Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Điều kiện xác định của hàm số là:

=> Tập xác định của hàm số là:

y = 3x + 1 có a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến trên TXĐ.

Vì (P) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 nên điểm A(2;0) thuộc (P). Thay vào (P), ta được 0 = 4a + 6 − 2 ⇔ a =  − 1.

Vậy (P) : y =  − x² + 3x − 2.

ĐK: x ≥ 0.

Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình.

Xét x ≠ 0. Khi đó phương trình tương đương với

Đặt

Suy ra . Phương trình trở thành:

5t = 2(t²−1) + 4 ⇔ 2t² − 5t + 2 = 0 ⇔ t = 2 (thỏa mãn) hoặc (loại)
Với t = 2 ta có (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là .

Tổng các nghiệm của phương trình bằng 3.

Ta có :

Với mọi x₁, x₂ ∈ (1;+∞) và x₁ < x₂. Ta có

Suy ra đồng biến trên (1;+∞).

Gọi tọa độ đỉnh của parabol là điểm

Hàm số bậc hai có:

=>

Đặt f(x) = x² − (m−1)x + m + 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi:

Theo Viet, ta có .

Yêu cầu bài toán

.

Kết hợp điều kiện ta được m ∈ (−∞;−2) ∪ (−2;−1).

 Điều kiện xác định: . Suy ra .

 Điều kiện: .

Ta có: . Loại .

Vậy .

.

Vậy phương trình có một nghiệm nguyên dương.

Đặt . Khi đó ta có phương trình: . (1)

Với thì (Loại)

Với để phương trình ban đầu vô nghiệm thì:

TH1: (1) vô nghiệm .

TH2: (1) có 2 nghiệm âm

Kết hợp 2 trường hợp, ta được .

Điều kiện xác định: . Vậy tập xác định: D = [ − 1;  + ∞) ∖ {0}.

Điều kiện:

Với điều kiện trên, phương trình tương đương

 ⇔ x² − 3x + 1 = 0

hoặc

Theo yêu cầu đề bài ta chọn nghiệm .

Vậy a = 3, b = 5, c = 2 nên S = a + b + c = 10.

*a = 0thì bpt trở thành  − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0. Suy ra a = 0không thỏa ycbt.

* a ≠ 0 thì .

Điều kiện: .Ta có

( vì x + 3 > 0 )

 ⇔ x = 2.

Trục đối xứng x = 2. Ta có a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Đồ thị hàm số bậc hai là một đường parabol có đỉnh là điểm , có trục đối xứng là đường thẳng . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu .

Hàm số  có

=> Đồ thị hàm số có bề lõm quay lên.

Bất phương trình bậc hai một ẩn là: 

hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Phương trình Parabol (P) có dạng y = ax² + bx + c.

Parabol (P)đi qua điểm A(0;0), B(162;0), M(10;43) nên ta có

.

Do đó chiều cao của cổng là m.

f(x) = x² − 2(2m−3)x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈ ℝ⇔Δ < 0 ⇔ 4m² − 16m + 12 < 0 ⇔ 1 < m < 3.

Ta có đáp án  có:

Vậy x = 1 là trục đối xứng của đồ thị hàm số .

Điều kiện:

Phương trình tương đương

Kết hợp với điều kiện ta có: thỏa mãn 

Vậy phương trình có nghiệm là .

.

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

 Điều kiện: .

Ta có: .

Thử lại không thỏa mãn.

Vậy

Nhìn vào đồ thị hàm số ta có:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm M(1; 0), N(3; 0) ⇒ MN = 2 . Suy ra Đồ thị hàm số cắt trục hoành theo một dây cung có độ dài bằng 2là đúng.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ [2; 3].

 Vì hàm số bậc hai có đỉnh nên:

và .

Suy ra .

 Để thì .

Ta có (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1: Khi x = 0 thì y = 1 ⇒ c = 1.

(P)có giá trị nhỏ nhất bằng khi nên:

⇔ .

Vậy (P): y = x² − x + 1.

Nhận xét:

Bảng biến thiên có bề lõm hướng xuống. Loại đáp án y = 2x² + 2x − 1 và y = 2x² + 2x + 2.

Đỉnh của parabol có tọa độ là . Xét các đáp án, y =  − 2x² − 2x + 1 thỏa mãn.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án

Gọi x là số x00 m2 đất trồng đậu, y là số y00 m2 đất trồng cà. Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0.

Số tiền thu được là T = 3x + 4y triệu đồng.

Theo bài ra ta có

Đồ thị:

Dựa đồ thị ta có tọa độ các đỉnh A(0;6), B(6;2), C(8;0), O(0;0).

Thay vào T = 3x + 4y ta được T_max = 26 triệu khi trồng 600m2 đậu và 200 m2 cà.

Điều kiện:

Phương trình tương đương:

Kết hợp điều kiện ta được: thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm.

Hàm số xác định . Vậy D = ℝ ∖ {0;4}.

Điều kiện xác định của hàm số là:

=> Tập xác định của hàm số là: 

Hàm số y = ax² + bx + c(a≠0) đạt giá trị lớn nhất bằng tại nên ta có và điểm thuộc đồ thị

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình y = 0. Theo giả thiết: x₁³ + x₂³ = 9

.

Từ đó ta có hệ

TH1. x₀ ≤  − 3: Với f(x₀) = 5 ⇔  − 2x₀ + 1 = 5 ⇔ x₀ =  − 2 (Loại).

TH2. x₀ >  − 3: Với (thỏa mãn).

Parabol có hệ số theo x² là 4 > 0 nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh .

• Nếu thì x_I <  − 2 < 0 . Suy ra f(x) đồng biến trên đoạn [ − 2; 0].

Do đó min_{[ − 2; 0]}f(x) = f(−2) = m² + 6m + 16.

Theo yêu cầu bài toán: m² + 6m + 16 = 3 (vô nghiệm).

• Nếu thì x_I ∈ [0; 2]. Suy ra f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.

Do đó .

Theo yêu cầu bài toán (thỏa mãn  − 4 ≤ m ≤ 0).

• Nếu thì x_I > 0 >  − 2. Suy ra f(x) nghịch biến trên đoạn [ − 2; 0].

Do đó min_{[ − 2; 0]}f(x) = f(0) = m² − 2m.

Theo yêu cầu bài toán:

Vậy

Tam thức đổi dấu 2 lần khi tam thức có 2 nghiệm pb

⇔ Δ > 0 ⇔ m² − 28m > 0 ⇔ m < 0 ∨ m > 28.

 Ta có: .

Vậy .