VnDoc.com Lớp 10 Khóa học Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm:

Đề kiểm tra 45 phút Toán 10 Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ sách Cánh Diều giúp bạn học tổng hợp lại kiến thức của cả nội dung chương. Cùng nhau luyện tập nha!

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Bắt đầu làm bài

Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Câu 1: Thông hiểu
Tính độ dài đoạn AM

Tam giác $ABC$ có $a = 6,b = 4\sqrt{2},c = 2.$ $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BM = 3$ . Độ dài đoạn $AM$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\sqrt{9}\ .$
- B.
  $9.$
- C.
  $3.$
- D.
  $\frac{1}{2}\sqrt{108}\ .$
Trong tam giác $ABC$ có $a = 6$

$\Rightarrow BC = 6$ mà $BM = 3$

Suy ra $M$ là trung điểm $BC.$

Suy ra: $AM^{2} = m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} = 9 \Rightarrow AM = 3$ .
Câu 2: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây sai?

Cho tam giác $ABC.$ Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC.$ Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AM}.$
- B.
  $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{NC}.$
- C.
  $\overrightarrow{BC} = - \ 2\overrightarrow{MN}.$
- D.
  $\overrightarrow{CN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$
Vì $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\ \ AC.$ Suy ra $MN$ là đường trung bình của tam giác

$ABC\overset{}{ightarrow}MN = \frac{1}{2}BC.$ Mà $\overrightarrow{BC},\ \ \ \overrightarrow{MN}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow{BC} = 2\ \overrightarrow{MN}.$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm vectơ cùng hướng

Cho $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ không cùng phương, $\overrightarrow{\ x\ } = - 2\ \overrightarrow{\ a\ \ } + \overrightarrow{\ b\ }$ . Vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{\ x\ \ }$ là:
- A.
  $2\ \overrightarrow{\ a\ \ } - \overrightarrow{\ b\ }$ .
- B.
  $- \ \overrightarrow{\ a\ \ } + \frac{1}{2}\overrightarrow{\ b\ }$ .
- C.
  $4\ \overrightarrow{\ a\ \ } + 2\overrightarrow{\ b\ }$ .
- D.
  $- \ \overrightarrow{\ a\ \ } + \overrightarrow{\ b\ }$ .
Ta có $- \ \overrightarrow{\ a\ \ } + \frac{1}{2}\overrightarrow{\ b\ } = \frac{1}{2}\left( - 2\ \overrightarrow{\ a\ \ } + \overrightarrow{\ b\ } ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{\ x\ }$ . Chọn $- \ \overrightarrow{\ a\ \ } + \frac{1}{2}\overrightarrow{\ b\ }$ .
Câu 4: Nhận biết
Tìm vectơ thỏa mãn

Cho hình bình hành $ABCD$ , vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình bình hành bằng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{DC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{BA}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AC}$ .
Ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\left\{ \begin{matrix} AB = CD \\ AB \parallel CD \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .
Câu 5: Nhận biết
Xác định tích vô hướng giữa hai vectơ

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có $AB =c,\ AC = b$ . Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}.$
- A.
  $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = b^{2}$
- B.
  $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = c^{2}$
- C.
  $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = b^{2} + c^{2}$
- D.
  $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = b^{2} - c^{2}$
Ta có:

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}= BA.BC.\cos\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right) =BA.BC.\cos\widehat{B}$

$= c.\sqrt{b^{2} + c^{2}}.\frac{c}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} = c^{2}$

Cách khác.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ suy ra $AB\bot AC \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0$

Ta có:

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{BA}.\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\right)$ $= {\overrightarrow{BA}}^{2} +\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC} = AB^{2} = c^{2}$
Câu 6: Nhận biết
Tìm khẳng định sai

Cho hình bình hành $ABCD$ với $I$ là giao điểm của 2 đường chéo. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
- A.
  $\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC}$
Ta có: $\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{BD}$ không cùng phương và độ lớn nên $\overrightarrow{AC} \neq \overrightarrow{BD}$ .
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Cho hình vuông ABCD, tính $\cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA} \right)$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}$ .
- B.
  $- \frac{1}{2}$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$ .
- D.
  $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA} \right)$ sau đó mới tính $\cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA} \right)$

Vì $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA} \right) = 180^{o} - \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA} \right) = 135^{o}$ $\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA} \right) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính độ dài vectơ

Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$ , $H$ là trung điểm cạnh $BC$ . Vectơ $\overrightarrow{CH} - \overrightarrow{HC}$ có độ dài là:
- A.
  $a$ .
- B.
  $\frac{3a}{2}$ .
- C.
  $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ .
- D.
  $\frac{a\sqrt{7}}{2}$ .
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\overrightarrow{CH} - \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{CH} + \overrightarrow{CH} = \overrightarrow{CB}$ .

Độ dài là $BC = a$ .
Câu 9: Nhận biết
Tìm hình vẽ chính xác

Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên:
- A.
  $3\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$
- B.
  $3\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{BI}+3\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{AI}+3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$
Nhận xét: $\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AI} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AI} = \overrightarrow 0$ .
Câu 10: Vận dụng cao
Tính số đo góc C

Cho tam giác $ABC$ có các góc thỏa mãn biểu thức

$\sin^{2}\widehat{A} + \sin^{2}\widehat{B}= \sqrt[2017]{\sin\widehat{C}}$

Giả sử $AB = c;BC = a;AC = b$ . Tính số đo góc $\widehat{C}$ ?
- A.
  $\widehat{C} = 60^{0}$
- B.
  $\widehat{C} = 45^{0}$
- C.
  $\widehat{C} = 90^{0}$
- D.
  $\widehat{C} = 120^{0}$
Ta có:

$\sin\widehat{C} \in \lbrack - 1;1brack \Rightarrow sin^{2017}\widehat{C} \geq sin^{2}\widehat{C}$

$\Rightarrow sin^{2}\widehat{A} + sin^{2}\widehat{B} \geq sin^{2}\widehat{C}$

$\Rightarrow 4R^{2}.\left\lbrack sin^{2}\widehat{A} + sin^{2}\widehat{B} ightbrack \geq 4R^{2}.sin^{2}\widehat{C}$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} \geq c^{2}$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} - c^{2} \geq 0$

Theo định lí cosin ta có:

$\Rightarrow \cos\widehat{C} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab} \geq 0$

Ta thấy

$\sin^{2}\widehat{A} + \sin^{2}\widehat{B}= \frac{1 - \cos2\widehat{A}}{2} + \frac{1 -\cos2\widehat{B}}{2}$

$= 1 - \frac{\cos2\widehat{A} +\cos2\widehat{B}}{2}$

$= 1 - \cos\left( \widehat{A} +\widehat{B} ight).\cos\left( \widehat{A} - \widehat{B}ight)$

$= 1 - \cos\widehat{C}.\cos\left(\widehat{A} - \widehat{B} ight) \geq 1$

Mặt khác $\sqrt[2017]{\sin\widehat{C}}\leq \sqrt[2017]{1} = 1$

Do đó: $sin^{2}\widehat{A} + sin^{2}\widehat{B} = \sqrt[2017]{\sin\widehat{C}}$ khi $\left\{ \begin{matrix}\cos\widehat{C}.\cos\left( \widehat{A} - \widehat{B} ight) = 0 \\\sin\widehat{C} = 1 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \widehat{C} =\dfrac{\pi}{2}$

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại $\widehat{C}$ .
Câu 11: Nhận biết
Tìm số đo góc A

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $B$ và có $\widehat{C} = 25^{0}$ . Số đo của góc $A$ là:
- A.
  $A = 65^{0}.$
- B.
  $A = 60^{0}.$
- C.
  $A = 155^{0}.$
- D.
  $A = 75^{0}.$
Trong $\Delta ABC$ có:

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{0}$

$\Rightarrow \widehat{A} = 180^{0} - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^{0} - 90^{0} - 25^{0} = 65^{0}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp. Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng $CD = 60m$ , giả sử chiều cao của giác kế là $OC = 1m$ .

Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhìn thấy đỉnh $A$ của tháp. Đọc trên giác kế số đo của góc $\widehat{AOB} = 60^{0}$ . Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị nào sau đây:
- A.
  $40m$ .
- B.
  $114m$ .
- C.
  $105m$ .
- D.
  $110m$ .
Tam giác $OAB$ vuông tại $B,$ có:

$\tan\widehat{AOB} = \frac{AB}{OB}$ $\Rightarrow AB = \tan60^{0}.OB =60\sqrt{3}m.$

Vậy chiếu cao của ngọn tháp là: $h = AB + OC = \left( 60\sqrt{3} + 1 \right)\ m.$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng

Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NP}.$
- C.
  $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{AB}.$
Xét các đáp án:

• Đáp án $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.$ . Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \neq \overrightarrow{BC}$ (với $D$ là điểm thỏa mãn $ABDC$ là hình bình hành). Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.$ sai.

• Đáp án $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NP}.$ . Ta có $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{NP}$ . Vậy $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NP}.$ đúng.

• Đáp án $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB}.$ . Ta có $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BA} = - \left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \right) = - \overrightarrow{AD} \neq \overrightarrow{CB}$ (với $D$ là điểm thỏa mãn $ABDC$ là hình bình hành). Vậy $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB}.$ sai.

• Đáp án $\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{AB}.$ . Ta có $\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} \neq \overrightarrow{AB}$ . Vậy $\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{AB}.$ sai.
Câu 14: Nhận biết
Tìm câu sai

Chọn phát biểu sai?
- A.
  Ba điểm phân biệt $A,\ B,\ C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}\ = k\overrightarrow{BC}\ ,\ k \neq 0$ .
- B.
  Ba điểm phân biệt $A,\ B,\ C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AC}\ = k\overrightarrow{BC}\ ,\ k \neq 0$ .
- C.
  Ba điểm phân biệt $A,\ B,\ C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}\ = k\overrightarrow{AC}\ ,\ k \neq 0$ .
- D.
  Ba điểm phân biệt $A,\ B,\ C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}\ = \ k\overrightarrow{AC}$ .
Ta có ba điểm phân biệt $A,\ B,\ C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\exists\ k\mathbb{\in R},k \neq 0$ sao cho $\overrightarrow{AB}\ = \ k\overrightarrow{AC}$ .
Câu 15: Nhận biết
Có bao nhiêu vectơ thỏa mãn

Cho ba điểm phân biệt $M,N,P.$ Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm $M,N,P$ đã cho?
- A.
  $4$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $8$ .
Các vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm $M,N,P$ đã cho là

$\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{PM},\overrightarrow{NP},\overrightarrow{PN}$ .
Câu 16: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác

Giá trị của $\cos60^{0} +\sin30^{0}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
- B.
  $\sqrt{3}$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .
- D.
  1.
Ta có: $cos60^{0} + sin30^{0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Giá trị biểu thức $A = \sin {30^0}.\cos {60^0} + \sin {60^0}.\cos {30^0}$ là:
- A.
  A = 1
- B.
  A = 0
- C.
  $A= \sqrt{3}$
- D.
  $A= -\sqrt{3}$
Ta có:
$\begin{matrix} A = \sin {30^0}.\cos {60^0} + \sin {60^0}.\cos {30^0} \hfill \\ A = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ A = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 18: Vận dụng
Chọn phương án thích hợp

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = a$ và $AD = a\sqrt{2}$ . Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $AD$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = 0.$
- B.
  $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = - a^{2}\sqrt{2}.$
- C.
  $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = a^{2}\sqrt{2}.$
- D.
  $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = 2a^{2}.$
Hình vẽ minh họa :

Ta có:

$AC = BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \sqrt{2a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{3}.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \end{matrix} \right.$

$\overset{}{\rightarrow}\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC} = \left( \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \right)\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right)$

$= \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD}$

$= - a^{2} + 0 + 0 + \frac{1}{2}\left( a\sqrt{2} \right)^{2} = 0.$

$\overset{}{\rightarrow}\ \cos\widehat{ABC} = \sqrt{1 - sin^{2}\widehat{ABC}} = \frac{5\sqrt{7}}{16}$ (vì $\widehat{ABC}$ nhọn).

Mặt khác góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{BC}$ là góc ngoài của góc $\widehat{ABC}$

Suy ra $\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} \right) = \cos\left( 180^{0} -\widehat{ABC} \right)$ $= - \cos\widehat{ABC} = - \frac{5\sqrt{7}}{16}.$
Câu 19: Vận dụng
Số các biểu thức mang giá trị dương là

Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ tù. Cho các biểu thức sau:

(1) $M = \sin A + \sin B + \sin C$

(2) $N = \cos A.cosB.cosC$

(3) $P = \cos\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.cot\frac{C}{2}$

(4) $Q = \cot A\tan B\cot C$

Số các biểu thức mang giá trị dương là:
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có: $A$ tù nên $\cos A < 0;sinA > 0;tanA < 0;cotA < 0$

Do đó: $M > 0;N < 0;P > 0;Q < 0$ .
Câu 20: Nhận biết
Chọn câu đúng

Cho tam giác $ABC$ . Lấy điểm $M$ trên $BC$ sao cho $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AM} = 0$ . Câu nào sau đây đúng
- A.
  $M$ là trung điểm của $BC$ .
- B.
  $AM$ là đường phân giác của góc $A$ .
- C.
  $AM\bot BC$ .
- D.
  $\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{BC} \right) = 60^{0}$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} -\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AM} = 0$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}\left( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right) = 0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CB} =0$ nên $AM\bot BC$ .
Câu 21: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ , có cạnh $a$ . Biết $M$ là trung điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ADM$ . Khi đó:

a) $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BC} = a^{2}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = a^{2}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{3}$ . Sai||Đúng

d) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ , có cạnh $a$ . Biết $M$ là trung điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ADM$ . Khi đó:

a) $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BC} = a^{2}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = a^{2}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{3}$ . Sai||Đúng

d) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Do $\overrightarrow{CD}\bot\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$

b) Độ dài đường chéo hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ là:

$AC = BD = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2}$ .

Ta có: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = - |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$

$= - AB \cdot AC \cdot \cos\widehat{BAC} = - a \cdot a\sqrt{2} \cdot cos45^{{^\circ}} = - a^{2}$ .

c) $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot cos(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC})$

$= AM \cdot AC \cdot \cos\widehat{CAM} = \frac{a}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot cos45^{{^\circ}} = \frac{a^{2}}{2}$

d) Ta có: $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC}$

$= \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AC}$

$= |\overrightarrow{DA}|.|\overrightarrow{DB}|.cos(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}) - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}$

$= DA.DB.cos\widehat{ADB} - \frac{1}{2}AD.AC.cos\widehat{CAD}$

$= a \cdot a\sqrt{2} \cdot cos45^{0} - \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt{2} \cdot cos45^{0}$

$= a^{2} - \frac{1}{2}a^{2} = \frac{1}{2}a^{2}$
Câu 22: Nhận biết
Xác định hệ thức sai

Hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?
- A.
  $\sin\alpha = \cos\beta$ .
- B.
  $\tan\alpha = \cot\beta$ .
- C.
  $\cot\beta = \frac{1}{\cot\alpha}$ .
- D.
  $\cos\alpha = - \sin\beta$ .
Ta có:

$\cos\alpha = \cos\left( 90^{0} - \beta \right) = \sin\beta$

Vậy hệ thức sai là: $\cos\alpha = - \sin\beta$ .
Câu 23: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Chọn khẳng định đúng:
- A.
  Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{CG}= \overrightarrow{0}$ .
- B.
  Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ .
- C.
  Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 0$ .
Khẳng định đúng là: “Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ .”
Câu 24: Vận dụng cao
Tính tổng các vecto

Cho hình vuông $ABCD$ , dựng các hình vuông $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4};B_{1}B_{2}B_{3}B_{4};C_{1}C_{2}C_{3}C_{4};D_{1}D_{2}D_{3}D_{4}$ với $A,B,C,D$ là tâm các hình vuông biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

Biết các hình vuông nhỏ có kích thước $1cm \times 1cm$ . Tính độ dài vectơ:

$\overrightarrow{A_{1}B_{1}} + \overrightarrow{B_{2}C_{2}} + \overrightarrow{C_{3}D_{3}} + \overrightarrow{D_{4}A_{4}}$

$+ \overrightarrow{A_{2}B_{2}} + \overrightarrow{B_{3}C_{3}} + \overrightarrow{C_{4}D_{4}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}}$

$+ \overrightarrow{A_{3}B_{3}} + \overrightarrow{B_{4}C_{4}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{D_{2}A_{2}}$
- A.
  $\sqrt{10}cm$
- B.
  $\sqrt{13}cm$
- C.
  $\sqrt{23}$
- D.
  $\sqrt{34}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{A_{1}B_{1}} + \overrightarrow{B_{2}C_{2}} + \overrightarrow{C_{3}D_{3}} + \overrightarrow{D_{4}A_{4}}$

$= \overrightarrow{B_{2}B_{1}} + \overrightarrow{C_{3}C_{2}} + \overrightarrow{D_{2}D_{3}} + \overrightarrow{A_{1}E} + \overrightarrow{EA_{4}} = \overrightarrow{X_{1}Z_{1}}$

$\overrightarrow{A_{2}B_{2}} + \overrightarrow{B_{3}C_{3}} + \overrightarrow{C_{4}D_{4}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}}$

$= \overrightarrow{B_{3}B_{2}} + \overrightarrow{C_{4}C_{3}} + \overrightarrow{D_{1}D_{4}} + \overrightarrow{A_{2}F} + \overrightarrow{FA_{1}} = \overrightarrow{X_{2}Z_{2}}$

$\overrightarrow{A_{3}B_{3}} + \overrightarrow{B_{4}C_{4}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{D_{2}A_{2}}$

$= \overrightarrow{B_{4}B_{3}} + \overrightarrow{C_{1}C_{4}} + \overrightarrow{D_{2}D_{1}} + \overrightarrow{A_{3}K} + \overrightarrow{KA_{2}} = \overrightarrow{X_{3}Z_{3}}$

Khi đó tổng vecto cần tính có kết quả là:

$|\overrightarrow{A_{1}B_{1}} + \overrightarrow{B_{2}C_{2}} + \overrightarrow{C_{3}D_{3}} + \overrightarrow{D_{4}A_{4}}$

$+ \overrightarrow{A_{2}B_{2}} + \overrightarrow{B_{3}C_{3}} + \overrightarrow{C_{4}D_{4}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}}$

$+ \overrightarrow{A_{3}B_{3}} + \overrightarrow{B_{4}C_{4}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{D_{2}A_{2}}|$

$= \left| \overrightarrow{X_{1}Z_{1}} + \overrightarrow{X_{2}Z_{2}} + \overrightarrow{X_{3}Z_{3}} ight| = \left| \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MQ} ight| = \left| \overrightarrow{MP} ight| = \sqrt{34}$
Câu 25: Nhận biết
Chọn công thức đúng

Cho tam giác $ABC$ , chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
- A.
  $m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4}.$
- B.
  $m_a^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}.$
- C.
  $m_a^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}.$
- D.
  $m_a^2 = \frac{{2{c^2} + 2{b^2} - {a^2}}}{4}.$
Ta có: $m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}{4}.$
Câu 26: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $2a$ . Khi đó $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right|$ có kết quả là:
- A.
  $2a$ .
- B.
  $2a\sqrt{3}$ .
- C.
  $4a$ .
- D.
  $a\sqrt{3}$ .
Hình vẽ minh họa:

Dựng hình bình hành $ABDC$ tâm $E$ .

Ta có: $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| = \left| \overrightarrow{AD} \right| = AD = 2AE = a\sqrt{3}$
Câu 27: Thông hiểu
Xác định câu sai

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ ; hai điểm $E,\ \ F$ lần lượt là trung điểm $AB,\ \ BC$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{EB} - \overrightarrow{EO}.$
- B.
  $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EO}.$
- C.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} = \overrightarrow{0}.$
- D.
  $\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{BF} - \overrightarrow{DO} = \overrightarrow{0}.$
Hình vẽ minh họa

Ta có $OF,\ \ OE$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $\Delta BCD$ và $\Delta ABC$ .

$\Rightarrow BEOF$ là hình bình hành.

$\overrightarrow{BE} +\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BO}$

$\Rightarrow\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{BF} - \overrightarrow{DO}$ $=\overrightarrow{BO} - \overrightarrow{DO}$

$= \overrightarrow{OD} -\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BD}.$
Câu 28: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Biểu thức lượng giác $\left\lbrack \sin\left( \frac{\pi}{2} - x ight) + \sin(10\pi + x) ightbrack^{2} + \left\lbrack \cos\left( \frac{3\pi}{2} - x ight) + \cos(8\pi - x) ightbrack^{2}$ có giá trị bằng bao nhiêu?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{3}{4}$
Ta có:

$\sin\left( \frac{\pi}{2} - x ight) = \cos x$

$\sin(10\pi + x) = \sin x$

$\cos\left( \dfrac{3\pi}{2} - x ight) =\cos\left( 2\pi - \dfrac{\pi}{2} - x ight) = \cos\left( \dfrac{\pi}{2} +x ight) = - \sin x$

$\cos(8\pi - x) = \cos x$

Khi đó

$\left\lbrack \sin\left( \frac{\pi}{2} - x ight) + \sin(10\pi + x) ightbrack^{2} + \left\lbrack \cos\left( \frac{3\pi}{2} - x ight) + \cos(8\pi - x) ightbrack^{2}$

$= \left( \cos x + \sin x ight)^{2} + \left( \cos x - \sin x ight)^{2}$

$= \cos x^{2} + 2\sin x\cos x + \sin^{2}x +\cos^{2}x - 2\sin x\cos x + \sin^{2}x = 2$
Câu 29: Thông hiểu
Xác định vị trí điểm M

Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa mãn $4\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}$ . Xác định vị trí điểm M.
- A.
  M là trung điểm AC.
- B.
  Điểm M trùng với điểm C.
- C.
  M là trung điểm AB.
- D.
  M là trung điểm A.
Ta có: ABCD là hình bình hành
=> $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$
Xét biểu thức:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} = 4\overrightarrow {AM} \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 4\overrightarrow {AM} \hfill \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AC} = 4\overrightarrow {AM} \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy M là trung điểm của AC.
Câu 30: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây là sai?

Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha > 0.$
- D.
  $\cot\alpha > 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai $ightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha < 0 \\ \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 31: Nhận biết
Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp

Cho $\Delta ABC$ có $S = 10\sqrt{3}$ , nửa chu vi $p = 10$ . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác trên là:
- A.
  $3.$
- B.
  $2.$
- C.
  $\sqrt{2}.$
- D.
  $\sqrt{3}\ .$
Ta có: $S = pr$ $\Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}.$
Câu 32: Vận dụng
Tính độ dài của vectơ

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác vuông $ABC$ với cạnh huyền $BC = 12.$ Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}$ .
- A.
  $\left| \overrightarrow{v} ight| = 2.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{v} ight| = 2\sqrt{3}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{v} ight| = 8.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{v} ight| = 4.$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$

Ta có $\left| \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight| = \left| 2\overrightarrow{GM} ight| = 2GM = 2.\frac{1}{3}AM = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}\left( \frac{1}{2}BC ight) = \frac{BC}{3} = 4.$
Câu 33: Thông hiểu
Tính độ dài tổng hai vecto

Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh là 6. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$ .
- A.
  $6\sqrt{2}$
- B.
  18
- C.
  12
- D.
  $6\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ . Vì tam giác $ABC$ đều có cạnh là 6, nên ta có $AI\bot BC$ .

Xét tam giác $AIB$ vuông tại $I$ , có

$AB^{2} = AI^{2} + IB^{2}$

$\Rightarrow AI^{2} = AB^{2} - IB^{2} = 6^{2} - 3^{2} = 27$ .

Suy ra $AI = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

Mặt khác ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |2\overrightarrow{AI}| = 2|\overrightarrow{AI}| = 2AI = 6\sqrt{3}$ .
Câu 34: Vận dụng cao
Tính bán kính đường tròn

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a.$ Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} \right| = \left| \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} \right|$ là đường tròn cố định có bán kính $R.$ Tính bán kính $R$ theo $a.$
- A.
  $r = \frac{a}{3}.$
- B.
  $r = \frac{a}{9}.$
- C.
  $r = \frac{a}{2}.$
- D.
  $r = \frac{a}{6}.$
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

Ta có $2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} = 2\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right) + 3\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right) + 4\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} \right).$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} \right) + \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$

Mà $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Rightarrow \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 3\ \overrightarrow{IG}.$

Khi đó $9\ \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG} = \overrightarrow{CA}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*).$

Do đó $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} \right| = \left| \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} \right|$

$\Leftrightarrow \left| 9\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 4\overrightarrow{IC} \right| = \left| \overrightarrow{AB} \right|$

$\Leftrightarrow 9MI = AB.$

Vì $I$ là điểm cố định thỏa mãn $(*)$ nên tập hợp các điểm $M$ cần tìm là đường tròn tâm $I,$ bán kính $r = \frac{AB}{9} = \frac{a}{9}.$
Câu 35: Vận dụng
Tính diện tích tam giác

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = AC = 30$ cm. Hai đường trung tuyến $BF$ và $CE$ cắt nhau tại $G$ . Diện tích tam giác $GFC$ bằng:
- A.
  $50\ cm^{2}$ .
- B.
  $50\sqrt{2}\ cm^{2}$ .
- C.
  $75\ cm^{2}$ .
- D.
  $15\sqrt{105}\ cm^{2}$ .
Vì $F$ là trung điểm của $AC \Rightarrow FC = \frac{1}{2}AC = 15\ \ cm.$

Đường thẳng $BF$ cắt $CE$ tại $G$ suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$

Khi đó $\frac{d\left( B;(AC) \right)}{d\left( G;(AC) \right)} = \frac{BF}{GF} = 3$

$\Rightarrow d\left( G;(AC) \right) = \frac{1}{3}d\left( B;(AC) \right) = \frac{AB}{3} = 10\ \ cm.$

Vậy diện tích tam giác $GFC$ là:

$S_{\Delta GFC} = \frac{1}{2}.d\left( G;(AC) \right).FC = \frac{1}{2}.10.15 = 75\ \ cm^{2}.$
Câu 36: Nhận biết

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O$ . Khi đó:

a) $\overrightarrow{OB}$ cùng phương với $\overrightarrow{CD}$ . Đúng||Sai

b) Có 4 vectơ khác vectơ không và bằng với $\overrightarrow{OA}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$ là 2 vectơ đối nhau. Sai||Đúng

d) Có 4 vectơ khác vectơ không và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{EF}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O$ . Khi đó:

a) $\overrightarrow{OB}$ cùng phương với $\overrightarrow{CD}$ . Đúng||Sai

b) Có 4 vectơ khác vectơ không và bằng với $\overrightarrow{OA}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$ là 2 vectơ đối nhau. Sai||Đúng

d) Có 4 vectơ khác vectơ không và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{EF}$ . Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng

Hai vectơ có giá song song với nhau.

b) Sai

Có 3 vectơ bằng với $\overrightarrow{OA}$ là : $\overrightarrow{EF};\overrightarrow{DO};\overrightarrow{CB}$ .

c) Sai

Độ dài $\overrightarrow{AD}$ bằng 2 lần độ dài $\overrightarrow{CB}$ .

d) Đúng

Có 4 vectơ khác vectơ không và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{EF}$ là $\overrightarrow{CB};\overrightarrow{DO};\overrightarrow{OA};\overrightarrow{DA}$ .
Câu 37: Thông hiểu
Tìm điều kiện chính xác

Cho bốn điểm phân biệt $A,\ B,\ C,\ D$ và không cùng nằm trên một đường thẳng. Điều kiện nào trong các đáp án A, B, C, D sau đây là điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ?
- A.
  $ABCD$ là hình bình hành.
- B.
  $ABDC$ là hình bình hành.
- C.
  $AC = BD.$
- D.
  $AB = CD.$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB \parallel CD \\ AB = CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ABDC$ là hình bình hành.

Mặt khác, $ABDC$ là hình bình hành $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB \parallel CD \\ AB = CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

Do đó, điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ là $ABDC$ là hình bình hành.
Câu 38: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Biểu thức: $f(x) = \cos^{4}x +\cos^{2}x.\sin^{2}x + \sin^{2}x$ có giá trị bằng:
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $- 2$ .
- D.
  $- 1$ .
Ta có:

$f(x) = \cos^{2}x\left( \cos^{2}x + \sin^{2}x\right) + \sin^{2}x = \cos^{2}x + \sin^{2}x = 1$ .
Câu 39: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm B

Cho $K(1; - 3)$ . Điểm $A \in Ox,B \in Oy$ sao cho $A$ là trung điểm $KB$ . Tìm tọa độ của điểm $B$ .
- A.
  $(0;3)$
- B.
  $\left( \frac{1}{3};0 ight)$
- C.
  $(0;2)$
- D.
  $(4;2)$
Ta có: $A \in Ox,B \in Oy$ nên $A(x;0),B(0;y)$ .

$A$ là trung điểm $KB$ nên $\left\{ \begin{matrix} x = \frac{1 + 0}{2} \\ 0 = \frac{- 3 + y}{2} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow ight.\ \left\{ \begin{matrix} x = \frac{1}{2} \\ y = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $B(0;3)$ .
Câu 40: Thông hiểu
Tính tích vô hướng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = 4\overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{b} = 3\overrightarrow{i} - 7\overrightarrow{j}.$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}.$
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 30.$
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.$
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 30.$
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 43.$
Ta có: $\overrightarrow{a} = 4\overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (4;6)$ và $\overrightarrow{b} = 3\overrightarrow{i} - 7\overrightarrow{j} \Rightarrow \overrightarrow{b} = (3; - 7)$

Vậy $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 4.3 + 6.( - 7) = - 30.$

Mua ngay Đổi điểm

Đổi điểm làm bài

Điểm khả dụng: 0 điểm

Bạn sẽ dùng 50 điểm để đổi lấy 1 lượt làm bài.

Bạn không đủ điểm để đổi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Điểm thưởng: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

31 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Chưa làm Đã làm

Làm lại Nộp bài

Tìm bài trong mục này

Chương 1: Mệnh đề toán học. Tập hợp
Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Chương 3: Hàm số và đồ thị
Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ
Đề thi học kì 1
Chương 5: Đại số tổ hợp
Đề thi giữa học kì 2
Chương 6: Một số yếu tố thống kê và xác suất
Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Đề thi học kì 2

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Đổi điểm làm bài

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đấu trường Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Đang tìm đối thủ...