260 bài toán phương trình và hệ phương trình trong ôn thi đại học

260 bài toán phương trình và hệ phương trình có lời giải

Nhằm giúp các bạn học sinh ôn thi tốt môn toán để thi vào các trường đại học, cao đẳng, VnDoc.com xin giới thiệu tuyển tập 260 bài toán phương trình và hệ phương trình trong ôn thi đại học. Các bài toán về phương trình và hệ phương trình này bao gồm các bài toán về phương trình và hệ phương trình, có lời giải kèm theo, giúp các bạn tự ôn luyện một cách dễ dàng. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây nhé.

• Bài tập trắc nghiệm phương trình lượng giác
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán lần 1 năm 2021 trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc
• Bộ đề thi thử THPT Quốc gia năm 2021 môn Toán
• Bộ đề thi thử THPT Quốc gia năm 2021 môn Vật Lý
• Bộ đề thi thử THPT Quốc gia năm 2021 môn Hóa học

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết 260 bài toán phương trình và hệ phương trình trong ôn thi đại học để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết được tổng hợp gồm có 260 bài toán về hệ phương trình trong các đề thi. Bài tập có lời giải chi tiết kèm theo. Qua bài viết bạn đọc có thể luyện tập được giải phương trình, giải hệ phương trình, giải bất phương trình, tìm ẩn số để phương trình có nghiệm... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây nhé.

Các bài toán về hệ phương trình phổ biến

Bài 1: Giải phương trình: $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$.

Hướng dẫn:

Đặt $t=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}$ > 0. (2) ⇔ $x=3$

Bài 2: Giải bất phương trình: $\frac{2^{1-x}-2^x+1}{2^x-1}\ge 0$

Hướng dẫn: $0<x\le 1$

Bài 3: Giải phương trình: $\frac{1}{2}{\log }_{\sqrt{2}}(x+3)+\frac{1}{4}{\log }_4(x-1{)}^8=3{\log }_8(4x)$.

Hướng dẫn: (1) ⇔ $(x+3)|x-1|=4x$ ⇔ x = 3; x =$-3+2\sqrt{3}$

Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x $\in [0;1+\sqrt{3}]$

$m(\sqrt{x^2-2x+2}+1)+x(2-x)\le 0$ (2)

Hướng dẫn:

Đặt $t=\sqrt{x^2-2x+2}$ (2) ⇔ $m\le \frac{t^2-2}{t+1}(1\le t\le 2)$, do $x\in [0;1+\sqrt{3}]$

Khảo sát $g(t)=\frac{t^2-2}{t+1}$ với 1 ≤ t ≤ 2. $g^{\prime }(t)=\frac{t^2+2t+2}{(t+1{)}^2}>0$.

Vậy g tăng trên đoạn [1,2].

Do đó, yêu cầu bài toán $\iff$ Bất phương trình $m\le \frac{t^2-2}{t+1}$ có nghiệm t ∈ [1,2] $\iff m\le \underset{t\in [1;2]}{maxg(t)}=g(2)=\frac{2}{3}$

Bài 5 : Giải hệ phương trình : $\{\begin{array}{c}{x}^4-4x^2+y^2-6y+9=0\\ x^{2}y+x^2+2y-22=0\end{array}$ (2)

Hướng dẫn

(2) ⇔ $\{\begin{array}{c}(x^2-2{)}^2+(y-3{)}^2=4\\ (x^2-2+4)(y-3+3)+x^2-2-20=0\end{array}$.

Đặt $\{\begin{array}{c}{x}^2-2=u\\ y-3=v\end{array}$

Khi đó (2) ⇔ $\{\begin{array}{c}{u}^2+v^2=4\\ u.v+4(u+v)=8\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}u=2\\ v=0\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{c}u=0\\ v=2\end{array}$

⇒ $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=3\end{array}$;$\{\begin{array}{c}x=-2\\ y=3\end{array}$;$\{\begin{array}{c}x=\sqrt{2}\\ y=5\end{array}$;$\{\begin{array}{c}x=-\sqrt{2}\\ y=5\end{array}$

Bài 6 :

1) Giải phương trình: ${5.3}^{2x-1}-{7.3}^{x-1}+\sqrt{1-{6.3}^x+9^{x+1}}=0$ (1)

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

$\{\begin{array}{c}lo{g}_{\sqrt{3}}(x+1)-lo{g}_{\sqrt{3}}(x-1)>lo{g}_{3}4(a)\\ lo{g}_2(x^2-2x+5)-m.lo{g}_{(x^2-2x+5)}2=5(b)\end{array}$

Hướng dẫn

1) Đặt $t=3^x>0$. (1) ⇔ $5t^2-7t+3|3t-1|=0$ ⇒ $x={\log }_3\frac{3}{5};x=-{\log }_{3}5$

2) $\{\begin{array}{c}{\log }_{\sqrt{3}}(x+1)-{\log }_{\sqrt{3}}(x-1)>{\log }_{3}4(a)\\ {\log }_2(x^2-2x+5)-m{\log }_{(x^2-2x+5)}2=5(b)\end{array}$

Giải (a) ⇔ 1 < x < 3.

Xét (b): Đặt $t={\log }_2(x^2-2x+5)$.

Từ x ∈ (1; 3) ⇒ t ∈ (2; 3).

(b) ⇔ $t^2-5t=m$. Xét hàm $f(t)=t^2-5t$, từ BBT ⇒ $m\in (-\frac{25}{4};-6)$

Bài 7 : Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}8x^3{y}^3+27=18y^3\\ 4x^{2}y+6x=y^2\end{array}$

Hướng dẫn

Ta có : $\{\begin{array}{c}8x^3{y}^3+27=18y^3\\ 4x^{2}y+6x=y^2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}(2x{)}^3+{\left({\displaystyle \frac{3}{y}}\right)}^3=18\\ 2x.{\displaystyle \frac{3}{y}}(2x+{\displaystyle \frac{3}{y}})=3\end{array}$.

Đặt a = 2x; b = $\frac{3}{y}$ khi đó hệ (2)$\iff \{\begin{array}{c}a+b=3\\ ab=1\end{array}$

Hệ đã cho có nghiệm: $(\frac{3-\sqrt{5}}{4};\frac{6}{3+\sqrt{5}}),(\frac{3+\sqrt{5}}{4};\frac{6}{3-\sqrt{5}})$

Bài 8 : Giải bất phương trình sau trên tập số thực: $\frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}}\le \frac{1}{\sqrt{5-2x}}$ (1).

Hướng dẫn

Với $-2\le x<\frac{1}{2}$: $\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}<0,\sqrt{5-2x}>0$, nên (1) luôn đúng

Với $\frac{1}{2}<x<\frac{5}{2}$ khi đó $(1)\iff \sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}\ge \sqrt{5-2x}\iff 2\le x<\frac{5}{2}$

Tập nghiệm của (1) là $S=[-2;\frac{1}{2})\cup [2;\frac{5}{2})$

Bài 9: Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}{x}^2+1+y(y+x)=4y\\ (x^2+1)(y+x-2)=y\end{array};(x;y\in \mathbb{R})$

Hướng dẫn

Ta có: (2) ⇔ $\{\begin{array}{c}\frac{x^2+1}{y}+y+x-2=2\\ \frac{x^2+1}{y}(y+x-2)=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\frac{x^2+1}{y}=1\\ y+x-2=1\end{array}$⇔ $\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{c}x=-2\\ y=5\end{array}$

Bài 10: Giải bất phương trình: $\sqrt{lo{g}_2^{2}x-lo{g}_2{x}^2-3}>\sqrt{5}(lo{g}_4{x}^2-3)$

Hướng dẫn

BPT ⇔ $\sqrt{lo{g}_2^{2}x-lo{g}_2{x}^2-3}>\sqrt{5}(lo{g}_{2}x-3)(1)$

Đặt t = log₂x khi đó $(1)\iff \sqrt{t^2-2t-3}>\sqrt{5}(t-3)$

$\iff \sqrt{(t-3)(t+1)}>\sqrt{5}(t-3)$

$\iff [\begin{array}{c}t\le -1\\ \{\begin{array}{c}t>3\\ (t+1)(t-3)>5(t-3{)}^2\end{array}\end{array}$$\iff [\begin{array}{c}t\le -1\\ 3<t<4\end{array}\iff [\begin{array}{c}lo{g}_{2}x\le -1\\ 3<lo{g}_{2}x<4\end{array}$ $\iff [\begin{array}{c}0<x\le \frac{1}{2}\\ 8<x<16\end{array}$

Bài 11 : Giải phương trình: ${\log }^2(x^2+1)+(x^2-5)log(x^2+1)-5x^2=0$

Hướng dẫn

Đặt $\log (x^2+1)=y$ khi đó $PT\iff y^2+(x^2-5)y-5x^2=0\iff [\begin{array}{c}y=5\\ y=-x^2\end{array}$

Nghiệm: $x=\pm \sqrt{99999};x=0$

Bài 12 : Giải phương trình: $8^x+1=2\sqrt[3]{2^{x+1}-1}$

Hướng dẫn

Đặt $2^x=u>0;\sqrt[3]{2^{x+1}-1}=v$.

$\iff \{\begin{array}{c}{u}^3+1=2v\\ v^3+1=2u\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}{u}^3+1=2v\\ (u-v)(u^2+uv+v^2+2)=0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}u=v>0\\ u^3-2u+1=0\end{array}$$\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=lo{g}_2\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{array}$

Bài 13: Tìm m để hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}{x}^{2}y-x^2+y=2\\ m(x^2+y)-x^{2}y=4\end{array}$ có ba nghiệm phân biệt

Hướng dẫn

Hệ phương trình tương đương $\{\begin{array}{c}(m-1)x^4+2(m-3)x^2+2m-4=0(1)\\ y=\frac{x^2+2}{x^2+1}\end{array}$.

Khi m = 1: Hệ PT ⇔ $\{\begin{array}{c}2x^2+1=0\\ y={\displaystyle \frac{x^2+2}{x^2+1}}\end{array}(VN)$

Khi m ≠ 1. Đặt t = x² , $t\ge 0$. Xét $f(t)=(m-1)t^2+2(m-3)t+2m-4=0(2)$

Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có ba nghiệm x phân biệt

(2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 ⇔ $\{\begin{array}{c}f(0)=0\\ S={\displaystyle \frac{2(m-3)}{1-m}}>0\end{array}\iff ...\iff m=2$.

Bài 14 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: $\{\begin{array}{c}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m\end{array}$.

Hướng dẫn

Đặt $u=\sqrt{x},v=\sqrt{y}(u\ge 0,v\ge 0)$.

Hệ PT ⇔ $\{\begin{array}{c}u+v=1\\ u^3+v^3=1-3m\end{array}\iff \{\begin{array}{c}u+v=1\\ uv=m\end{array}$.

ĐS: $0\le m\le \frac{1}{4}$.

Bài 15. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $x(x-1)+4(x-1)\sqrt{\frac{x}{x-1}}=m$

Hướng dẫn

Đặt $t=(x-1)\sqrt{\frac{x}{x-1}}$. PT có nghiệm khi $t^2+4t-m=0$ có nghiệm, suy ra $m\ge -4$.

Bài 16 : Giải phương trình: 3^x.2x = 3^x + 2x + 1

Hướng dẫn

Nhận xét; x = $\pm$1 là các nghiệm của phương trình

Phương trình tương đương $\iff 3^x=\frac{2x+1}{2x-1}$.

Dựa vào tính đơn điệu ⇒ phương trình chỉ có các nghiệm x = ± 1.

Bài 17 : Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2-xy=3(a)\\ \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=4(b)\end{array}$

Hướng dẫn

Phương trình (b) tương đương

$x^2+y^2+2\sqrt{(x^2+1).(y^2+1)}=14$

$\iff xy+2\sqrt{(xy{)}^2+xy+4}=11$ (c)

Đặt xy = p khi đó phương trình (c) tương đương $\iff 2\sqrt{p^2+p+4}=11-p$ $\iff \{\begin{array}{c}p\le 11\\ 3p^2+26p-105=0\end{array}$ $\iff [\begin{array}{c}p=3\\ p=\frac{-35}{3}\end{array}$

Phương trình $(a)\iff (x+y{)}^2=3xy+3$

Với p = xy = $-\frac{35}{3}$ (loại)

Với p = xy = 3 ⇒ $x+y=\pm 2\sqrt{3}$

TH1:

Với $\{\begin{array}{c}xy=3\\ x+y=2\sqrt{3}\end{array}\Rightarrow x=y=\sqrt{3}$

TH2: Với $\{\begin{array}{c}xy=3\\ x+y=-2\sqrt{3}\end{array}\Rightarrow x=y=-\sqrt{3}$

Vậy hệ có hai nghiệm là: $(\sqrt{3};\sqrt{3}),(-\sqrt{3};-\sqrt{3})$

Bài 18 Giải bất phương trình: ${\log }_2(4x^2-4x+1)-2x>2-(x+2){\log }_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}-x)$

Hướng dẫn

Bất phương trình tương đương

$x[lo{g}_2(1-2x)+1]<0$ với $(x<\frac{1}{2})$ $\iff \frac{1}{4}<x<\frac{1}{2}$ hoặc x < 0

Bài 19: Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}{x}^2+1+y(x+y)=4y\\ (x^2+1)(x+y-2)=y\end{array}$ (x, y $\in \mathbb{R}$)

Hướng dẫn

Nếu y = 0 không phải là nghiệm.

Hệ PT ⇔ $\{\begin{array}{c}\frac{x^2+1}{y}+x+y-2=2\\ \frac{x^2+1}{y}(x+y-2)=1\end{array}$

Đặt $u=\frac{x^2+1}{y},v=x+y-2$.

Ta có hệ $\{\begin{array}{c}u+v=2\\ uv=1\end{array}\iff u=v=1$ ⇔ $\{\begin{array}{c}\frac{x^2+1}{y}=1\\ x+y-2=1\end{array}$

Nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5).

Bài 20 : Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất: $ln(mx)=2ln(x+1)$

Hướng dẫn

1) ĐKXĐ: $x>-1,mx>0$. Như vậy trước hết phải có $m\ne 0$.

Khi đó, PT ⇔ $mx=(x+1{)}^2\iff x^2+(2-m)x+1=0$ (1)

Phương trình này có: $\mathrm{\Delta }=m^2-4m$.

Với $m\in (0;4)$ ⇒ ∆ < 0 ⇒ (1) vô nghiệm.

Với $m=0$, (1) có nghiệm duy nhất $x=-1$< 0 ⇒ loại.

Với $m=4$, (1) có nghiệm duy nhất x = 1 thoả ĐKXĐ nên PT đã cho có nghiệm duy nhất.

Với $m<0$, ĐKXĐ trở thành $-1<x<0$.

Khi đó $\mathrm{\Delta }>0$ nên (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2(x_1<x_2)$.

Mặt khác, $f(-1)=m<0,f(0)=1>0$ nên $x_1<-1<x_2<0$, tức là chỉ có $x_2$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Như vậy, các giá trị $m<0$ thoả điều kiện bài toán.

Với $m>4$. Khi đó, điều kiện xác định trở thành x > 0 và (1) cũng có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2(x_1<x_2)$.

Áp dụng định lý Viet, ta thấy cả hai nghiệm này đều dương nên các giá trị $m>4$cũng bị loại.

Tóm lại, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: $m\in (-\mathrm{\infty };0)\cup \left\{4\right\}$.

Tài liệu còn dài mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo chi tiết!

-----------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn 260 bài toán phương trình và hệ phương trình trong ôn thi đại học, mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 12. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn 12, tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...