Tổng và hiệu của hai vectơ
Cho hai vectơ 
\(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\). Lấy một điểm \(A\) rồi xác định các điểm \(B,C\) sao cho \(\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {a},\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {b}\). Khi đó vectơ \(\overrightarrow {AC}\) được gọi là tổng của hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\).
- Kí hiệu: \(\overrightarrow {AC}=\overrightarrow a+\overrightarrow b\).
- Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
Tính chất:
- Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a+\overrightarrow b=\overrightarrow b+\overrightarrow a .\)
- Tính chất kết hợp: \((\overrightarrow a+\overrightarrow b)+\overrightarrow c=\overrightarrow a+(\overrightarrow b+\overrightarrow c) .\)
- Tính chất của vectơ - không: \(\overrightarrow a +\overrightarrow 0=\overrightarrow a .\)
Các quy tắc quan trọng
- Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì \(A,B,C\) ta có: \(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}\).
- Quy tắc hình bình hành: Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì ta có: \(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AC}\).
Ghi nhớ
- Nếu \(M\) là trung điểm \(AB\) thì \(\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}=\overrightarrow 0\).
- Nếu \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì \(\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow 0\).
Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật \(ABCD\) với \(AB=a,AD=2a\).
a) Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}\).
b) Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {DC}+\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {AB}\).
Hướng dẫn giải
a) Áp dụng quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AC}\) nên \(\left | \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD} \right | =\left | \overrightarrow {AC} \right |\).
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác \(ABC\), ta có: \(AC=a\sqrt5\).
Vậy \(\left | \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD} \right | =\left | \overrightarrow {AC} \right |=a\sqrt5\).
b) Áp dụng quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {DC}+\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {AB}=(\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {DC})+\overrightarrow {AB}\)\(=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AB} =\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {AC}\).
Do đó: \(\left | \overrightarrow {DC}+\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {AB} \right | =\left | \overrightarrow {AC} \right | =a\sqrt5\).
Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(1\). Tính \(\left | \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC} \right |\).
Hướng dẫn giải
Lấy \(D\) là điểm thỏa mãn tứ giác \(ABDC\) là hình bình hành. Vì \(AB=AC\) nên suy ra \(ABDC\) là hình thoi. Gọi tâm hình thoi là \(O\).
Áp dụng quy tắc hình bình hành: \(\left | \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC} \right | =\left | \overrightarrow {AD} \right | =AD=2AO .\)
Xét tam giác vuông \(AOB\), ta có: \(AO^2=AB^2-BO^2 \Leftrightarrow AO^2=1^2-(\frac12)^2\)\(\Leftrightarrow AO=\frac{\sqrt3}2 .\)
Suy ra: \(\left | \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC} \right | =\left | \overrightarrow {AD} \right | =AD\)\(=2AO=\frac{\sqrt3}2.2=\sqrt3 .\)
2. Hiệu của hai vectơ
- Hiệu hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\), kí hiệu là \(\overrightarrow a - \overrightarrow b\), là tổng của vectơ \(\overrightarrow a\) và vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow b\), tức là \(\overrightarrow a - \overrightarrow b=\overrightarrow a+ (-\overrightarrow b) .\)
- Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.
Quy tắc về hiệu vectơ
- Nếu \(\overrightarrow {MN}\) là một vectơ đã cho thì với điểm \(O\) bất kì, ta luôn có: \(\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {ON}-\overrightarrow {OM} .\)
Ví dụ: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=1,AC=2\). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}\).
Hướng dẫn giải
Áp dụng quy tắc hiệu của hai vectơ: \(\left | \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC} \right | =\left | \overrightarrow {CB} \right | =CB .\)
Áp dụng định lý Py-ta-go: \(BC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\).
Vậy \(\left | \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC} \right | =\left | \overrightarrow {CB} \right | =CB =\sqrt5 .\)
