Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

 Nhận xét: Từ bảng biến thiên ta suy ra đỉnh .

Chỉ có hàm số thỏa mãn tọa độ đỉnh này khi thay vào.

ĐK x > 2

.

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất .

 Vì hàm số bậc hai có đỉnh nên:

và .

Suy ra .

+ Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Xét hệ: .

+ M ∈ d₃ nên ta có: 5 = (3−2m).3 + 2 ⇔ 5 = 9 − 6m + 2 ⇔ 6m = 6 ⇔ m = 1.

Tam thức đổi dấu 2 lần khi tam thức có 2 nghiệm pb

⇔ Δ > 0 ⇔ m² − 28m > 0 ⇔ m < 0 ∨ m > 28.

+ Có a = 3; b =  − 2; c = 4.

+ Trục đối xứng của parabol là .

Điều kiện: .

Thay vào phương trình ta được hay là nghiệm của phương trình.

Tại t = 0 ta có y = h = 1, 2; tại t = 1 ta có y = h = 8, 5; tại t = 2, ta có y = h = 6.

hệ trục Oth như hình vẽ.

Parabol (P) có phương trình: y = at² + bt + c, với a ≠ 0.

Giả sử tại thời điểm t′ thì quả bóng đạt độ cao lớn nhất h′.

Theo bài ra ta có: tại t = 0 thì h = 1, 2 nên A(0;  1,2) ∈ (P).

Tại t = 1 thì h = 8, 5 nên B(1;  8,5) ∈ (P).

Tại t = 2 thì h = 6 nên C(2;  6) ∈ (P).

Vậy ta có hệ: .

Vậy hàm số Parabol cần tìm có dạng: y =  − 4, 9t² + 12, 2t + 1, 2.

Vì (P) đi qua hai điểm M(1;5) và N(−2;8) nên ta có hệ

. Vậy (P) : y = 2x² + x + 2.

Điều kiện xác định của hàm số là:

=> Tập xác định của hàm số là:

Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt là:

Vì a = 1 > 0 nên khi .

Tập không phải tập con của S là: 

Ta có

Trục đối xứng

Vậy (P) : y = 2x² − 4x + 4.

 Để bất phương trình với mọi x ∈ ℝ thì:

Cường độ lực tại C bằng cường độ lực tại A và bằng 10  N.

Cường độ lực tại B bằng (định lý Pyago cho tam giác vuông cân).

Điều kiện xác định của phương trình là x ≥  − 3.

Phương trình tương đương với .

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Điều kiện xác định của hàm số là:

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là

Điều kiện: 8 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4. Vậy D = ( − ∞; 4].

ĐK

.

 Điều kiện: .

Ta có: .

Loại . Do đó phương trình có 1 nghiệm.

ĐKXĐ: x > 0.

Phương trình tương đương với

.

Đặt

Phương trình trở thành:

Với ta có

Với ta có

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và .

Đường thẳng (d) tạo với trục hoành và trục tung một tam giác OAB là tam giác vuông cân ⇔ đường thẳng (d) tạo với chiều dương trục hoành bằng 45^∘ hoặc 135^∘⇔ hệ số góc tạo của (d) bằng 1 hoặc

.

Thử lại: m = 5 thì d không đi qua O.

Vậy có duy nhất một giá trị m = 5 nguyên dương thỏa ycbt.

Vì (P) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 nên điểm A(2;0) thuộc (P). Thay vào (P), ta được 0 = 4a + 6 − 2 ⇔ a =  − 1.

Vậy (P) : y =  − x² + 3x − 2.

 Điều kiện xác định: . Suy ra .

Ta có:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 

 Ta có: .

Vậy .

• Xét m² − 4 = 0 ⇔ m =  ± 2

Với m =  − 2, bất phương trình trở thành : không thỏa mãn.

Với m = 2, bất phương trình trở thành 1 < 0: vô nghiệm. Do đó m = 2 thỏa mãn.

• Xét m ≠  ± 2. Yêu cầu bài toán

 ⇔ (m²−4)x² + (m−2)x + 1 ≥ 0,  ∀x ∈ ℝ

Kết hợp hai trường hợp, ta được hoặc m ≥ 2.

Tập xác định

Với

Hàm số đã cho là hàm số lẻ khi đó:

Vậy

VD

1

Đồ thị hàm số bậc hai là một đường parabol có đỉnh là điểm , có trục đối xứng là đường thẳng . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu .

Hàm số  có

=> Đồ thị hàm số có bề lõm quay lên.

Thử lần lượt từng phương án với chú ý về điều kiện ta được:

f(0) = 2.0 + 1 = 1 ≠  − 3, đồ thị không đi qua điểm (0; −3).

f(3) =  − 3 ≠ 7, đồ thị không đi qua điểm (3; 7).

f(2) = 2.2 + 1 = 5 ≠  − 3, đồ thị không đi qua điểm (2; −3).

f(0) = 2.0 + 1 = 1, đồ thị đi qua điểm (0; 1).

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với d là x³ − 6x² + 9x = mx

Để (P) cắt d tại ba điểm phân biệt khi và chỉ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp ánx ∈ [1; 2] .

 Ta có: và .

Phương trình có hai nghiệm .

Do đó (5 giá trị).

Điều kiện xác định của phương trình x ≥ 4.

Phương trình tương đương với .

Kết hợp điều kiện suy ra .

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Trên khoảng (0;2) đồ thị hàm số đi ngang từ trái sang phải

Hàm số không đổi trên khoảng (0;2).

Trên khoảng (2;3) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải

Hàm số đồng biến trên khoảng (2;3).

Chọn đáp án Hàm số đồng biến trên khoảng (2;3).

Điều kiện xác định: . Vậy tập xác định: D = [ − 1;  + ∞) ∖ {0}.

.

Vậy phương trình vô nghiệm.

ĐKXĐ: x³ + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥  − 1.

Phương trình

Đặt , a ≥ 0,  b ≥ 0

Suy ra a² + b² = x² + 2 khi đó

Phương trình trở thành

Với 3a = b ta có

(thỏa mãn điều kiện)

Với a = 3b ta có

 ⇔ 9x² − 10x + 8 = 0 (phương trình vô nghiệm).

Vậy phương trình có nghiệm là .

 Ta có: . Suy ra .

Nhận xét: không thuộc .

Hàm số y = ax² + bx + c với a > 0 đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1) và đồng biến trên khoảng (−1;+∞).

 Để biểu thức là tam thức bậc hai ta có: