VnDoc.com

Học tốt Toán 12: Giải và biện luận phương trình chứa căn

Tài liệu ôn luyện Toán 12 thi THPT Quốc gia có lời giải

143

I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ.

1. Caùch giaûi cuõng gioáng nhö giaûi bieän luaän caùc phöông trình

khaùc.

Noùi chung ta phaûi giaûi quyeát 3 vaán ñeà:

* Ñieàu kieän coù nghieäm

* Coù bao nhieâu nghieäm

* Nghieäm soá baèng bao nhieâu.

Giaû söû xeùt phöông trình: AB (1)=

2

B0 (2)

(1)

AB (3)

≥

⎧

⎪

⇔

⎨

=

⎪

⎩

Böôùc 1: Giaûi phöông trình (3). Ñieàu kieän coù nghieäm cuûa (3) vaø

soá nghieäm .

Böôùc 2: Choïn nghieäm thoûa ñieàu kieän (2), coù nhieàu caùch, toång

quaùt ta coù theå theá töøng nghieäm cuûa (2) vaøo (1) ñeå ñöôïc ñieàu kieän nhaän

nghieäm ñoù. Sau cuøng ta phaûi toång hôïp caùc nghieäm treân.

2. Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình :

Neáu phöông trình coù daïng f(x) = k (vôùi k khoâng phuï thuoäc vaøo x)

ta giaûi baèng khaûo saùt haøm.

II. CAÙC VÍ DUÏ.

Ví duï 1:

Cho phöông trình :

22

x2xm x1m−+ =−− (1)

1. Giaûi phöông trình (1) vôùi m = 2

2. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình (1) theo m.

(ÑH Quoác Gia TPHCM naêm 1996).

Giaûi

1. Vôùi m = 2:

2

(1) x 2x 4 x 1 2⇔−+=−−

(2)

144

. Xeùt x1: x10≥⇒−≥

2

22

x30

(2) x 2x 4 x 3

x2x4(x3)

−≥

⎧

⎪

⇔−+=−⇔

⎨

−+=−

⎪

⎩

x3

4x 5

5

x3

x (loaïi)

4

≥

⎧

=

⎧

⎪

⇔⇔

⎨⎨

≥

=

⎩

⎪

⎩

. Xeùt x < 1:

x10:−<

2

22

x10

(2) x 2x 4 x 1

x 2x4(x1)

−−≥

⎧

⎪

⇔−+=−−⇔

⎨

−+=+

⎪

⎩

x1

3

x(loaïi)

4

≤

⎧

⎪

⇔

⎨

=

⎪

⎩

. Toùm laïi phöông trình cho voâ nghieäm .

2. Xeùt

22

x1:(1) x 2xm x1m≥⇔−+=−−

22 2

x1m 0

x1m

2mx 2m 1 (3)

x2xm(x1m)

−− ≥

⎧

≥+

⎧

⎪

⇔⇔

⎨⎨

=+

−+ =−−

⎪

⎩

+ Neáu m = 0: (3) VN

+ Neáu

2m 1

m0:(3) x

2m

+

≠⇔=

vì

2

2m 1 2m 1

x1m 1m 0

2m 2m

+−+

≥+ ⇔ ≥+ ⇔ ≥

22

m0m

22

⇔≤− ∨<≤

vì

2m 1

x1 10 m0

2m

+

≥⇒ −≥ ⇔ >

Vaäy

2

0m

2

<≤ nhaän nghieäm

2m 1

x

2m

+

=

Khi

2

m0m :

2

≤∨ > voâ nghieäm

. Xeùt x < 1:

22

(1) x 2x m 1 x m⇔−+=−−

22 2

2mx 2m 1

x2xm(1xm)

(4)

x1m

1xm 0

⎧

=−

⎧

−+ =−−

⎪

⇔⇔

⎨⎨

≤−

−− ≥

⎪

⎩

+ Neáu m = 0: (4) VN

C. GIAÛI VAØ BIEÄN LUAÄN PHÖÔNG TRÌNH

CHÖÙA CAÊN THÖÙC

145

+ Neáu

m0≠

: (4)

2m 1

x

2m

−

⇔=

Vì

2

2m 1 2m 1

x1m 1m 0

2m 2m

−−

≤− ⇔ ≤− ⇔ ≤

22

m0m

22

⇔≤− ∨<≤

Vì x < 1

2m 1 1

10m0

2m 2m

−

⇔<⇔−<⇔>

Khi

2

0m :

2

<≤ nghieäm

2m 1

x

2m

−

=

Khi

2

m0m

2

≤∨ > VN.

Toùm laïi :

2

0m

2

<≤ nghieäm :

2m 1

x,

2m

+

=

2m 1

x,

2m

−

=

2

m0n :

2

≤∨> VN

Ví duï 2:

Giaûi vaø bieän luaän theo tham soá m phöông trình sau:

11 m1 m

x

1m1m

−+

+= +

+−

(*)

(CAO ÑAÚNG HAÛI QUAN NAÊM 1997)

Giaûi

Ñieàu kieän:

x0,≠

m > 0,

m1≠

.

(*)

22

1(1 m) (1 m) 11m

xx

xx1m

(1 m )(1 m )

−++ +

⇔+ = ⇔+ =

−

+−

2

(1 m)x (1 m)x 1 m 0⇔− −+ +−=

222

(1 m) (1 m) 3m 10m 3

1

0m3m

3

∆= + − − =− + −

∆= ⇔ = ∨ =

. Neáu

1

m3:(*)VN

3

<<

146

. Neáu

1

0m m3:(*)

3

<<∨>

coù 2 nghieäm

2

1m 3m 10m3

x

1m

+

±− + −

=

−

. m = 3 ⇒ x

1

= x

2

= - 1

.

12

1

mxx1

3

=

⇒==

Ví duï 3:

Cho phöông trình :

2

3x 1

2x 1 ax

2x 1

−

=

−+

−

vôùi a laø tham soá thöïc.

1. Giaûi phöông trình khi a = 0

2. Tìm a ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát.

(ÑH Quoác Gia TPHCM Khoái A ñôït 3 naêm 1998)

Giaûi

1. Khi a = 0 :

2

2x 1 0

3x 1

2x 1

3x 1 2x 1

0

2x 1

−>

⎧

−

⎪

=−⇔

⎨

−− +

=

−

⎪

−

⎩

2

1

x

2

22

3x 2x

x0x x

0

33

2x 1

⎧

>

⎪

⎪⎪

⇔⇔

⎨⎨

−

⎪⎪

=

∨= ⇔=

=

⎪

⎩

−

⎩

2. Tìm a ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát:

2

3x 1

2x 1 ax

2x 1

−

=

−+

−

2

3x 2x

ax (*)

2x 1

−

⇔=

−

Nhaän xeùt vôùi x = 0:

0

(*) 0

1

⇔

=

−

(voâ lyù)

⇒ x = 0 khoâng laø nghieäm cuûa (*)

⇒ x0:

≠

(*)

3x 2

a

2x 1

−

⇔=

−

Ñaët

3x 2

f(x)

2x 1

−

=

−

1

x

2

⎛⎞

>

⎜⎟

⎝⎠

⇒

3x 1

f'(x)

(2x1)2x1

−

=

−

147

1

f'(x) 0 x

3

=⇔=

(khoâng thoûa

1

x

2

>

)⇒

1

x

3

=

(loaïi)

f'(x) 0

⇒> khi

1

x

2

>

BBT:

BBT cho a R

∀∈ , phöông trình ñaõ cho luoân coù nghieäm duy nhaát.

Ví duï 4:

Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa a thì phöông trình:

33

1x 1x a−+ +=

coù nghieäm .

(ÑH Ngoaïi Thöông TPHCM naêm 1998 Khoái D)

Giaûi

Ñaët

33

f(x) 1 x 1 x=−++

33

xx

lim f(x) lim ( 1 x 1 x)

→∞ →∞

=−++

x

3

22 2

33

1x1x

lim 0

(1 x) 1 x (1 x)

→∞

−++

==

−−−++

22

33

22 22

33 3

(1 x) (1 x)

11

f'(x)

3(1x) 3(1x) 3(1x)(1x)

−+ + −

−−

=+=

−+ −+

22

f'(x) 0 (1 x) (1 x) x 0=⇔ − =+ ⇔=

BBT:

BBT cho ta phöông trình coù nghieäm khi 0 a 2<≤

148

III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ.

3.1. Cho phöông trình:

2

aa

xx x

x1

(x 1)

++ =−

−

(1)

1. Giaûi phöông trình (1) khi a = 1

2. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình (1) theo tham soá a.

(ÑH Daân Laäp Ngoaïi Ngöõ Vaø Tin Hoïc naêm 1998).

3.2.

1. Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá:

yx13x

=

−+ −

2. Tìm ñieàu kieän cuûa tham soá thöïc m ñeå phöông trình sau coù nghieäm:

x1 3x (x1)(3x) m

−

+−− − −=

(ÑH Y TPHCM naêm 1999).

3.3. Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå phöông trình sau coù nghieäm duy

nhaát.

3

22

1x 21x a

−

+−=

(ÑH Giao Thoâng Vaän Taûi TPHCM naêm 1999).

3.4. Giaûi vaø bieän luaän theo tham soá m phöông trình :

2

x2mx12m

−

++=

3.5. Ñònh theo m soá nghieäm cuûa phöông trình :

4

44

x4xm x4xm6

+

++ ++=

3.6. Cho phöông trình :

44

x1xx1xm

+

−+ + −= (*)

1. Giaûi phöông trình (*) khi

m222=+

2. Ñònh m ñeå phöông trình (*) coù nghieäm duy nhaát.

Chuyên đề Toán 12: Giải và biện luận Phương trình chứa căn

Giải và biện luận phương trình chứa căn sẽ giúp các bạn ôn tập lại chắc chắn kiến thức môn Toán phần phương trình chứa căn. Hy vọng với tài liệu này, các bạn sẽ học tập và ôn luyện hiệu quả, chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia sắp tới.

Giải và biện luận phương trình chứa căn

I. Kiến thức Toán 12 về Giải Phương trình chứa căn cần nhớ

1. Cách giải cũng giống như giải và biện luận các phương trình khác

Nói chung là ta phải giải quyết 3 vấn đề:

Điều kiện có nghiệm
Có bao nhiêu nghiệm
Nghiệm số bằng bao nhiêu

Giả sử xét phương trình: √A = B (1)

(1) ↔ B ≥ 0 (2) và A = B² (3)

Bước 1: Giải phương trình: (3) A = B². Điều kiện có nghiệm của (3) và số nghiệm.

Bước 2: Chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện (2), có nhiều cách, tổng quát ta có thể thế từng nghiệm của (2) vào (1) để được điều kiện nhận nghiệm đó. Sau cùng ta phải tổng hợp các nghiệm trên.

2.Biện luận số nghiệm của phương trình chứa căn - Giải Toán 12

Nếu phương trình có nghiệm f(x)=k (với k không phụ thuộc vào x) ta giải bằng khảo sát hàm số.

Ví dụ 1: Cho phương trình : √(x² - 2x + m²) = |x-1| - m (1)

Giải phương trình (1) với m = 2

2. Giải và biện luận phương trình (1) theo m.

(ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1996).
Giải:

Với m = 2: (1)↔ √(x² - 2x +4) = |x-1| - 2 (2).

(Xem tiếp ở trên tài liệu)

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ - ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN LỚP 12

3.1. Cho phương trình:

$\sqrt{x^2+x\ +\ \frac{a^2}{\left(x-1\right)^2}}=\ x\ -\frac{a}{x-1}\ \left(1\right)$ $\sqrt{x^2+x\ +\ \frac{a^2}{\left(x-1\right)^2}}=\ x\ -\frac{a}{x-1}\ \left(1\right)$

1. Giải phương trình (1) khi a = 1

2. Giải và biện luận phương trình (1) theo tham số a.

(Đại học Dân lập Ngoại ngữ và Tin học năm 1998).

3.2.

1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

$y\ =\ \sqrt{x-1}\ +\ \sqrt{3-x}$ $y\ =\ \sqrt{x-1}\ +\ \sqrt{3-x}$

2. Tìm điều kiện của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt{x-1}\ +\ \sqrt{3-x}\ -\ \sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}=\ m$ $\sqrt{x-1}\ +\ \sqrt{3-x}\ -\ \sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}=\ m$

(Đại học Y TPHCM năm 1999).

3.3. Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

$\sqrt{1-x^2}+2.\sqrt[3]{1-x^2}=\ a$ $\sqrt{1-x^2}+2.\sqrt[3]{1-x^2}=\ a$

(Đại học Giao Thông Vận Tải TPHCM năm 1999).

3.4. Giải và biện luận theo tham số m phương trình:

$\sqrt{x^2\ -\ 2mx\ +\ 1}+\ 2\ =\ m$ $\sqrt{x^2\ -\ 2mx\ +\ 1}+\ 2\ =\ m$

3.5. Định theo m số nghiệm của phương trình:

$\sqrt{x^4+4x+m}+\sqrt[4]{x^4+4x+m}=\ 6$ $\sqrt{x^4+4x+m}+\sqrt[4]{x^4+4x+m}=\ 6$

3.6. Cho phương trình: $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=\ m\ \circledast$ $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=\ m\ \circledast$
1. Giải phương trình (*) khi $m\ =\ \sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{2}}$ $m\ =\ \sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{2}}$
2. Định m để phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

Trên đây các bạn đã tham khảo Học tốt Toán 12: Giải và biện luận phương trình chứa căn, mời các bạn tham khảo thêm các tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán cũng như học tốt chương trình Toán 12 trên lớp như là:

Chúc các em học tốt cũng như luôn bình tĩnh tự tin, đạt kết quả cao trong các kì thi quan trọng sắp tới.