Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Đặt t = x² − 3x + 3, ta có: .

Do đó điều kiện cho ẩn phụ t là .

Khi đó phương trình trở thành:

⇔

⇔  ⇔ t = 1(thỏa mãn)

 ⇒ x² − 3x + 3 = 1⇔ .

Giả sử Parabol có dạng: y = ax² + bx + c, a ≠ 0.

hệ trục Oxy như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm A(100;  30), và có đỉnh C(0; 5). Đoạn AB chia làm 8 phần, mỗi phần 25 m.

Suy ra: .

Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo bằng OC + 2y₁ + 2y₂ + 2y₃

 = 78, 75 (m).

.

Vậy phương trình có hai nghiệm.

+ Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Xét hệ: .

+ M ∈ d₃ nên ta có: 5 = (3−2m).3 + 2 ⇔ 5 = 9 − 6m + 2 ⇔ 6m = 6 ⇔ m = 1.

Dựa vào bảng xét dấu, chọn đáp án Âm với mọi .

Nhận xét:

Parabol có bề lõm hướng xuống.

Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm (3;0) và (−1;0). Xét các đáp án, đáp án thỏa mãn.

Nhìn đồ thị, ta thấy đồ thị y = f(x) cắt trục hoành tại 2 điểm x = 1, x = 3 nên Δ > 0, dựa vào hình dạng parabol nên suy ra a < 0 và ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) < 0 khi x < 1 ∨ x > 3. Mà 2017 > 3 nên f(2017) < 0.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án

Để biểu thức trên là tam thức bậc hai thì .

Để tam thức bậc hai đổi dấu 2 lần trên thì .

Ta có: . Suy ra .

Kết hợp điều kiện ở trên, suy ra .

Ta có:

ĐKXĐ: x ≥ 0

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Xét x > 0, phương trình

Đặt

Phương trình trở thành

• Với t = 1 ta có (thỏa mãn)

• Với t = 2 ta có (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là và x = 1.

Tổng các nghiệm của phương trình là .

Điều kiện: .Ta có

( vì x + 3 > 0 )

 ⇔ x = 2.

y = 3x + 1 có a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến trên TXĐ.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án Dương với mọi .

 Thay tọa độ và vào hàm số, ta được:

.

Vậy đó là hàm số .

Hệ số góc a = 2018.

 Ta có: .

Hàm số y = ax² + bx + c với a > 0 đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1) và đồng biến trên khoảng (−1;+∞).

.

Điều kiện xác định: . Vậy tập xác định: D = [ − 1;  + ∞) ∖ {0}.

Ta có: . 

Thử lại thấy không thỏa mãn.

Vậy .

Hàm số có dạng y = ax + b, nên để hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi . Mặt khác do m ∈ ℤ nên m ∈ {−1;  0;  1;  2}. Vậy có 4 giá trị nguyên của m.

Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.

Gọi A và B là hai giao điểm cuả (P) với trục Ox có hoành độ lần lượt là  − 1 và 2. Suy ra A(−1;0), B(2;0).

Gọi C là giao điểm của (P) với trục Oy có tung độ bằng  − 2. Suy ra C(0;−2).

Theo giả thiết, (P) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có:

.

Vậy (P) : y = x² − x − 2.

Điều kiện: .

Ta có: .

.

Vậy phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

mx = x² − x + 1 ⇔ x² − (m+1)x + 1 = 0

Vì hoành độ giao điểm x_A, x_B là hai nghiệm của phương trình nên ta có tọa độ trung điểm I là

.

.

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

 Thay tọa độ vào hàm số ta được: . Do đó điểm này không thuộc đồ thị hàm số.

Đỉnh Parabol là .

Do đó chỉ có đáp án y = 2x² + 4x + 5 thỏa mãn.

Gọi tọa độ đỉnh của parabol là điểm

Hàm số bậc hai có:

=>

Biểu thức f(x) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ khi và chỉ khi:

Gọi: A, B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 2m + 1 với trục hoành và trục tung

Suy ra A(2m−1; 0); B(0; 1−2m).

Theo giả thiết thì tam giác có diện tích bằng là tam giác OAB vuông tại O.

Do đó:

 ⇔ OA.OB = 25 ⇔ |2m−1|.|1−2m| = 25

 ⇔ |2m−1|.|2m−1| = 25

 ⇔ (2m−1)² = 25

.

Nếu quãng đường đi được nhỏ hơn 0,7km thì số tiền phải trả là .

Nếu quãng đường đi trên 0,7km thì số tiền phải trả là:

(đồng)

Vậy mối liên hệ giữa y và x là: .

Ta có:

Vậy tập nghiệm phương trình là:

* Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì f(x) = 3x² + 2x − 5 là tam thức bậc hai.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì ta phải có khi đó:

.

Các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng là

Tổng tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .

.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là .

Cách 1: Do  x² + 1 > 0; ∀x ∈ ℝ nên hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ

Gọi y₀ là giá trị tùy ý, ta có phương trình:

 ⇔ (3−y₀)x² + 2x + 3 − y₀ = 0(1)

+ Nếu y₀ = 3 thì phương trình (1)trở thành: 2x = 0 ⇔ x = 0.

Vậy phương trình (1)có nghiệm y₀ = 3(*).

+ Nếu y₀ ≠ 3 thì phương trình (1)là phương trình bậc hai, nên nó có nghiệm khi và chỉ khi

Δ′ = 1² − (3−y₀)² ≥ 0

 ⇔  − y₀² + 6y₀ − 8 ≥ 0

 ⇔ 2 ≤ y₀ ≤ 4.

Vậy phương trình (1)có nghiệm .

+ Kết hợp (*), (**) thì phương trình (1)có nghiệm  ⇔ 2 ≤ y₀ ≤ 4.

Vậy: Miền giá trị của hàm số là [2; 4].

Cách 2: Ta có

Suy ra GTNN của A = 2 khi và chỉ khi x =  − 1.

Mặt khác

Suy ra GTLN của A = 4 khi và chỉ khi x = 1.

Vậy miền giá trị của hàm số là [2; 4].

Vì (P) đi qua ba điểm A(1;1), B(−1;−3), O(0;0) nên có hệ

.

Vậy (P) : y =  − x² + 2x.

 Điều kiện: .

Ta có: . Loại .

Vậy .