Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Trong bài viết này VnDoc đã tổng hợp lại kiến thức về đường trung tuyến trong tam giác và công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác, mời các em học sinh cùng tham khảo.

Trong chương trình Toán 7 môn Hình học học kì 2 có chuyên đề Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác. Để giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức về nội dung này, VnDoc giới thiệu tới các em khái quát lý thuyết và một số bài tập vận dụng có đáp án, cũng như bài tập cho các em tự luyện để ôn tập và củng cố kiến thức được học trên lớp cũng như trong SGK Toán 7 tập 2.

Định nghĩa đường trung tuyến

- Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác

- Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện trong hình học phẳng. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

Đường trung tuyến của tam giác

Theo như hình vẽ trên thì các đoạn thẳng AI, CN, BM sẽ là 3 trung tuyến của tam giác ABC.

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

- Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.

Ví dụ:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có các trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức:

\(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{{BG}}{{BM}} = \frac{{CG}}{{CN}} = \frac{2}{3}\)

Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác vuông

- Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.

- Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Ví dụ:

Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng 1/2 BC

Ngược lại nếu AM = 1/2 BC thì tam giác ABC sẽ vuông ở A.

Các bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Hướng dẫn giải

a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM vuông góc với BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng định lý Pitago ta có:

AC² = AM² + MC² ⇒ 17² = AM² + 8² ⇒ AM² = 17² - 8² = 225 ⇒ AM = 15cm

Bài 2: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.

Hướng dẫn giải

Gọi AD, CE, BF là các đường trung tuyến tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, AC

Ta có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên _{\(AG=\frac{2}{3}AD\)}(1)

CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên \(CG=\frac{2}{3}CE\) (2)

BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên \(BG=\frac{2}{3}BF\)(3)

Ta có tam giác BAC đều nên dễ dàng suy ra AD = BF = CE (4)

Từ 1, 2, 3, 4 suy ra AG = BG = CG

Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

b) AM = \(\dfrac{1}{2}\)BC.

Hướng dẫn giải

a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD

Mặt khác

\(AE\text{ }=\text{ }\frac{1}{3}AC\Rightarrow CE=\frac{2}{3}AC\)

Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD

M là giao của BE và CD

Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b. A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC

Suy ra AM = 1/2 BC

Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G và K sao cho BG = BM và G là trung điểm của BK. Gọi N là trung điểm của KC , GN cắt CM ở O. Chứng minh:

a) O là trọng tâm của tam giác GKC ;

b) GO = _{\(\dfrac{1}{3}\)}BC

Học sinh tự giải

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn giải

Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC

Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BC² = AB² + AC² ⇒ BC² = 18² + 24² = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC² = AE² + AC² ⇒ EC² = 9² + 24² = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương tự ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BF² = AB² + AF² ⇒BF² = 18² + 12² = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 6: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Biết AM = \(\dfrac{1}{2}\)BC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A.

Học sinh tự giải

Bài 7: Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh \(BD>\frac{3}{2}BC\)

Hướng dẫn giải

Học sinh tự vẽ hình.

Xét tam giác BGC có:

BG + CG > BC

⇒ \(\frac{2}{3}BD + \frac{2}{3}CE > BC\)

⇒ BD + CE > \(\frac{3}{2}BC\)

Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.

a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.

b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.

Hướng dẫn giải

a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC

CE là đường trung tuyến của tam giác ABC

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC

\(\Rightarrow\)HB = HC

Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (c - c - c)

b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC (1)

Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC (2)

DG là đường trung tuyến của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I

Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi K là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng:

a. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau

b. KB = KC

c. BC < 4KM

Hướng dẫn giải

a. Ta có: AB = AC (gt)

BM là đường trung tuyến của tam giác ABC \(\Rightarrow BN=\frac{1}{2}AB\)

CN là đường trung tuyến của tam giác ABC \(\Rightarrow CM=\frac{1}{2}AC\)

⇒ BN = CM

Xét ΔBCN và ΔCBM có:

BC là cạnh chung

BN = CM

\(\widehat{CBN}=\widehat{BCM}\) (tam giác ABC cân tại A)

⇒ ΔBNC = ΔCMB (c - g - c)

b. Ta có: \(\widehat{NCB}=\widehat{MBC}\) ( Vì ΔBNC = ΔCMB)

Nên tam giác KBC cân tại A

Suy ra KB = KC

c. Xét ΔABC có:

NA = NB (CN là đường trung tuyến)

MA = MC (MB là đường trung tuyến)

Suy ra NM là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow NM=\frac{BC}{2}\)

Xét tam giác NKM có:

NM < NK + KM (bất đẳng thức Cauchy trong tam giác)

NK = CN – CK

⇒ BC/2 < CN - CK + KM (1)

ΔBNC = ΔCMB ⇒ CN = BM (2)

Tam giác KBC cân tai K ⇒ CK = BK (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ BC/2 < BM - BK + KM

⇒ BC/2 < 2KM

⇒ BC < 4KM

(Còn tiếp)

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ!

----------------------------------------------------

Trên đây, VnDoc đã giới thiệu tới thầy cô và các em học sinh tài liệu Công thức tính độ dài đường trung tuyến. Ngoài ra, mời các bạn tham khảo thêm các tài liệu môn Toán 7 khác như: Giải bài tập Toán lớp 7, Giải Vở BT Toán 7, Đề thi học kì 1 lớp 7, Đề thi giữa kì 1 lớp 7, Đề thi học kì 2 lớp 7... cũng được cập nhật liên tục trên VnDoc.com.

Một số tài liệu tham khảo liên quan đến bài học: