VnDoc.com Lớp 10 Khóa học Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm:

Đề kiểm tra 45 phút Toán 10 Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ sách Cánh Diều giúp bạn học tổng hợp lại kiến thức của cả nội dung chương. Cùng nhau luyện tập nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay

Câu 1: Vận dụng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , lấy các điểm $P,Q,R$ lần lượt là các điểm thay đổi trên các cạnh $BC,AC,AD$ sao cho $\widehat{PMR} = 90^{0}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left|\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{MR}ight|$ .
- A.
  $\frac{a\sqrt{5}}{2}$
- B.
  $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $a\sqrt{2}$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa
Đặt $\left| {\overrightarrow {AR} } ight| = x;\left| {\overrightarrow {BP} } ight| = y;\left| {\overrightarrow {ME} } ight| = z;\left| {\overrightarrow {EQ} } ight| = t$
Khi đó $\Delta AMR\sim\Delta BPM$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}xy = \dfrac{a^{2}}{4} \\x + y \geq 2\sqrt{xy} = a \\\end{matrix} ight.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x =y$ hay P, Q là trung điểm của BC, DA
Ta có:
$\left| \overrightarrow{MP} +\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{MR} ight|^{2} = (x + y + z)^{2}+ t^{2} \geq (1 + z)^{2} + t^{2} = \left| \overrightarrow{MH}ight|$
Khi P ≡ P∗, R ≡ R∗, Q thay đổi trên AC, H sẽ thay đổi trên đoạn thẳng DK sao cho tam giác DCK vuông cân tại C.
Ta lại có: $\widehat{MDH} \approx 108^{0}\Rightarrow MH \geq MD = \frac{a\sqrt{5}}{2}$
Câu 2: Nhận biết
Chon khẳng định đúng

Cho hình vuông $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{AD} \right| = \left| \overrightarrow{CB} \right|.$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $ABCD$ là hình vuông

$\overset{}{\rightarrow}\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \\ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{CB} \Rightarrow \left| \overrightarrow{AD} \right| = \left| \overrightarrow{CB} \right| \end{matrix} \right.$ .
Câu 3: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $O$ . $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD$ . Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau.

a) $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MA}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{OC}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{AO}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{EN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$ với $E$ là trung điểm của $OA$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $O$ . $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD$ . Xét tính đúng, sai của các phát biểu sau.

a) $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MA}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{OC}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{AO}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{EN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$ với $E$ là trung điểm của $OA$ . Sai||Đúng

Tổng quan đáp án:

a) Saib) Saic) Đúngd) Sai

Hình vẽ minh họa:

a) Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $AB = 2AM$ và hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{MA}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{AB} = - 2\overrightarrow{MA}$ .

b) Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{OC}$ .

c) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right) + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AC} = 4\overrightarrow{AO}$ .

d) Ta có:

$\overrightarrow{EN} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} = - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$= - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right) + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$ .
Câu 4: Nhận biết
Tìm hệ thức sai

Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
- A.
  $(\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{PQ}$
- B.
  $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}$
- C.
  $\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{MN}$
- D.
  $(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PQ})(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ})=MN^{2}-PQ^{2}$
Hệ thức sai là: $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}$
Vì $\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP}$ (tính chất giao hoán)
Câu 5: Nhận biết
Đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}$ sai do $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$ .

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}$ sai do $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} =2\overrightarrow{CD}$ $\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} ight) - \left( \overrightarrow{AD} -\overrightarrow{AB} ight)\mathbf{=}2\overrightarrow{CD}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{AB} =2\overrightarrow{CD}$ .

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$ sai do $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB}$ .

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}$ đúng do $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}\mathbf{=}$ $2\overrightarrow{BC} + \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} ight) = 2\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{0} = 2\overrightarrow{BC}$ .
Câu 6: Nhận biết
Tìm câu sai

Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?
- A.
  $\sin\alpha = \sin\beta$ .
- B.
  $\cos\alpha = - \cos\beta$ .
- C.
  $\tan\alpha = - \tan\beta$ .
- D.
  $\cot\alpha = \cot\beta$ .
Mối liên hệ hai cung bù nhau.
Câu 7: Nhận biết
Xác định đẳng thức sai

Cho hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .
- B.
  $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ .
Ta có: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \neq \overrightarrow{CD}$ . Vậy đẳng thức sai là: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .
Câu 8: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = 2a,AD = 3a,\ \widehat{BAD} = 60{^\circ}$ . Điểm $K$ thuộc $AD$ thỏa mãn $\overrightarrow{AK} = - 2\overrightarrow{DK}$ .

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 3a^{2}$ . Đúng||Sai

c) $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = a^{2}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = 2a,AD = 3a,\ \widehat{BAD} = 60{^\circ}$ . Điểm $K$ thuộc $AD$ thỏa mãn $\overrightarrow{AK} = - 2\overrightarrow{DK}$ .

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 3a^{2}$ . Đúng||Sai

c) $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = a^{2}$ . Đúng||Sai

a) Sai

Ta có $\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ .

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = - \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$

b) Đúng

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = \left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AD} \right|\cos\widehat{BAD}$

$= 2a.3a\cos\widehat{BAD} = 2a.3acos60{^\circ} = 3a^{2}$

c) Đúng

Hình vẽ minh họa

Từ giả thiết ta có $AB = AK = 2a,\ \widehat{BAK} = 60{^\circ}$ nên $\Delta BAK$ đều

Suy ra $BK = 2a,\ \widehat{KBC} = 60{^\circ}$

Do đó, $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 2a.3a.cos60{^\circ} = 3a^{2}$

d) Đúng

Ta có $\overrightarrow{BK} = - \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$ ; $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

Khi đó

$\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = \left( - \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} \right)\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right)$

$= - AB^{2} + \frac{2}{3}AD^{2} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = - 4a^{2} + \frac{2}{3}.9a^{2} - \frac{1}{3}2a.3a.\cos 60{^\circ} = a^{2}$
Câu 9: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho hình bình hành $ABCD$ với $I$ là giao điểm của 2 đường chéo. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
- A.
  $\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC}$
Ta có: $\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{BD}$ không cùng phương và độ lớn nên $\overrightarrow{AC} \neq \overrightarrow{BD}$ .
Câu 10: Nhận biết
Tính diện tích tam giác

Cho tam giác $ABC$ có $AB =4cm;AC = 12cm$ và góc $\widehat{BAC} = 120^{\circ}$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ .
- A.
  $12\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$ .
- B.
  $24\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$
- C.
  $12\left( {cm}^{2}ight)$ .
- D.
  $24\left( {cm}^{2}ight)$ .
$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin\widehat{BAC}$

$= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 \cdot \sin 120^{\circ}$

$= 12\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$
Câu 11: Thông hiểu
Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ khác

Cho hình bình hành $ABCD.$ Tính $\overrightarrow{AB}$ theo $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}.$
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD}.$
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{0}.$ Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} \\ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} \\ \end{matrix} ight.$

$= > 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} + \left( \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AD} ight) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.$
Câu 12: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng

Cho hình chữ nhật $ABCD$ , gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ , phát biểu nào là đúng?
- A.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ .
- C.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB}$ .
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\overrightarrow{OA}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{OC}$ , $\overrightarrow{OB}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{OD}$

Vậy: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 13: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hình bình hành $ABCD$ với $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$ . Khi đó:

a) $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{ND} + \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BM}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình bình hành $ABCD$ với $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$ . Khi đó:

a) $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{ND} + \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BM}$ . Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng

Theo qui tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}$ .

b) Sai

Do $AMCN$ là hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CA}$ .

Suy ra $\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} = - \overrightarrow{AD}$ .

c) Đúng

Do $AMCN$ là hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MN}$ .

Do $NDMB$ là hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{NB} = \overrightarrow{DM}$ .

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{ND} + \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{ND} + \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{0}$ .

d) Đúng

Do $ABCD$ là hình bình hành, ta có $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}$ , suy ra

$\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}= \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BA}$ $= \overrightarrow{AM} -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BM}$ .
Câu 14: Nhận biết
Chọn đẳng thức đúng

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  sin(180° – α) = ‒cos α
- B.
  sin(180° – α) = ‒sin α
- C.
  sin(180° – α) = sin α
- D.
  sin(180° – α) = cos α
Đáp án đúng là sin(180° – α) = sin α
Câu 15: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp

Tam giác $ABC$ có $\cos B$ bằng biểu thức nào sau đây?
- A.
  $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}\ .$
- B.
  $\sqrt{1 - \sin^{2}B}$
- C.
  $\cos(A + C).$
- D.
  $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac}\ .$
Ta có:

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$

$\Rightarrow \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac}$ .
Câu 16: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Tính giá trị biểu thức $P = \left\lbrack \tan\frac{17\pi}{4} + \tan\left( \frac{7\pi}{2} - x ight) ightbrack^{2} + \left\lbrack \cot\frac{13\pi}{4} + \cot(7\pi - x) ightbrack^{2}$ .
- A.
  $\dfrac{1}{\sin^{2}x}$
- B.
  $\dfrac{1}{\cos^{2}x}$
- C.
  $\dfrac{2}{\sin^{2}x}$
- D.
  $\dfrac{2}{\cos^{2}x}$
Ta có:

$\tan\frac{17\pi}{4} = \tan\left( \frac{\pi}{4} + 4\pi ight) = \tan\frac{\pi}{4} = 1$

$\tan\left( \frac{7\pi}{2} - x ight) = \cot x$

$\cot\frac{13\pi}{4} = \cot\left( \frac{\pi}{4} + 3\pi ight) = \cot\frac{\pi}{4} = 1$

$\cot(7\pi - x) = - \cot x$

Khi đó:

$P = \left\lbrack \tan\frac{17\pi}{4} + \tan\left( \frac{7\pi}{2} - x ight) ightbrack^{2} + \left\lbrack \cot\frac{13\pi}{4} + \cot(7\pi - x) ightbrack^{2}$

$P = \left( 1 + \cot x ight)^{2} + \left( 1 - \cot x ight)^{2}$

$P = 2 + 2\cot^{2}x =\dfrac{2}{\sin^{2}x}$
Câu 17: Nhận biết
Tính diện tích tam giác

Cho $\Delta ABC$ có $a = 4,c = 5,B = 150^{0}.$ Diện tích của tam giác là:
- A.
  $5\sqrt{3}.$
- B.
  $5.$
- C.
  $10.$
- D.
  $10\sqrt{3}\ .$
Ta có:

$S_{\Delta ABC} =\frac{1}{2}a.c.\sin B = \frac{1}{2}.4.5.\sin150^{0} = 5.$
Câu 18: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm M thõa mãn điều kiện

Trong hệ tọa độ $Oxy$ , cho hai điểm $A(2; - 3),\ B(3;4).$ Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho $A,\ B,\ M$ thẳng hàng.
- A.
  $M(1;0).$
- B.
  $M(4;0).$
- C.
  $M\left( - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3} ight).$
- D.
  $M\left( \frac{17}{7};0 ight).$
Điểm $M \in Ox\overset{}{ightarrow}M(m;0).$ Ta có $\overrightarrow{AB} = (1;7)$ và $\overrightarrow{AM} = (m - 2;3).$

Để $A,B,M$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \frac{m - 2}{1} = \frac{3}{7} \Leftrightarrow m = \frac{17}{7}.$
Câu 19: Vận dụng
Tìm tập hợp vị trí điểm M

Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB}$ . Tìm vị trí điểm $M.$
- A.
  $M$ là trung điểm của $AC.$
- B.
  $M$ là trung điểm của $AB.$
- C.
  $M$ là trung điểm của $BC.$
- D.
  $M$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ABCM.$
Gọi $I$ là trung điểm của $BC \Rightarrow \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MI}$ $\Rightarrow M$ là trung điểm $AC.$
Câu 20: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Trong Vật Lý, khi vật chịu tác dụng của hai lực thì tổng hợp lực của hai lực đó sẽ được vẽ bằng quy tắc hình bình hành trong véc tơ. Xét ba lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ cùng tác dụng vào một vật tại điểm $S$ . Trên hình vẽ mô tả hai lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}}$ và lực tổng hợp $\overrightarrow{F}$ của ba lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ . Độ lớn của các lực $F_{1} = F_{2} = 30N,F = 60N$ và góc $\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} \right) = 60^{0}.$

a) Vectơ lực thứ 3 được tính theo công thức: $\overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{F} -\overrightarrow{F_{1}} - \overrightarrow{F_{2}}$ . Đúng||Sai

b) Độ lớn lực tổng hợp $\left| \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} \right| = 45N$ . Sai||Đúng

c) Hình vẽ mô tả cách xác định lực $\overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{F} -\overrightarrow{F_{1}}- \overrightarrow{F_{2}}$ như hình vẽ dưới đây.

Sai||Đúng

d) Độ lớn lực $F_{3} =30\sqrt{3} N.$ Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong Vật Lý, khi vật chịu tác dụng của hai lực thì tổng hợp lực của hai lực đó sẽ được vẽ bằng quy tắc hình bình hành trong véc tơ. Xét ba lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ cùng tác dụng vào một vật tại điểm $S$ . Trên hình vẽ mô tả hai lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}}$ và lực tổng hợp $\overrightarrow{F}$ của ba lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ . Độ lớn của các lực $F_{1} = F_{2} = 30N,F = 60N$ và góc $\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} \right) = 60^{0}.$

a) Vectơ lực thứ 3 được tính theo công thức: $\overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{F} -\overrightarrow{F_{1}} - \overrightarrow{F_{2}}$ . Đúng||Sai

b) Độ lớn lực tổng hợp $\left| \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} \right| = 45N$ . Sai||Đúng

c) Hình vẽ mô tả cách xác định lực $\overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{F} -\overrightarrow{F_{1}}- \overrightarrow{F_{2}}$ như hình vẽ dưới đây.

Sai||Đúng

d) Độ lớn lực $F_{3} =30\sqrt{3} N.$ Sai||Đúng

a. Đúng. $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} \Rightarrow \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{F_{1}} - \overrightarrow{F_{2}}$

b. Sai. Ta có $\left| \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} \right|^{2} = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + F_{1}.F_{2} = 2700$

$\Rightarrow \left| \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} \right| = 30\sqrt{3}N$

c. Sai. Tổng hợp lần lượt theo quy tắc hình bình hành ta được.

${\overrightarrow{F}}_{1,2} = \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}}$

$\Rightarrow \overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = {\overrightarrow{F}}_{1,2} + \overrightarrow{F_{3}}$

d. Sai

Ta có

$\overrightarrow{F} = {\overrightarrow{F}}_{1,2} + \overrightarrow{F_{3}}$ và theo cách xác định thì khi đó ta có:

${F_{3}}^{2} = F^{2} - F_{1,2}^{2} = (60)^{2} - \left( 30\sqrt{3} \right)^{2} = 900 \Rightarrow F_{3} = 30N$
Câu 21: Thông hiểu
Tính độ dài của vectơ

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a.$ Tính $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight|.$
- A.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = 0.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = a.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = a\sqrt{2}.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = 2a.$
Ta có $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight| = AC = a\sqrt{2}.$
Câu 22: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp

Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm I thỏa mãn $\overrightarrow{IB} +3\overrightarrow{IA} =\overrightarrow{0}$ . Hình nào sau đây mô tả đúng giả thiết này?
- A.
  Hình 1.
- B.
  Hình 2.
- C.
  Hình 3.
- D.
  Hình 4.
Ta có: $\overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{IB} = - 3\overrightarrow{IA}$ .

Do đó $IB = 3.IA$ ; $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB}$ ngược hướng.

Chọn Hình 4.
Câu 23: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Biết $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}eq \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}|\times |\overrightarrow{b}|$ . Câu nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng
- B.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ nằm trên hai đường thẳng hợp với nhau một góc $120^{\circ}$
- C.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng
- D.
  Tất cả đáp án đều sai
Ta có:
$\begin{matrix} \vec a.\vec b = - |\vec a|.|\vec b| = |\vec a|.|\vec b|.\cos {180^0} \hfill \\ \Rightarrow \left( {\vec a,\vec b} ight) = {180^0} \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.
Câu 24: Vận dụng
Xác định dấu của biểu thức

Cho $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Xác định dấu của biểu thức $M = \cos\left( - \frac{\pi}{2} + \alpha ight).tan(\pi - \alpha).$
- A.
  $M \geq 0.$
- B.
  $M > 0.$
- C.
  $M \leq 0.$
- D.
  $M < 0.$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ightarrow 0 < - \frac{\pi}{2} + \alpha < \frac{\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ightarrow 0 < \pi - \alpha < \frac{\pi}{2} \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\cos\left( - \frac{\pi}{2} + \alpha ight) > 0$ và $\overset{}{ightarrow}\tan(\pi - \alpha) > 0$

$\overset{}{ightarrow}M > 0.$
Câu 25: Vận dụng cao
Tính bán kính đường tròn

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a.$ Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} \right| = \left| \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} \right|$ là đường tròn cố định có bán kính $R.$ Tính bán kính $R$ theo $a.$
- A.
  $r = \frac{a}{3}.$
- B.
  $r = \frac{a}{9}.$
- C.
  $r = \frac{a}{2}.$
- D.
  $r = \frac{a}{6}.$
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

Ta có $2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} = 2\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right) + 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right) + 4\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} \right).$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} \right) + \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$

Mà $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Rightarrow \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 3\ \overrightarrow{IG}.$

Khi đó $9\ \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG} = \overrightarrow{CA}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*).$

Do đó $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} \right| = \left| \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} \right|$

$\Leftrightarrow \left| 9\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 4\overrightarrow{IC} \right| = \left| \overrightarrow{AB} \right|$

$\Leftrightarrow 9MI = AB.$

Vì $I$ là điểm cố định thỏa mãn $(*)$ nên tập hợp các điểm $M$ cần tìm là đường tròn tâm $I,$ bán kính $r = \frac{AB}{9} = \frac{a}{9}.$
Câu 26: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Giá trị biểu thức $A = \sin {30^0}.\cos {60^0} + \sin {60^0}.\cos {30^0}$ là:
- A.
  A = 1
- B.
  A = 0
- C.
  $A= \sqrt{3}$
- D.
  $A= -\sqrt{3}$
Ta có:
$\begin{matrix} A = \sin {30^0}.\cos {60^0} + \sin {60^0}.\cos {30^0} \hfill \\ A = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ A = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 27: Vận dụng
Tính thời điểm hai vận động viên cách nhau 10km

Vào lúc 9 giờ sáng, hai vận động viên A và B xuất phát từ cùng một vị trí O. Vận động viên A chạy với vận tốc 13 km/h theo một góc so với hướng Bắc là 15°, vận động viên B chạy với vận tốc 12 km/h theo một góc so với hướng Bắc là 135° (hình vẽ).
Tại thời điểm nào thì vận động viên A cách vận động viên B một khoảng 10 km (làm tròn kết quả đến phút)?
- A.
  28 phút
- B.
  9 giờ 28 phút
- C.
  30 phút
- D.
  9 giờ 40 phút
Gọi khoảng thời gian kể từ khi bắt đầu chạy từ điểm O đến khi hai vận động viên cách nhau 10 km là x giờ
Điều kiện: x > 0
Khi đó đoạn đường mà vận động viên A chạy được là 13x (km)
Đoạn đường mà vận động viên B chạy được là 12x (km)
Ta có: $\widehat {AOB} = {135^0} - {15^0} = {120^0}$
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
$\begin{matrix} A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos \widehat {AOB} \hfill \\ \Leftrightarrow {10^2} = {\left( {13x} ight)^2} + {\left( {12x} ight)^2} - 2.13x.12x.\cos {120^0} \hfill \\ \Leftrightarrow {10^2} = 169{x^2} + 144{x^2} + 156{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{100}}{{469}} \hfill \\ \Rightarrow x \approx 0,46 \hfill \\ \end{matrix}$
0,46 giờ ≈ 28 phút
Do đó thời điểm mà hai vận động viên cách nhau 10 km là khoảng: 9 giờ 28 phút.
Vậy vào khoảng 9 giờ 28 phút thì hai vận động viên sẽ cách nhau 10 km.
Câu 28: Thông hiểu
Tìm khẳng định đúng

Cho hình vuông $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|.$
- D.
  Hai vectơ $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ cùng hướng.
Chọn $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|.$ Vì $AB = BC \Leftrightarrow \left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|.$
Câu 29: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Tam giác với ba cạnh là $5;12;13$ có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu?
- A.
  $2.$
- B.
  $2\sqrt{2}.$
- C.
  $2\sqrt{3}.$
- D.
  $3.$
Ta có: $p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15$ .

Mà $5^{2} + 12^{2} = 13^{2} \Rightarrow S = \frac{1}{2}.5.12 = 30.$

Mặt khác $S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = 2.$
Câu 30: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho tam giác $ABC$ có $A(1;2)$ , $B( - 1;1)$ , $C(5; - 1)$ . Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ ?
- A.
  $7$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $- 7$ .
- D.
  $- 5$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ( - 2).4 + ( - 1).( - 3) = - 5$ .
Câu 31: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hình thoi $ABCD$ tâm $O$ và $AC = 2a,\ \ BD = a$ .

a) $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 0$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \right| = a\sqrt{5}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình thoi $ABCD$ tâm $O$ và $AC = 2a,\ \ BD = a$ .

a) $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 0$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \right| = a\sqrt{5}$ . Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) ĐÚNG. Ta có theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA}$ .

b) SAI. Ta có: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$ .

c) SAI. Ta có: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .

d) ĐÚNG. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$ .

$\left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \right| = 2\left| \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} \right| = 2\left| 2\overrightarrow{OM} \right| = 4OM$

$= 4.\frac{1}{2}CD = 2\sqrt{OD^{2} + OC^{2}} = 2\sqrt{\frac{a^{2}}{4} + a^{2}} = a\sqrt{5}$ .
Câu 32: Thông hiểu
Tìm đẳng thức sai

Đẳng thức nào sau đây là sai?
- A.
  $\left( \cos x + \sin x \right)^{2} + \left( \cos x - \sin x \right)^{2} = 2,\forall x$ .
- B.
  $tan^{2}x - sin^{2}x = tan^{2}xsin^{2}x,\forall x \neq 90^{{^\circ}}$
- C.
  $sin^{4}x + cos^{4}x = 1 - 2sin^{2}xcos^{2}x,\forall x$ .
- D.
  $sin^{6}x - cos^{6}x = 1 - 3sin^{2}xcos^{2}x,\forall x$
Ta có:

$sin^{6}x - cos^{6}x$

= (sin²x)³ - (cos²x)³

$= \left( sin^{2}x - cos^{2}x \right)\left( 1 - sin^{2}xcos^{2}x \right)$

Đáp án chưa chính xác là: $sin^{6}x - cos^{6}x = 1 - 3sin^{2}xcos^{2}x,\forall x$ .
Câu 33: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ , $H$ là trung điểm của $BC$ . Tính $\left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \right|.$
- A.
  $\left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \right| = \frac{a}{2}.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \right| = \frac{3a}{2}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \right| = \frac{2\sqrt{3}a}{3}.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \right| = \frac{a\sqrt{7}}{2}.$
Hình vẽ minh họa

Gọi $D$ là điểm thỏa mãn tứ giác $ACHD$ là hình bình hành.

$\Rightarrow AHBD$ là hình chữ nhật.

$\left| \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \right| = \left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CH} \right| = \left| \overrightarrow{CD} \right| = CD.$

Ta có: $CD = \sqrt{BD^{2} + BC^{2}} = \sqrt{AH^{2} + BC^{2}}$

$= \sqrt{\frac{3a^{2}}{4} + a^{2}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}.$
Câu 34: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng

Cho ba điểm $A,B,C$ phân biệt. Khi đó:
- A.
  Điều kiện cần và đủ để $A,B,C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}.$
- B.
  Điều kiện đủ để $A,B,C$ thẳng hàng là với mọi $M,$ $\overrightarrow{MA}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}.$
- C.
  Điều kiện cần để $A,B,C$ thẳng hàng là với mọi $M,$ $\overrightarrow{MA}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}.$
- D.
  Điều kiện cần để $A,B,C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$
Điều kiện cần và đủ để $A,B,C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}.$
Câu 35: Nhận biết
Tìm câu sai

Cho tam giác $ABC$ . Tìm công thức sai trong các công thức dưới đây?
- A.
  $\frac{a}{\sin A} = 2R\ .$
- B.
  $\sin A = \frac{a}{2R}\ .$
- C.
  $b\sin B = 2R\ .$
- D.
  $\sin C = \frac{c\sin A}{a}\ .$
Ta có: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.$
Câu 36: Thông hiểu
Tìm biểu thức sai

Cho 2 vectơ $\overrightarrow{a} = \left(a_{1};a_{2} \right),\overrightarrow{b} = \left( b_{1};b_{2}\right)$ , tìm biểu thức sai?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = a_{1}.b_{1} + a_{2}.b_{2}$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left\lbrack \overrightarrow{a^{2}} + \overrightarrow{b^{2}} - \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)^{2} \right\rbrack$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)^{2} - \overrightarrow{a^{2}} - \overrightarrow{b^{2}} \right\rbrack$ .
Phương án $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = a_{1}.b_{1} + a_{2}.b_{2}$ :

Biểu thức tọa độ tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = a_{1}.b_{1} + a_{2}.b_{2}$ nên loại.

Phương án $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$ :

Công thức tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$ nên loại.

Phương án $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left\lbrack \overrightarrow{a^{2}} + \overrightarrow{b^{2}} - \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)^{2} \right\rbrack$ :

$\frac{1}{2}\left\lbrack \overrightarrow{a^{2}} + \overrightarrow{b^{2}} - \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)^{2} \right\rbrack = \frac{1}{2}\left\lbrack \overrightarrow{a^{2}} + \overrightarrow{b^{2}} - \left( \overrightarrow{a^{2}} + \overrightarrow{b^{2}} + 2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} \right) \right\rbrack = - \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$ nên chọn.
Câu 37: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho vectơ $\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0},\ \overrightarrow{a} = - 2\overrightarrow{b}\ ,\ \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Hai vectơ $\ \ \overrightarrow{b}\ \ \ và\ \overrightarrow{c}$ bằng nhau.
- B.
  Hai vectơ $\ \ \overrightarrow{b}\ \ \ và\ \overrightarrow{c}$ ngược hướng.
- C.
  Hai vectơ $\ \ \overrightarrow{b}\ \ \ và\ \overrightarrow{c}$ cùng phương.
- D.
  Hai vectơ $\ \ \overrightarrow{b}\ \ \ và\ \overrightarrow{c}$ đối nhau.
Ta có: $\overrightarrow{a} = - 2\overrightarrow{b}\ \Rightarrow \ \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = - 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{b}$ .

Vậy hai vectơ $\ \ \overrightarrow{b}\ \ \ và\ \overrightarrow{c}$ đối nhau.
Câu 38: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho $2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha > 0;cot\alpha > 0.$
- B.
  $\tan\alpha < 0;cot\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha > 0;cot\alpha < 0.$
- D.
  $\tan\alpha < 0;\cot\alpha > 0.$
Ta có $2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2}\overset{}{ightarrow}$ điểm cuối cung $\alpha - \pi$ thuộc góc phần tư thứ $I\overset{}{ightarrow}\left\{ \begin{matrix} \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.\ .$
Câu 39: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp

Cho $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ . Hỏi vectơ $\left( \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO} \right)$ bằng vectơ nào?
- A.
  $\overrightarrow{BA}.$
- B.
  $\overrightarrow{BC}.$
- C.
  $\overrightarrow{DC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AC}.$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ .
Câu 40: Vận dụng cao
Tính độ dài cạnh AB

Cho tam giác $ABC$ cạnh $BC = 10$ , lấy $I \in BC$ sao cho $\frac{IB}{IC} = \frac{3}{2}$ . Đường tròn tâm $I$ bán kính $3$ tiếp xúc với các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại các điểm $M,N$ . Tính độ dài cạnh $AB$ ?
- A.
  $AB = 3\sqrt{3} - \sqrt{7}$
- B.
  $AB = 3\sqrt{3} + \sqrt{7}$
- C.
  $AB = 2\left( 3\sqrt{3} + \sqrt{7} ight)$
- D.
  $AB = 3\left( 3\sqrt{3} - \sqrt{7} ight)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\sin\widehat{B} = \dfrac{IM}{BI} = \dfrac{1}{2} \\\sin\widehat{C} = \dfrac{IN}{CI} = \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} ight.$ từ đó suy ra $\left\{ \begin{matrix}\cos\widehat{B} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\\cos\widehat{C} = \dfrac{\sqrt{7}}{4} \\\end{matrix} ight.$ (do $\widehat{B};\widehat{C}$ là các góc nhọn)

Đặt $AB = c;AC = b$ . Do $AI$ là phân góc của góc $\widehat{A}$ nên $\frac{c}{b} = \frac{6}{4} \Rightarrow 2c = 3b$

Mặt khác, theo định lí cosin trong tam giác $ABC$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} c^{2} = b^{2} + BC^{2} - 2b.BC.cos\widehat{C} \\ b^{2} = c^{2} + BC^{2} - 2c.BC.cos\widehat{B} \\ \end{matrix} ight.$

Thay số ta được hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 2c = 3b \\ c^{2} = b^{2} + 100 - 5\sqrt{70}b \\ b^{2} = c^{2} + 100 - 10\sqrt{3}c \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2\left( 3\sqrt{3} - \sqrt{7} ight) \\ c = 3\left( 3\sqrt{3} - \sqrt{7} ight) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $AB = 3\left( 3\sqrt{3} - \sqrt{7} ight)$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

29 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Chương 1: Mệnh đề toán học. Tập hợp
Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Chương 3: Hàm số và đồ thị
Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ
Đề thi học kì 1
Chương 5: Đại số tổ hợp
Đề thi giữa học kì 2
Chương 6: Một số yếu tố thống kê và xác suất
Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Đề thi học kì 2

Lớp 10
Khóa học Lớp 10
Toán 10 - Cánh diều

Toán 10 - Cánh diều

Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Cánh Diều - Đề 5
Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Cánh Diều - Đề 1
Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Cánh Diều - Đề 2
Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Cánh Diều - Đề 4
Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Cánh Diều - Đề 3
Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 Cánh Diều (Đề 5)

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Toán 10 - Cánh diều

Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Cánh Diều - Đề 5

Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Cánh Diều - Đề 1

Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Cánh Diều - Đề 2

Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Cánh Diều - Đề 4

Đề thi học kì 2 Toán lớp 10 Cánh Diều - Đề 3

Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 Cánh Diều (Đề 5)