Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ 
\(\overrightarrow u(x;y);\overrightarrow v(x';y')\). Khi đó:
- \(\overrightarrow u\pm\overrightarrow v=(x\pm x';y\pm y')\).
- \(k\overrightarrow u=(kx;ky)\) với \(k \in \mathbb{R}\).
Nhận xét:
- Hai vectơ \(\overrightarrow u(x;y);\overrightarrow v(x';y')\) cùng phương khi và chỉ khi \(\frac x{x'} = \frac y {y'}\). (điều kiện \(x'.y' \neq 0\))
- Nếu điểm \(M\) có tọa độ \((x;y)\) thì vectơ \(\overrightarrow {OM}=(x;y)\) và có độ dài \(OM=\sqrt{x^2+y^2}\).
- Vectơ \(\overrightarrow u =(x;y)\) cũng có độ dài \(|\overrightarrow u|=\sqrt{x^2+y^2}\).
- Cho \(M(x;y);N(x';y')\) thì độ dài đoạn thẳng \(MN=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}\).
Chú ý:
- Trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ là: \(M(\frac{x_A+x_B}2;\frac{y_A+y_B}2)\).
- Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ là: \(G(\frac{x_A+x_B+x_C}3;\frac{y_A+y_B+y_C}3)\).
2. Tích vô hướng của hai vectơ
- Nếu \(\overrightarrow u(x;y);\overrightarrow v(x';y')\) thì \(\overrightarrow u.\overrightarrow v=x.x'+y.y'\).
Chú ý:
- Nếu \(\overrightarrow u\) vuông góc với \(\overrightarrow v\) thì \(\overrightarrow u.\overrightarrow v=0\).
- Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) là: \(\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow v ) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\)\(= \frac{{x.x' + y.y'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2}} }}\)
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(A(1;2);B(0;1);C(-2;0)\). Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(G(\frac{x_A+x_B+x_C}3;\frac{y_A+y_B+y_C}3)\).
Suy ra \(G(\frac{1+0-2}3;\frac{2+1+0}3) =(\frac{-1}3;1)\).
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(M(1;-3);N(2;0)\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\) và tìm tọa độ trung điểm \(I\) của \(MN\).
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng, ta có:
\(MN=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}\)\(=\sqrt{(2-1)^2+(0+3)^2} =\sqrt{10}\).
Trung điểm \(I\) của có tọa độ thỏa mãn:
\(I(\frac{x_M+x_N}2;\frac{y_M+y_N}2)\). Suy ra \(I(\frac{1+2}2;\frac{-3+0}2) =(\frac32;\frac{-3}2)\).
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(A(1;2);B(2-a;0);C(-2;1)\). Tìm \(a\) để ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB} =(1-a;-2)\) và \(\overrightarrow {AC} =(-3;-1)\).
Để ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng thì: \(\frac{1-a}{-3}= \frac{-3}{-1} \Leftrightarrow a=10\).
Vậy để \(a=10\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Cho tam giác \(ABC\) với \(A(1;0);B(2;1);C(0;1)\). Tính góc \(\widehat {BAC}\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB}=(1;1)\) và \(\overrightarrow {AC}=(-1;1)\).
\(\cos (\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC})= \frac{{1.(-1) + 1.1}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {(-1){^2} + {1^2}} }}=0\). Suy ra góc \(\widehat {BAC}=90^{\circ}\).
Ví dụ 5: Cho tam giác \(MNP\) với \(M(1;2),N(3;4),P(-5;6)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {MN}.\overrightarrow {NP}\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\overrightarrow {MN}=(2;2)\) và \(\overrightarrow {NP}=(-8;2)\).
Tích vô hướng \(\overrightarrow {MN}.\overrightarrow {NP}=2.(-8)+2.2=-12\).
