt{2} \right). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;\ 1), B( - 1;\ 3). Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai?

    a) Tích vô hướng của hai vectơ là một vectơ. Sai||Đúng

    b) Tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 2. Đúng||Sai

    c) Gọi I là điểm đối xứng với điểm B qua điểm A. Khi đó OI\bot AB. Sai||Đúng

    d) Gọi điểm Mthuộc Oy có tung độ dương sao cho \Delta ABMvuông tại M. Khi đó tọa độ điểm M là M\left( 0;\ 2 + 2\sqrt{2} \right). Sai||Đúng

    a) Saib) Đúngc) Said) Sai

    a) Tích vô hướng của hai véc tơ là một số. Mệnh đề a) sai.

    b) Ta có: \overrightarrow{OA} = (1;1),\overrightarrow{OB} = ( - 1;3) \Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 2. Mệnh đề b) đúng.

    c) Do I là điểm đối xứng với điểm B qua điểm A nên A là trung điểm của IB \Rightarrow I(3; - 1).

    Khi đó \overrightarrow{OI}(3; - 1);\overrightarrow{AB}( - 2;2)

    \Rightarrow \overrightarrow{OI}.\overrightarrow{AB} = 3.( - 2) + ( - 1).2 = - 8 \neq 0.

    Mệnh đề c) sai.

    d) Ta có: M \in Oy \Leftrightarrow M(0;\ a).

    \overrightarrow{MA} = (1;\ 1 - a), \overrightarrow{BM} = (1;\ a - 3).

    \Delta ABM vuông tại M \Leftrightarrow\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BM} = 0

    \Leftrightarrow 1 + (1 - a)(a - 3) = 0\Leftrightarrow a^{2} - 4a + 2 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 2 + \sqrt{2}(TM) \\ a = 2 - \sqrt{2}(TM) \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} M\left( 0;2 + \sqrt{2} \right) \\ M\left( 0;2 - \sqrt{2} \right) \end{matrix} \right..

  • Câu 6: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho tam giác ABO và các điểm C,\ D,\ E,\ F như trong hình dưới đây:

    Ảnh có chứa hàng, Sơ đồ, biểu đồMô tả được tạo tự động

    a) \overrightarrow{BA} = - 3\overrightarrow{FD}. Sai||Đúng

    b) 3\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{AB}. Đúng||Sai

    c) 2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BO} = 3\overrightarrow{BC}. Đúng||Sai

    d) \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{EO} + 2\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{0}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho tam giác ABO và các điểm C,\ D,\ E,\ F như trong hình dưới đây:

    Ảnh có chứa hàng, Sơ đồ, biểu đồMô tả được tạo tự động

    a) \overrightarrow{BA} = - 3\overrightarrow{FD}. Sai||Đúng

    b) 3\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{AB}. Đúng||Sai

    c) 2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BO} = 3\overrightarrow{BC}. Đúng||Sai

    d) \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{EO} + 2\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{0}. Sai||Đúng

    Tổng quan đáp án bài tập

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai

    a) Sai. Vì BA = 3FD và \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{FD} cùng hướng nên \overrightarrow{BA} = 3\overrightarrow{FD}.

    b) Đúng. Vì 3CE = 2AB và \overrightarrow{CE}, \overrightarrow{AB} cùng hướng nên 3\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{AB}.

    c) Đúng. Vì 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CO} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 2\left( \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} \right) + \overrightarrow{BO} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow 2\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BO} = 3\overrightarrow{BC}.

    d) Sai. Vì D là trung điểm của CO nên \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{EO} = 2\overrightarrow{ED}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{EO} - 2\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{0}.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng 4a. Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 16a^{2}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = - 8a^{2}. Đúng||Sai

    c) \overrightarrow{AG}.\overrightarrow{GB} = \frac{4a^{2}}{3}. Sai||Đúng

    d) Với điểm M tùy ý, giá trị nhỏ nhất của 3MA^{2} + MB^{2} bằng 8a^{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng 4a. Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 16a^{2}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = - 8a^{2}. Đúng||Sai

    c) \overrightarrow{AG}.\overrightarrow{GB} = \frac{4a^{2}}{3}. Sai||Đúng

    d) Với điểm M tùy ý, giá trị nhỏ nhất của 3MA^{2} + MB^{2} bằng 8a^{2}. Sai||Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) SAI.

    Ta có \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right)

    = 4a.4a.cos60^{0} = 8a^{2}

    b) ĐÚNG.

    Ta có: \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = - \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = - \left| \overrightarrow{CA} \right|.\left| \overrightarrow{CB} \right|.cos\left( \overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB} \right)

    = - 4a.4a.cos60^{0} = - 8a^{2}.

    c) SAI.

    Ta có:

    \overrightarrow{AG}.\overrightarrow{GB} = - \overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}

    = - \left| \overrightarrow{GA} \right|.\left| \overrightarrow{GB} \right|.cos\left( \overrightarrow{GA};\overrightarrow{GB} \right)

    = - GA.GB.cos120^{0}

    = - \frac{2}{3}.\frac{4a\sqrt{3}}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4a\sqrt{3}}{2}. - \frac{1}{2} = \frac{8a^{2}}{3}

    d) SAI.

    Gọi I là điểm thuộc đoạn AB sao cho 3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.

    Ta có:

    T = 3MA^{2} + MB^{2} = 3\overrightarrow{MA^{2}} + \overrightarrow{MB^{2}}

    = 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)^{2} + \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right)^{2}

    = 4{\overrightarrow{MI}}^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( 3\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} \right) + 3IA^{2} + IB^{2}

    = 4{\overrightarrow{MI}}^2 + 3IA^{2} +IB^{2}

    Vì I;A;B cố định nên: T \geq 3IA^{2} + IB^{2}, dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow MI = 0 \Leftrightarrow M \equiv I

    Suy ra T_{MIN} = 3IA^{2} + IB^{2} = 3a^{2} + 9a^{2} = 12a^{2} đạt được khi M \equiv I.

  • Câu 8: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho hình vuông ABCD tâm O, có cạnh a. Biết M là trung điểm của AB,G là trọng tâm tam giác ADM. Khi đó:

    a) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = a^{2}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{3}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC}) = a^{2}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình vuông ABCD tâm O, có cạnh a. Biết M là trung điểm của AB,G là trọng tâm tam giác ADM. Khi đó:

    a) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = a^{2}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{3}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC}) = a^{2}. Đúng||Sai

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Độ dài đường chéo hình vuông ABCD cạnh a là:

    AC = BD = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2}.

    Ta có: \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})

    = - AB.AC.cos\widehat{BAC} = - a.a\sqrt{2}.cos45^{0} = - a^{2}

    \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AM}|.|\overrightarrow{AC}|.cos(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC})

    = AM.AC.cos\widehat{CAM} = \frac{a}{2}.a\sqrt{2}.cos45^{0} = \frac{a^{2}}{2}

    Ta có:

    \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{AC}

    = |\overrightarrow{DA}|.|\overrightarrow{DB}|.cos(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}) - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}

    = DA.DB.cos\widehat{ADB} - \frac{1}{2}AD.AC.cos\widehat{CAD}

    = a.a\sqrt{2}.cos45^{0} -\frac{1}{2}a.a\sqrt{2}.cos45^0 = a^{2} - \frac{1}{2}a^{2} = \frac{1}{2}a^{2}.

    Ta có \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} (quy tắc hình bình hành).

    Do đó: (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{AC}(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC})

    = \underset{0}{\overset{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}}{︸}} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}

    = |\overrightarrow{CA}|.|\overrightarrow{CB}|cos\widehat{ACB} = a.a\sqrt{2}cos45^{0} = a^{2} (trong đó \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 vì \overrightarrow{AC}\bot\overrightarrow{BD} ).

  • Câu 9: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho hình bình hành ABCD có AB = 2a,AD = 3a,\ \widehat{BAD} = 60{^\circ}. Điểm K thuộc AD thỏa mãn \overrightarrow{AK} = - 2\overrightarrow{DK}.

    a) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 3a^{2}. Đúng||Sai

    c) \overrightarrow{BK}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}. Đúng||Sai

    d) \overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = a^{2}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình bình hành ABCD có AB = 2a,AD = 3a,\ \widehat{BAD} = 60{^\circ}. Điểm K thuộc AD thỏa mãn \overrightarrow{AK} = - 2\overrightarrow{DK}.

    a) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 3a^{2}. Đúng||Sai

    c) \overrightarrow{BK}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}. Đúng||Sai

    d) \overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = a^{2}. Đúng||Sai

    a) Sai

    Ta có \overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.

    Do đó \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = - \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}

    b) Đúng

    \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = \left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AD} \right|\cos\widehat{BAD}

    = 2a.3a\cos\widehat{BAD} = 2a.3acos60{^\circ} = 3a^{2}

    c) Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Từ giả thiết ta có AB = AK = 2a,\ \widehat{BAK} = 60{^\circ} nên \Delta BAK đều

    Suy ra BK = 2a,\ \widehat{KBC} = 60{^\circ}

    Do đó, \overrightarrow{BK}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 2a.3a.cos60{^\circ} = 3a^{2}

    d) Đúng

    Ta có \overrightarrow{BK} = - \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}; \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}

    Khi đó

    \overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = \left( - \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} \right)\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right)

    = - AB^{2} + \frac{2}{3}AD^{2} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AD}

    \overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = - 4a^{2} + \frac{2}{3}.9a^{2} - \frac{1}{3}2a.3a.\cos 60{^\circ} = a^{2}

  • Câu 10: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho hình vuông ABCD tâm O, có cạnh a. Biết M là trung điểm của AB,G là trọng tâm tam giác ADM. Khi đó:

    a) \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BC} = a^{2}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = a^{2}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{3}. Sai||Đúng

    d) \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình vuông ABCD tâm O, có cạnh a. Biết M là trung điểm của AB,G là trọng tâm tam giác ADM. Khi đó:

    a) \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BC} = a^{2}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = a^{2}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{3}. Sai||Đúng

    d) \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    a) Sai

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng

    Hình vẽ minh họa

    a) Do \overrightarrow{CD}\bot\overrightarrow{BC} nên \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BC} = 0

    b) Độ dài đường chéo hình vuông ABCD cạnh a là:

    AC = BD = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2}.

    Ta có: \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = - |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})

    = - AB \cdot AC \cdot \cos\widehat{BAC} = - a \cdot a\sqrt{2} \cdot cos45^{{^\circ}} = - a^{2}.

    c) \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot cos(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC})

    = AM \cdot AC \cdot \cos\widehat{CAM} = \frac{a}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot cos45^{{^\circ}} = \frac{a^{2}}{2}

    d) Ta có: \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC}

    = \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AC}

    = |\overrightarrow{DA}|.|\overrightarrow{DB}|.cos(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}) - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}

    = DA.DB.cos\widehat{ADB} - \frac{1}{2}AD.AC.cos\widehat{CAD}

    = a \cdot a\sqrt{2} \cdot cos45^{0} - \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt{2} \cdot cos45^{0}

    = a^{2} - \frac{1}{2}a^{2} = \frac{1}{2}a^{2}

  • Câu 11: Vận dụng
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Trong Vật Lý, khi vật chịu tác dụng của hai lực thì tổng hợp lực của hai lực đó sẽ được vẽ bằng quy tắc hình bình hành trong véc tơ. Xét ba lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}cùng tác dụng vào một vật tại điểm S. Trên hình vẽ mô tả hai lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}}và lực tổng hợp \overrightarrow{F} của ba lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}. Độ lớn của các lực F_{1} = F_{2} = 30N,F = 60N và góc\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} \right) = 60^{0}.

    A diagram of a triangleDescription automatically generated

    a) Vectơ lực thứ 3 được tính theo công thức: \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{F} -\overrightarrow{F_{1}} - \overrightarrow{F_{2}}. Đúng||Sai

    b) Độ lớn lực tổng hợp \left| \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} \right| = 45N. Sai||Đúng

    c) Hình vẽ mô tả cách xác định lực \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{F} -\overrightarrow{F_{1}}- \overrightarrow{F_{2}} như hình vẽ dưới đây.

    A blue rectangle with arrows and lettersDescription automatically generated

    Sai||Đúng

    d) Độ lớn lực F_{3} =30\sqrt{3} N. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong Vật Lý, khi vật chịu tác dụng của hai lực thì tổng hợp lực của hai lực đó sẽ được vẽ bằng quy tắc hình bình hành trong véc tơ. Xét ba lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}cùng tác dụng vào một vật tại điểm S. Trên hình vẽ mô tả hai lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}}và lực tổng hợp \overrightarrow{F} của ba lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}. Độ lớn của các lực F_{1} = F_{2} = 30N,F = 60N và góc\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} \right) = 60^{0}.

    A diagram of a triangleDescription automatically generated

    a) Vectơ lực thứ 3 được tính theo công thức: \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{F} -\overrightarrow{F_{1}} - \overrightarrow{F_{2}}. Đúng||Sai

    b) Độ lớn lực tổng hợp \left| \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} \right| = 45N. Sai||Đúng

    c) Hình vẽ mô tả cách xác định lực \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{F} -\overrightarrow{F_{1}}- \overrightarrow{F_{2}} như hình vẽ dưới đây.

    A blue rectangle with arrows and lettersDescription automatically generated

    Sai||Đúng

    d) Độ lớn lực F_{3} =30\sqrt{3} N. Sai||Đúng

    a. Đúng. \overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} \Rightarrow \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{F_{1}} - \overrightarrow{F_{2}}

    b. Sai. Ta có \left| \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} \right|^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + F_{1}.F_{2} = 2700

    \Rightarrow \left| \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} \right| = 30\sqrt{3}N

    c. Sai. Tổng hợp lần lượt theo quy tắc hình bình hành ta được.

    {\overrightarrow{F}}_{1,2} = \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}}

    \Rightarrow \overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = {\overrightarrow{F}}_{1,2} + \overrightarrow{F_{3}}

    A diagram of a hexagon with arrowsDescription automatically generated

    d. Sai

    Ta có

    \overrightarrow{F} = {\overrightarrow{F}}_{1,2} + \overrightarrow{F_{3}} và theo cách xác định thì khi đó ta có:

    {F_{3}}^{2} = F^{2} - F_{1,2}^{2} = (60)^{2} - \left( 30\sqrt{3} \right)^{2} = 900 \Rightarrow F_{3} = 30N

  • Câu 12: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho hình thoi ABCD tâm B có cạnh bằng 2 và góc B bằng 60^{0}. Khi đó:

    a) \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right) = 60{^\circ}. Đúng||Sai

    b) \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA} \right) = 45{^\circ}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC} = 2. Đúng||Sai

    d) \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{BA} = - 3. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình thoi ABCD tâm B có cạnh bằng 2 và góc B bằng 60^{0}. Khi đó:

    a) \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right) = 60{^\circ}. Đúng||Sai

    b) \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA} \right) = 45{^\circ}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC} = 2. Đúng||Sai

    d) \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{BA} = - 3. Đúng||Sai

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng

    Hình vẽ minh họa

    Xét hình thoi ABCD có \widehat{ABC} = 60{^0} \Rightarrow\widehat{BAD} = 120{^\circ};

    \Delta ABC có AB = BC = 2,\widehat{ABC} = 60{^\circ} \Rightarrow \Delta ABC đều có cạnh bằng2 \Rightarrow OB = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.

    Ta có: \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right) = \widehat{BAC} = 60{^\circ} \RightarrowCâu a đúng.

    \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA} \right) = 180{^\circ} - \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right) = 180{^\circ} - \widehat{BAD}

    = 180{^\circ} - 120{^\circ} = 60{^\circ} \RightarrowCâu b sai.

    Ta có: \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DC} = \left| \overrightarrow{DA} \right|.\left| \overrightarrow{DC} \right|\cos\left( \overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC} \right)

    = DA.DC.cos\widehat{ADC} = 2.2.cos60{^\circ} = 2 \RightarrowCâu c đúng.

    \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{BA} = - \overrightarrow{BO}.\overrightarrow{BA} = - \left| \overrightarrow{BO} \right|.\left| \overrightarrow{BA} \right|.cos\widehat{ABO}

    = - BO.BA.cos30{^\circ} = - \sqrt{3}.2.\frac{\sqrt{3}}{2} = - 3 \RightarrowCâu d đúng.

  • Câu 13: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các khẳng định

    Cho hình chữ nhật ABCD,AB = 4a,AD = 3a. Gọi M là trung điểm của AB,G là trọng tâm tam giác ACM (Hình vẽ).

    a) \overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} - 3\overrightarrow{BC}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{BG} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA} = 0. Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{BG}.\overrightarrow{CM} = - a^{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chữ nhật ABCD,AB = 4a,AD = 3a. Gọi M là trung điểm của AB,G là trọng tâm tam giác ACM (Hình vẽ).

    a) \overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} - 3\overrightarrow{BC}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{BG} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA} = 0. Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{BG}.\overrightarrow{CM} = - a^{2}. Sai||Đúng

    a) Sai

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Sai

    Ta có: \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}.

    Vì G là trọng tâm của tam giác ACM nên

    3\overrightarrow{BG} =\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{BM} +\overrightarrow{BC}

    = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}

    \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}

    Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC = AD = 3a,\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = 0.

    Ta có: \overrightarrow{BG} \cdot \overrightarrow{CM} = \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \right) \cdot \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} \right)

    = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}

    = \frac{1}{4}(4a)^{2} - \frac{1}{3} \cdot 4a \cdot 3a - \frac{1}{3}(3a)^{2} = - 3a^{2}.

0/13
13 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (85%):
    2/3
  • Thông hiểu (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
1
4 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Chuyên đề Toán 10
Xem thêm