Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Vì (P) đi qua ba điểm A(1;1), B(−1;−3), O(0;0) nên có hệ

.

Vậy (P) : y =  − x² + 2x.

Trục đối xứng của parabol y = ax² + bx + c là đường thẳng .

Trục đối xứng của parabol y =  − x² + 5x + 3 là đường thẳng .

ĐKXĐ: .

Thay x = 1 vào , ta được: .

Vậy phương trình vô nghiệm.

Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.

Ta thấy x =  − 3 không là nghiệm của phương trình.

Xét x ≠  − 3, phương trình

Phương trình (*)

(thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và .

ĐKXĐ: x >  − 1

pt ⇔ 3mx + 1 + x + 1 = 2x + 5m + 3 ⇔ (3m−1)x = 5m + 1.

Phương trình đã cho có nghiệm .

Ta có 9 − x² ≥ 0 ⇔ (3−x)(3+x) ≥ 0 ⇔  − 3 ≤ x ≤ 3.

Hàm số xác định khi và chỉ khi

. Vậy x ∈ [ − 3; 3] ∖ {2}.

.

Vậy phương trình có một nghiệm.

* Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì f(x) = 3x² + 2x − 5 là tam thức bậc hai.

Điều kiện:

Phương trình tương đương:

Kết hợp điều kiện ta được: thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm.

 Thay tọa độ và vào hàm số, ta được:

.

Vậy đó là hàm số .

Hàm số y = ax² + bx + c với a < 0 nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;2). Do đó Hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;4) sai. Chọn đáp án này.

Đáp án Trên khoảng (−∞;−1) hàm số đồng biến đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2) thì đồng biến trên khoảng con (−∞;−1).

Đáp án Trên khoảng (3;+∞) hàm số nghịch biến đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) thì nghịch biến trên khoảng con (3;+∞).

Hàm số xác đinh khi và chỉ khi .

• Xét m² − 4 = 0 ⇔ m =  ± 2

Với m =  − 2, bất phương trình trở thành : không thỏa mãn.

Với m = 2, bất phương trình trở thành 1 < 0: vô nghiệm. Do đó m = 2 thỏa mãn.

• Xét m ≠  ± 2. Yêu cầu bài toán

 ⇔ (m²−4)x² + (m−2)x + 1 ≥ 0,  ∀x ∈ ℝ

Kết hợp hai trường hợp, ta được hoặc m ≥ 2.

Nhìn đồ thị, ta thấy đồ thị y = f(x) cắt trục hoành tại 2 điểm x = 1, x = 3 nên Δ > 0, dựa vào hình dạng parabol nên suy ra a < 0 và ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) < 0 khi x < 1 ∨ x > 3. Mà 2017 > 3 nên f(2017) < 0.

Ta có:

Vậy khẳng định đúng là .

Ta có : .

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (−∞;−5) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra đồng biến trên (−∞;−5).

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (−5;+∞) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra đồng biến trên (−5;+∞).

Chọn Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;−5) và (−5;+∞).

 Để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ

.

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

y = 3x + 1 có a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến trên TXĐ.

Gọi A và B là hai giao điểm cuả (P) với trục Ox có hoành độ lần lượt là  − 1 và 2. Suy ra A(−1;0), B(2;0).

Gọi C là giao điểm của (P) với trục Oy có tung độ bằng  − 2. Suy ra C(0;−2).

Theo giả thiết, (P) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có:

.

Vậy (P) : y = x² − x − 2.

Gọi tọa độ đỉnh của parabol là điểm

Hàm số bậc hai có:

=>

Hàm số có nghĩa khi

 ⇔ x ∈ [ − 1; 3) ∖ {2}.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ [2; 3].

ĐK x ∈ [ − 2; 5] Đặt ,t ≥ 0.

Phương trình trở thành

 ⇒ x₁² + x₂² = 11.

Điều kiện: .

Thay vào phương trình ta được hay là nghiệm của phương trình.

Hàm số có các hệ số a = 1, b = ‒2, c = 1 nên có tọa độ đỉnh

Từ đồ thị hàm số ta suy ra đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ:

Ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có phương trình có 4 nghiệm, phương trình đã cho có 8 nghiệm khi phương trình có 4 nghiệm và

Suy ra

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Điều kiện xác định: .

Vậy .

 Ta có: .

Đặt . Ta có hệ phương trình:

Với t =  − x ta được

Với t = x − 1 ta được

Vậy phương trình có 2 nghiệm x =  − 2 và .

Tập xác định của hàm số

Ta có:

Ta vẽ đồ thị y = 2x + 3 với

Ta có bảng sau:

Suy ra đồ thị hàm số y = f(x) = 2x + 3 với là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm và B(0; 3).

Ta có đồ thị như sau:

Tương tự ta có đồ thị hàm số y = f(x) = - 2x - 3 với là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm C(-2; 1) và D(-3; 3).

Kết hợp 2 đồ thị ta có đồ thị hàm số y = |2x + 3| là phần đồ thị nét liền nằm trên trục Ox.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

mx = x² − x + 1 ⇔ x² − (m+1)x + 1 = 0

Vì hoành độ giao điểm x_A, x_B là hai nghiệm của phương trình nên ta có tọa độ trung điểm I là

.

 Khi thì luôn cùng dấu với hệ số . Do đó nó không đổi dấu.

Nhìn đồ thị, ta thấy đồ thị y = f(x) cắt trục hoành tại 2 điểm x = 1, x = 4 nên Δ > 0, dựa vào hình dạng parabol nên suy a > 0

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án Dương với mọi .

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là x² − 4x + 3 = mx + 3

.

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,  B khi và chỉ khi 4 + m ≠ 0 ⇔ m ≠  − 4.

Với .

Với .

Gọi H là hình chiếu của B lên OA. Suy ra BH = |x_B| = |4+m|.

Theo giả thiết bài toán, ta có

.

Hàm số y = 3x + 5 có hệ số a = 3 > 0 nên đồng biến trên ℝ, suy ra chọn đáp án Hàm số nghịch biến trên ℝ.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với d là x³ − 6x² + 9x = mx

Để (P) cắt d tại ba điểm phân biệt khi và chỉ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

.

 Điều kiện: .

Ta có: .

Loại . Do đó phương trình có 1 nghiệm.