Biến cố độc lập là gì? Cách xác đinh hai biến cố độc lập

Trong xác suất thống kê, biến cố độc lập là khái niệm quan trọng giúp đánh giá mối quan hệ giữa hai biến cố: liệu kết quả của một biến cố có ảnh hưởng đến biến cố kia hay không. Việc hiểu rõ định nghĩa, điều kiện và cách xác định hai biến cố độc lập không chỉ giúp bạn giải bài tập xác suất dễ dàng mà còn ứng dụng hiệu quả trong phân tích dữ liệu. Bài viết dưới đây sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ, dễ hiểu và ví dụ cụ thể về biến cố độc lập.

A. Biến cố độc lập

Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
Chú ý: Nếu \(A,B\) là hai biến cố độc lập thì mỗi cặp biến cố sau cũng độc lập: \(A\) và \(\overline{B};\overline{A}\) và \(B;\overline{A}\) và \(\overline{B}\).

B. Cách xác định biến cố độc lập

Câu 1: Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:

\(A\): "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 4";

\(B\): "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 4";

\(C\): "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 4".

Tìm cặp biến cố độc lập.

Hướng dẫn giải

Cặp biến cố độc lập là \(A\ và\ B\), vì xảy ra hay không xảy ra biến cố \(A\) không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố \(B\), và ngược lại, xảy ra hay không xảy ra biến cố \(B\) cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố \(A\).

Câu 2: Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Xét các biến cố sau: A: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 3";

B: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 3";

C: "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba lớn hơn 3";

\(D\): "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 3".

Trong các biến cố trên, tìm ba cặp biến cố độc lập?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Ba cặp biến cố độc lập là: \(A\) và \(B,A\) và \(C,B\) và \(C\).

Câu 3. Một thùng đựng 60 tấm thè cùng loại được đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:

\(A\): "Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60 " và

\(B\): "Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48 ".

Chứng tỏ rằng \(A\) và \(B\) là hai biến cố không độc lập.

Hướng dẫn giải

Tổng số các số ước của 60 là 12.

Tổng số các số ước của 48 là 8.

Tổng số ước của cà 60 và 48 là 5.

Xác suất để một số được rút ra từ thùng là ước của 60 là\(\frac{5}{60} = \frac{1}{12}\)

Xác suất để một số được rút ra từ thùng là ước của 48 là \(\frac{5}{48}\).

Xác suất để số được rút ra là một số ước của 60 và 48 và là ước của 12 là \(\frac{1}{12}\).

Xác suất để số được rút ra từ thùng là ước của 48, biết rằng số đó cũng là ước của 12 là \(\frac{2}{12} = \frac{1}{6}\)

Vì vậy, xác suất của biến cố \(B\) phụ thuộc vào việc số đó có phải là một số ước của 60 hay không.

Do đó, hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.

Câu 4. Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:

\(A:\)"Ở lần gieo thứ nhất, số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 1"';

\(B:\)"Ở lần gieo thứ hai, số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 2 ";

\(C:\) "Tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là 8";

\(D:\) "Tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là 7".

Chứng tỏ rằng các cặp biến cố \(A\) và \(C;B\) và \(C;C\) và \(D\) không độc lập.

Hướng dẫn giải

• A và C: Hai biến cố này không độc lập vì kết quả của biến cố \(A\) ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố \(C\). Nếu số chấm trên lần gieo thứ nhất là 1, thì để tổng số chấm là 8 thì lần gieo thứ hai phải ra số 7. Nếu số chấm trên lần gieo thứ nhất không phải là 1 thì biến cố \(C\) không thể xảy ra.
• B và C :Tương tự, hai biến cố này cũng không độc lập vì kết quả của biến cố \(B\)ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố.
• A: : Nếu số chấm trên lần gieo thứ hai là 2, thì để tổng số chấm là 8 thì lần gieo thứ nhất phải ra số 6. Nếu số chấm trên lần gieo thứ hai không phải là 2 thì biến cố C không thể xảy ra.
• C và D: Hai biến cố này cũng không độc lập vì kết quả của biến cố \(C\) ành hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố D. Nếu tổng số chấm trên hai lần gieo là 8, thì để tổng số chấm là 7 thì cả hai lần gieo đều phải ra số 3, nhưng điều này không thể xảy ra. Nếu tổng số chấm trên hai lần gieo không phải là 8 thì biến cố \(D\) không thể xảy ra.

=> Vậy các cặp biến cố \(A\) và \(C\); \(B\) và \(C,C\) và \(D\) không độc lập.

----------------------------------------------------

Như vậy, nắm vững kiến thức về biến cố độc lập không chỉ giúp bạn xử lý các bài toán xác suất phức tạp mà còn nâng cao tư duy logic và phân tích xác suất trong thực tế. Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ khái niệm, cách nhận biết và công thức áp dụng với biến cố độc lập. Đừng quên thực hành thêm các ví dụ để củng cố kiến thức, và chia sẻ bài viết nếu bạn thấy hữu ích nhé!