Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Vì (P) đi qua hai điểm M(1;5) và N(−2;8) nên ta có hệ

. Vậy (P) : y = 2x² + x + 2.

Điều kiện: .

Ta có: .

.

Vậy phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.

Từ giả thiết hàm số đồng biến nên loại đáp án có đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Mặt khác cho x = 0 vào nên chọn đáp án đồ thị hàm số đi qua điểm .

Hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng .

Để hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng (1  ;  5) thì ta phải có .

Các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng (1; 5) là m = 1,  m = 2,  m = 3.

Tổng tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng (1; 5) là S = 1 + 2 + 3 = 6.

Ta có . Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số y = f(x) như sau:

Giữ nguyên đồ thị y = f(x) phía trên trục hoành.

Lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới ).

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y = |f(x)| như hình vẽ.

Phương trình |f(x)| = m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = |f(x)| và đường thẳng y = m (song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt  ⇔ 0 < m < 1.

 Để thì .

Đặt t = x²    (t≥0).

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: t² − 2t + 3 − m = 0. (*)

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm không âm.

Phương trình (*) vô nghiệm khi và chỉ khi Δ′ < 0 ⇔ m − 2 < 0 ⇔ m < 2.

Phương trình (*) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi .

Do đó, phương trình (*) có nghiệm không âm khi và chỉ khi m ≥  − 2.

ĐKXĐ: x³ + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥  − 1.

Phương trình

Đặt , a ≥ 0,  b ≥ 0

Suy ra a² + b² = x² + 2 khi đó

Phương trình trở thành

Với 3a = b ta có

(thỏa mãn điều kiện)

Với a = 3b ta có

 ⇔ 9x² − 10x + 8 = 0 (phương trình vô nghiệm).

Vậy phương trình có nghiệm là .

Ta có 9 − x² ≥ 0 ⇔ (3−x)(3+x) ≥ 0 ⇔  − 3 ≤ x ≤ 3.

Hàm số xác định khi và chỉ khi

. Vậy x ∈ [ − 3; 3] ∖ {2}.

Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.

Xét phương trình:

Điều kiện: .

Vậy phương trình vô nghiệm.

Nhận xét:

Parabol có bề lõm hướng lên.

Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm. Xét các đáp án, đáp án y = 3x² + 6x + 1 thỏa mãn.

   .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt  ⇔ 1 ≤ a < 4.

; .

.

Phương trình chỉ có nghiệm nên tổng các nghiệm bằng .

Ta có x² − 5x + 7 + 2m = 0 ⇔ x² − 5x + 7 =  − 2m. (*)

Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) : x² − 5x + 7 và đường thẳng y =  − 2m (song song hoặc trùng với trục hoành).

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = x² − 5x + 7 trên [1; 5] như sau:

Dựa vào bảng biến ta thấy x ∈ [1; 5] thì .

Do đo để phương trình (*) có nghiệm

Biểu thức luôn dương

Hàm số y = ax + b với a ≠ 0 nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0.

Xét

+) (không thỏa mãn yêu cầu bài toán)

+) (không thỏa mãn)

Xét

Do đỉnh của (P) là S(−1;−2) suy ra .

 Ta có: .

Thử lại thấy không thỏa mãn. Do đó .

Đkxđ: .

.

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ [1; 2].

 Ta có: và .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là .

Do đó, .

Đỉnh Parabol là .

Do đó chỉ có đáp án y = 2x² + 4x + 5 thỏa mãn.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án Dương với mọi .

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 5 − 4x − x² ≥ 0 ⇔ x ∈ [− 5; 1].

Vậy giá trị nguyên dương lớn nhất của xđể hàm số xác định là x = 1.

Hệ số bề lõm hướng xuống.

Ta có và y(1) = 3. Do đó chọn .

Bất phương trình bậc hai một ẩn là: 

Gọi tọa độ đỉnh của parabol là điểm

Hàm số bậc hai có:

=>

 Nhận xét: Từ bảng biến thiên ta suy ra đỉnh .

Chỉ có hàm số thỏa mãn tọa độ đỉnh này khi thay vào.

+ Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Xét hệ: .

+ M ∈ d₃ nên ta có: 5 = (3−2m).3 + 2 ⇔ 5 = 9 − 6m + 2 ⇔ 6m = 6 ⇔ m = 1.

.

Ta có: MN = 5 ⇒ MN² = (−1−t)² + (2+t)² = 25

 ⇔ 2t² + 6t − 20 = 0

 ⇒ M(−5;6) ⇒ a − b =  − 11

.

Vậy S = {2;4}.

Đặt . Phương trình đã cho trở thành:

Ta được thuộc [1 ; 2).

Ta có a = 1 > 0, b =  − 2, c = 3 nên hàm số có đỉnh là I(1;2). Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;+∞).

Ta có:

Khẳng định sai là: 

Hàm số y = 3x + 5 có hệ số a = 3 > 0 nên đồng biến trên ℝ, suy ra chọn đáp án Hàm số nghịch biến trên ℝ.

Điều kiện

Phương trình tương đương:

Do

Vậy phương trình vô nghiệm.

ĐK

.