Dấu của tam thức bậc hai
Lý thuyết Toán 10 CD chương 3 bài 3
Lớp:
Lớp 10
Môn:
Toán
Bộ sách:
Cánh diều
Phân loại:
Tài liệu Tính phí
- Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng
\(f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c(a\ne 0)\), \(a,b,c\) được gọi là các hệ số. - Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai \(a{{x}^{2}}+bx+c\).
Cho tam thức bậc hai \(f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c(a\ne 0)\). Ta có:
- Nếu \(\Delta <0\) thì \(f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\).
- Nếu \(\Delta =0\) thì \(f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\ne -\frac{b}{2a}\) và \(f\left( -\frac{b}{2a} \right)=0\).
- Nếu \(\Delta >0\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}};{{x}_{2}}({{x}_{1}}<{{x}_{2}})\). Khi đó: \(f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty \right)\); \(f(x)\) trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right).\)
(Trong định lý trên, có thể thay \(\Delta\) bằng \(\Delta '\)).
Ví dụ:
Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a. \({{x}^{2}}+x+2\);
b. \(2{{x}^{2}}+x-3\).
Hướng dẫn giải
a. \(f(x)={{x}^{2}}+x+2\) có \(\Delta =-7<0\) và \(a=1>0\) nên \(f(x)>0\,\,\forall x\in R\).
b. \(g(x)=2{{x}^{2}}+x-3\) có \(\Delta =25>0, a=2>0\). \(g(x)\) có hai nghiệm phân biệt \({x}_{1}=1,{x}_{2}=-\frac{3}{2}\).
Bảng xét dấu:
Suy ra \(g(x)>0\,\,\forall x\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right)\cup \left( \frac{3}{2};+\infty \right)\) và \(g(x)<0\,\,\forall x\in \left( -\frac{3}{2};1 \right).\)
