Xác suất của biến cố
Trong nhiều bài toán, để tính số phần tử của không gian mẫu và các biến cố, ta thường sử dụng các quy tắc đếm, các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
Ví dụ: Một hộp có 12 viên trong đó có 3 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh, 5 viên bi vàng. Một người lấy ngẫy nhiên 4 viên bi từ trong hộp.
a) Tính xác suất để 4 viên bi đều là màu vàng.
b) Tính xác suất để 4 viên bi chỉ có một màu duy nhất.
c) Tính xác suất để 4 viên bi có đủ ba màu.
Hướng dẫn giải
Chọn 4 viên bi ngẫu nhiên từ 12 viên bi có 
\(C_{12}^4=495\) (cách). Suy ra \(n(\Omega)=495\).
a) Gọi \(A\) là biến cố "4 viên bi lấy được đều là màu vàng".
Chọn 4 viên bi vàng từ 5 viên bi vàng có \(C_5^4=5\) (cách). Suy ra \(n(A)=5\).
Vậy \(P(A)=\frac5{495}=\frac1{99}\).
b) Gọi \(B\) là biến cố "4 viên bi lấy được chỉ có một màu duy nhất".
Trường hợp 1: 4 viên bi lấy được đều là màu xanh.
Chọn 4 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh có \(C_4^4=1\) (cách).
Trường hợp 2: 4 viên bi lấy được đều là màu vàng.
Chọn 4 viên bi vàng từ 5 viên bi vàng có \(C_5^4=5\) (cách).
Do đó, áp dụng quy tắc cộng: \(n(B)=1+5=6\).
Vậy \(P(B)=\frac 6{495}=\frac2{165}\).
c) Gọi \(C\) là biến cố "4 viên bi lấy được có đủ cả ba màu".
Trường hợp 1: 2 viên đỏ, 1 viên xanh, 1 viên vàng
Lấy 2 viên đỏ từ 3 viên đỏ, 1 viên xanh từ 4 viên xanh, 1 viên vàng từ 5 viên vàng có:
\(C_3^2.C_4^1.C_5^1=60\) (cách).
Trường hợp 2: 1 viên đỏ, 2 viên xanh, 1 viên vàng
Lấy 1 viên đỏ từ 3 viên đỏ, 2 viên xanh từ 4 viên xanh, 1 viên vàng từ 5 viên vàng có:
\(C_3^1.C_4^2.C_5^1=90\) (cách).
Trường hợp 3: 1 viên đỏ, 1 viên xanh, 2 viên vàng
Lấy 1 viên đỏ từ 3 viên đỏ, 1 viên xanh từ 4 viên xanh, 2 viên vàng từ 5 viên vàng có:
\(C_3^1.C_4^1.C_5^2=120\) (cách).
Do đó, áp dụng quy tắc cộng, \(n(C)= 60+90+120=270\) (cách).
Vậy \(P(C)=\frac{270}{495}=\frac 6{11}\).
2. Sơ đồ hình cây
Trong một số bài toán, phép thử \(T\) được hình thành từ một vài phép thử, chẳng hạn: gieo xúc sắc liên tiếp bốn lần; lấy ba viên bi, mỗi viên một hộp;... Khi đó ta sử dụng sơ đồ hình cây để có thể mô tả đầy đủ, trực quan không gian mẫu và biến cố cần tính xác suất.
Ví dụ: Có hai chiếc hộp chứa các chiếc tất cùng kiểu dáng nhưng khác màu. Hộp I có 3 chiếc: một chiếc màu đỏ, một chiếc màu vàng, một chiếc màu xanh. Hộp II có 4 chiếc: một chiếc màu đỏ, một chiếc màu vàng, một chiếc màu xanh, một chiếc màu tím. Một người lấy ngẫu nhiên từ hai hộp mỗi hộp một chiếc tất.
a) Vẽ sơ đồ hình cây để mô tả các phần tử của không gian mẫu.
b) Tính xác suất để 2 chiếc tất lấy ra khác màu.
Hướng dẫn giải
a) Kí hiệu \(D, V, X, T\) tương ứng với tất đỏ, tất vàng, tất xanh, tất tím.
Các kết quả có thể là \(DD; DV; DX; DT; VD; VV; VX; VT; XD; XV; XX; XT\).
Do đó \(n(\Omega)=12\).
b) Gọi \(A\) là biến cố "hai chiếc tất lấy ra khác màu".
Ta có: \(A=\{ DV; DX; DT; VD; VX; VT; XD; XV; XT\}\).
Do đó \(n(A)=9\).
Vậy \(P(A)=\frac9{12}=\frac34\).
3. Xác suất của biến cố đối
Cho \(E\) là một biến cố. Xác suất của biến cố đối \(\overline E\) liên hệ với xác suất của biến cố \(E\) bởi công thức sau:
\(P(\overline E)=1-P(E)\)
Ví dụ: Một tổ trong lớp 11A có 12 học sinh gồm 7 nam và 5 nữ. Cần chọn ra 5 bạn để đi trực nhật. Tính xác suất để có ít nhất một bạn nữ được chọn.
Hướng dẫn giải
Chọn 5 bạn bất kì từ 12 bạn có \(C_{12}^5 =792\) (cách).
Suy ra \(n(\Omega)=792\).
Gọi \(A\) là biến cố "trong 5 bạn được chọn có ít nhất 1 bạn nữ".
Suy ra \(\overline A\) là biến cố "trong 5 bạn được chọn không có bạn nữ nào".
\(\overline A\) cũng đồng nghĩa với biến cố "trong 5 bạn được chọn có toàn nam".
Chọn 5 bạn nam từ 7 bạn nam có \(C_7^5 =21\) (cách).
Do đó \(P(\overline A)=\frac {21}{792}=\frac{7}{264}\).
Vậy \(P(A)=1-P(\overline A)=1-\frac7{264}=\frac{257}{264}\).
Vậy xác suất để trong 5 bạn được chọn có ít nhất một bạn nữ là \(P(A)=\frac {257}{264}\).
