Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 11 Toán 11 Lý thuyết Toán 11

Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân

Cấp số cộng và cấp số nhân
Lớp: Lớp 12
Môn: Toán
Loại File: Word + PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Toán lớp 12 - Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân

Để giúp các bạn học sinh học tập hiệu quả hơn môn Toán lớp 12, VnDoc mời các bạn tham khảo tài liệu Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập.

Tóm tắt nội dung:

Bài viết tổng hợp công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân trong chương trình Toán 10, giúp học sinh hệ thống đầy đủ kiến thức trọng tâm và phương pháp giải bài tập hiệu quả. Nội dung trình bày dấu hiệu nhận biết dãy số, công thức số hạng tổng quát, công thức tính tổng nhiều số hạng cùng các mẹo biến đổi nhanh thường gặp trong kiểm tra và thi học kỳ, kèm ví dụ minh họa và bài tập có đáp án giúp học sinh nâng cao kỹ năng tư duy đại số.

A. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:

u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq 2)

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Chú ý:

  • Nếu \left( u_{n} \right) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n \geq 2 ta có: u_{n} - u_{n - 1} = d.
  • Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng \left( u_{n} \right) có số hạng đầu u_{1} và công sai d thì số hạng tổng quát u_{n} được xác định bởi công thức:

u_{n} = u_{1} + (n - 1)d;(n \geq 2)

Chú ý: Với n \geq 2 ta có: u_{n} = u_{1} + (n - 1)d \Rightarrow n = \frac{u_{n} - u_{1}}{d} + 1

Tính chất cấp số cộng

Ba số hạng u_{n - 1},u_{n},u_{n + 1}là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi u_{n} = \frac{u_{n - 1} + u_{n + 1}}{2} với n \geq 1.

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng \left( u_{n} \right) có số hạng đầu u_{1} và công sai d. Đặt S_{n} = u_{1} + u_{2} + .... + u_{n}. Khi đó:

S_{n} = \frac{\left( u_{1} + u_{n} \right).n}{2}

Ta có: u_{n} = u_{1} + (n - 1).d

\Rightarrow S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d \right\rbrack.n}{2}

B. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q, tức là:

u_{n} = u_{n - 1}.q;(q \geq 2)

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Chú ý:

  • Nếu \left( u_{n} \right) là cấp số nhân với công bội q và u_{n} \neq 0 với mọi n \geq 1 thì với số tự nhiên n \geq 2 ta có: \frac{u_{n}}{u_{n - 1}} = q.
  • Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi.

Số hạng tổng quát cấp số nhân

Nếu cấp số nhân \left( u_{n} \right) có số hạng đầu u_{1} và công bội q thì số hạng tổng quát u_{n} được xác định bởi công thức:

u_{n} = u_{1}.q^{n - 1};(n \geq 2)

Tính chất của cấp số nhân

Ba số hạng u_{n - 1},u_{n},u_{n + 1}là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi {u_{n}}^{2} = u_{n - 1}.u_{n + 1} với n \geq 1.

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân \left( u_{n} \right) có số hạng đầu u_{1} và công bội q \neq 1.

Đặt S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}. Khi đó:

S_{n} = \frac{u_{1}.\left( 1 - q^{n} \right)}{1 - q}

Chú ý: Nếu q = 1 thì S_{n} = n.u_{1}

C. Bài tập tự luận cấp số cộng, cấp số nhân

Bài tập 1: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu có hãy xác định công sai.

a. {{u}_{n}}=-5n+4 b. {{u}_{n}}=\frac{2n+3}{5} c. {{u}_{n}}=\frac{n+1}{n}

Hướng dẫn giải

a. Ta xét: {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=-5\left( n+1 \right)+4+5n-4=-5 không phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d=5

b. Ta xét: {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{2\left( n+1 \right)+3}{5}-\frac{2n+3}{5}=\frac{2}{5} không phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai là d=\frac{2}{5}

c. Ta xét tương tự như các câu a, b

Bài tập 2: Các dãy số sau dãy số nào là cấp số nhân? Nếu có xác định công bội.

a. {{u}_{n}}=\frac{2}{n} b. {{u}_{n}}={{4.3}^{n}}

Hướng dẫn giải

a. Ta xét: \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{2}{n+1}}{\frac{2}{n}}=\frac{n}{n+1} phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho không là cấp số nhân

b. Ta chứng minh tương tự câu a: \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{4.3}^{n+1}}}{{{4.3}^{n}}}=3 không phu thuộc vào tham số n. Vậy cấp số đã cho là cấp số nhân với công bội là: q=3

Bài tập 3: Cho cấp số cộng thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.

a. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số

b. Tính S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}}

Hướng dẫn giải

Gọi d la công sai của cấp số cộng, ta có:

\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-\left( {{u}_{1}}+2d \right)+{{u}_{1}}+4d=10 \\ {{u}_{1}}+3d+{{u}_{1}}+5d=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+2d=10 \\ {{u}_{1}}+6d=26 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ d=3 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

Công thức tổng quát: {{u}_{n}}={u_{1}}+\left( n-1 \right)d=1+3\left( n-1 \right)=3n-2

b. Ta có: Các số hạng trong tổng S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}} lập thành một cấp số cộng với 670 số hạng với công sai d'=3d

\Rightarrow S=\frac{670}{2}\left( 2{{u}_{1}}+669d' \right)=673015.

Bài tập 4: Tìm 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.

Hướng dẫn giải

Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng: u_{1};u_{2};u_{3} . Theo đề bài ta có:

\left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 27\ (1) \\ u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} = 293\ \ (2) \\ \end{matrix} \right.

\ \text{(1)~} \Leftrightarrow u_{1} + u_{1} + d + u_{1} + 2d = 27

\Leftrightarrow 3u_{1} + 3d = 27 \Leftrightarrow d = 9 - u_{1}

\text{(2)~} \Leftrightarrow u_{1}^{2} + \left( u_{1} + d \right)^{2} + \left( u_{1} + 2d \right)^{2} = 293

\Leftrightarrow u_{1}^{2} + \left( u_{1} + 9 - u_{1} \right)^{2} + \left( u_{1} + 18 - 2u_{1} \right)^{2} = 293

\Leftrightarrow u_{1}^{2} + 81 + \left( 18 - u_{1} \right)^{2} = 293

\Leftrightarrow 2u_{1}^{2} - 36u_{1} - 112 = 0 \Leftrightarrow u_{1} = 14 \vee u_{1} = 4

Với \ u_{1} = 14 \Rightarrow d = - 5 \Rightarrow u_{2} = 9;u_{3} = 4.

Với \ u_{1} = 4 \Rightarrow d = 5 \Rightarrow u_{2} = 9;u_{3} = 14.

Ta có thể gọi 3 số hạng liên tiếp của CSC là u_{1} = u - d,u_{2} = u,u_{3} = u + d với công sai d.

Bài tập 5: Cho cấp số nhân thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\ \end{matrix} \right.

a. Xác định công bội và công thức tổng quát của cấp số.

b. Tính {{S}_{2011}}.

Hướng dẫn giải

a. Từ giả thiết bài toán đã cho ta có:

\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\frac{82}{11} \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=\frac{39}{11} \\ {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=\frac{82}{11} \\ \end{matrix} \right. \right.\Rightarrow \frac{{{q}^{4}}+1}{{{q}^{3}}+{{q}^{2}}+q}=\frac{82}{39}

\Leftrightarrow \left( q-3 \right)\left( 3q-1 \right)\left( 13{{q}^{2}}+16q+13 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} q=\dfrac{1}{3} \\ q=3 \\ \end{matrix} \right.

Với q=\frac{1}{3}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{81}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\frac{81}{11}\frac{1}{{{3}^{n-1}}}

Với q=3\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{1}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n-1}}}{11}

b. Ta có: {{S}_{2011}}={{u}_{1}}.\frac{{{q}^{2011}}-1}{q-1} thay lần lượt các giá trị q đã tìm ở câu a vào biểu thức.

Bài tập 6: Cho ba số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm ba số đó.

Hướng dẫn giải

Gọi u_{1};u_{2};u_{3} theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Theo bài ra ta có:

Tổng ba số dương bằng 65 suy ra u_{1} + u_{2} + u_{3} = 65(*)

u_{1} - 9;u_{2};u_{3} - 19 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng suy ra u_{1} - 1 + u_{3} - 19 = 2u_{2}(**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

\left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 65 \\ u_{1} - 1 + u_{3} - 19 = 2u_{2} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 65 \\ u_{1} - 2u_{2} + u_{3} = 20 \\ \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{1}q + u_{1}q^{2} = 65 \\ u_{1} - 2u_{1}q + u_{1}q^{2} = 20 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}\left( 1 + q + q^{2} \right) = 65 \\ u_{1}\left( 1 - 2q + q^{2} \right) = 20 \\ \end{matrix} \right.

\Rightarrow \frac{1 + q + q^{2}}{1 - 2q + q^{2}} = \frac{13}{4}\Leftrightarrow 4\left( 1 + q + q^{2} \right) = 13\left( 1 - 2q + q^{2} \right)

\Leftrightarrow 9q^{2} - 30q + 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} q = 3 \\ q = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.

Vì u_{1};u_{2};u_{3} theo thứ tự lập thành một cấp số nhân tăng dần nên chọn q = 3

\Rightarrow u_{1} = 5 \Rightarrow u_{2} = 15;u_{3} = 45

Bài tập 7: Tính tổng của dãy số

a) S_{n} = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{n} b) S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}}

Hướng dẫn giải

a) S_{n} = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{n}

Ta có:

2;2^{2};2^{3};...;2^{n} là một cấp số nhân với n số hạng có số hạng đầu u_{1} = 2 và công bội q = 2 .

Do đó:

S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 2.\frac{1 - 2^{n}}{1 - 2} = 2\left( 2^{n} - 1 \right)

b) S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}}

Ta có:

\frac{1}{2};\frac{1}{2^{2}};\frac{1}{2^{3}};...;\frac{1}{2^{n}} là một cấp số nhân với n số hạng có số hạng đầu u_{1} = \frac{1}{2} và công bội q = \frac{1}{2} .

Do đó:

S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 2.\frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^{n}}

D. Bài tập trắc nghiệm cấp số cộng, cấp số nhân

Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là -1; 1; -1;; 1; -1; .... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. {{u}_{n}}=1. B. {{u}_{n}}=-1.
C. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}. D. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}.

Câu 2: Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy số giảm?

A. {{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+1}{n}.
B. {{u}_{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}.
C. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}-1 \right).
D. {{u}_{n}}=\cos n.
Câu 3: Cho dãy số \left( {{U}_{n}} \right):\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+5 \\ \end{matrix} \right.\left( \forall n\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \right). Giá trị của {{u}_{20}} là:

A. {{3.2}^{20}}-5. B. {{2}^{22}}-5. C. {{3.2}^{19}}-5. D. {{2}^{20}}-5.

Câu 4: Cho dãy số \left( {{\mathsf{U}}_{n}} \right),n\in {{\mathbb{N}}^{*}}biết {{u}_{n}}=\frac{1}{1+n} ba số hạng đầu của dãy số đó là:

A. \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}. B. \frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{9}. C. 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}. D. 1,\frac{1}{3},\frac{1}{5}.

Câu 5: Cho biết {{S}_{n}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}. Khi đó công thức S\left( n \right) là?

A. S\left( n \right)=\frac{n\left( 2n+1 \right)\left( n+1 \right)}{6}. B. S\left( n \right)=\frac{{{n}^{2}}\left( 2n+1 \right)}{6}.
C. S\left( n \right)=\frac{n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)}{6}. D. S\left( n \right)=\frac{n\left( 2n+1 \right)\left( 3n+1 \right)}{6}.
Câu 6: Tổng của S=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n+1 \right)} bằng:

A. S=\frac{n}{2n+1}. B. S=\frac{n+1}{2n}.
C. S=\frac{n}{n+1}. D. S=\frac{2n}{2n+1}.

Câu 7: Cho dãy số \left( {{U}_{n}} \right):\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+{{n}^{2}} \\ \end{matrix} \right.. Tính {{u}_{21}}

A.2871. B.3011. C.3312. D.3080.

Câu 8: Cho dãy số \left(u_{n}\right) xác định bởi u_{1}=-\frac{41}{20} và u_{n+1}=21 u_{n}+1 với moi n \geq 1. Tìm số hạng thứ 2018 cúa dãy số đã cho.

A. u_{2018}=2.21^{2018}-\frac{1}{20}. B. u_{2018}=2.21^{2017}-\frac{1}{20}.
C. u_{2018}=-2.21^{2017}-\frac{1}{20}. D. u_{2018}=-2.21^{2018}-\frac{1}{20}.

Câu 9: Cho dãy \left(u_{n}\right): u_{1}=\mathrm{e}^{3}, u_{n+1}=u_{n}^{2}, k \in \mathbb{N}^{*} thỏa mãn u_{1} . u_{2} \ldots u_{k}=\mathrm{e}^{765} . Giá trị của k là

A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.

Câu 10: Cho dãy số \left(u_{n}\right) thỏa mãn u_{1}=\sqrt{2} và u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}} với moi n \geq 1. Tìm u_{2018}

A. u_{2018}=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2^{2017}}.
B.u_{2018}=2 \cos \frac{\pi}{2^{2019}} . \quad
C. u_{2018}=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2^{2018}}.
D.u_{2018}=2.

---------------------------------

❓ FAQ – Cấp số cộng và cấp số nhân Toán 10

1. Cấp số cộng là gì?

Cấp số cộng là dãy số: 👉 Hiệu của hai số hạng liên tiếp luôn không đổi.

2. Công sai của cấp số cộng được ký hiệu như thế nào?

Công sai thường ký hiệu là: d

3. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là gì?

4. Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng là gì?

5. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là dãy số: 👉 Tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn không đổi.

6. Công bội của cấp số nhân được ký hiệu là gì?

7. Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là gì?

8. Công thức tính tổng cấp số nhân hữu hạn là gì?

----------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân. Bài viết cho chúng ta thấy được công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân. Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 12 nhé. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
4
18.853 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này