Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh Diều Đề 2

Nhận xét:

Bảng biến thiên có bề lõm hướng xuống. Loại đáp án y = 2x² + 2x − 1 và y = 2x² + 2x + 2.

Đỉnh của parabol có tọa độ là . Xét các đáp án, y =  − 2x² − 2x + 1 thỏa mãn.

Parabol y =  − x² + 2x + 3 có trục đối xứng là đường thẳng  ⇔ x = 1.

Ta có là hai tập khác rỗng nên (*).

Ta có .

Đối chiếu với điều kiện (*), ta được .

Do nên .

Vậy có 4 giá trị nguyên dương của thỏa mãn yêu cầu.

Gọi lần lượt là trung điểm của .

là đường trung bình của .

. Mà , suy ra .

Theo định lí hàm cosin, ta có:

Ta có: nên .

là trung điểm nên

Vậy .

Đặt . Khi đó phương trình đã cho trở thành:

Vì t ≥ 0 ⇒ t = 6, thay vào ta có .

x² + 11 = 36 ⇔ x =  ± 5.

Vậy phương trình có nghiệm là x =  ± 5.

Tổng các nghiệm của phương trình là 0.

Gọi x, y lần lượt là số tấn nhôm và sắt mà nhà máy này sản xuất trong một ngày

Điều kiện: x, y > 0

Khi đó số tiền lãi một ngày của nhà máy này là (triệu đồng)

Số giờ làm việc trong ngày của đội 1 là (giờ)

Số giờ làm việc trong ngày của đội 2 là (giờ)

Vì mỗi ngày đội 1 làm việc không quá 6 giờ và đội 2 làm việc không quá 4 giờ nên ta có hệ bất phương trình:

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) là tứ giác OABC (kể cả biên).

Hình vẽ minh họa

Hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (∗) khi là toạ độ một trong các đỉnh .

Ta có:

Suy ra khi

Vậy số tiền lãi lớn nhất mà nhà máy thu được trong một ngày là: triệu đồng.

Ta có và ngược hướng nên

Vậy .

Gọi lần lượt là trung điểm của và.

Khi đó:

Vậy nằm trên đường trung trực của .

Xét đáp án  

Thay ta được:  

Vậy cặp số không là nghiệm của bất phương trình.

Xét đáp án 

Thay ta được:

Vậy cặp số là nghiệm của bất phương trình.

Xét đáp án 

Thay ta được:

Vậy cặp số là nghiệm của bất phương trình.

Xét đáp án 

Thay ta được:

Vậy cặp số là nghiệm của bất phương trình.

Ta có: 

ABCD là hình chữ nhật

Ta có:

Xét tam giác ODC ta có:

Biểu diễn tập số trên trục số như sau:

  là .

Đặt . Ta có hệ phương trình:

Với t =  − x ta được

Với t = x − 1 ta được

Vậy phương trình có 2 nghiệm x =  − 2 và .

Điều kiện: 8 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4. Vậy D = ( − ∞; 4].

Xét điểm . Ta có: không thỏa mãn. Do đó không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Hình vẽ minh họa

Ta có: là hình vuông

.

Ta có:

=> Đáp án cần tìm là: và ..

 Lấy sao cho .

Ta có: .

Gọi là trung điểm .

Ta có .

Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.

Với . Bất phương trình thứ nhất sai nên không thỏa mãn.

Với . Đúng. Chọn đáp án này.

Ta có: thuộc trục , nằm trên trục

là trọng tâm tam giác nên ta có:

Vậy .

Ta có:

.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: là vectơ đối của , là vectơ đối của

Vậy: .

Biểu thức f(x) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ khi và chỉ khi:

 Điều kiện: .

Ta có: .

Loại . Do đó .

 Áp dụng định lí sin:

.

Ta có:

.

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Vi suy ra đẳng thức sai là: .

Ta có:

.

Giải bất phương trình .

Mà nên chọn

Khi đó

Ta có

Ta có: D = {x ∈ ℝ | x ≠ -3} = ℝ \ {-3}.

ĐKXĐ: x² + 2(1−m)x + 2m² + 3 > 0

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² + 2(1−m)x + 2m² + 3

Ta có

(Vì tam thức bậc hai f(m) =  − m² − 2m − 2 có a_m =  − 1 < 0,  Δ′_m =  − 1 < 0 )

Suy ra với mọi m ta có x² + 2(1−m)x + 2m² + 3 > 0,  ∀x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Nhìn đồ thị, ta thấy đồ thị y = f(x) cắt trục hoành tại 2 điểm x = 1, x = 4 nên Δ > 0, dựa vào hình dạng parabol nên suy a > 0

Đáp án là: “ là điều kiện cần để có .”

Hình vẽ minh họa:

Do là trung điểm của đoạn thẳng nên .

Thay tọa độ các điểm vào bất phương trình ta thấy điểm A(3, 2) thỏa mãn hệ bất phương trình.

Một tam giác là tam giác cân điều kiện đủ là tam giác đó có hai góc bằng nhau.

Parabol có hệ số theo x² là 4 > 0 nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh .

• Nếu thì x_I <  − 2 < 0 . Suy ra f(x) đồng biến trên đoạn [ − 2; 0].

Do đó min_{[ − 2; 0]}f(x) = f(−2) = m² + 6m + 16.

Theo yêu cầu bài toán: m² + 6m + 16 = 3 (vô nghiệm).

• Nếu thì x_I ∈ [0; 2]. Suy ra f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.

Do đó .

Theo yêu cầu bài toán (thỏa mãn  − 4 ≤ m ≤ 0).

• Nếu thì x_I > 0 >  − 2. Suy ra f(x) nghịch biến trên đoạn [ − 2; 0].

Do đó min_{[ − 2; 0]}f(x) = f(0) = m² − 2m.

Theo yêu cầu bài toán:

Vậy

.

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Theo định lí sin ta có:

*x² − x − 5 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

* − x² − x − 1 = 0vô nghiệm, a =  − 1 < 0 nên  − x² − x − 1 < 0, ∀x ∈ ℝ

*2x² + x = 0 có 2 nghiệm phân biệt

*x² + x + 1 = 0 vô nghiệm, a = 1 > 0 nên x² + x + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ thỏa ycbt.

Vẽ các đường thẳng :

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền trong của tam giác

Tọa độ các đỉnh:

Ta có :