Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Ta có: .

Số hạng tổng quát của khai triển là: .

Số hạng chứa trong khai triển tương ứng với .

Vậy hệ số cần tìm là: (theo tính chất của tổ hợp: ).

Gọi số cần tìm có dạng . Vì chia hết cho 2 suy ra .

TH1. Với , khi đó số.

TH2. Với , khi đó có 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c, 2 cách chọn

.

Suy ra có số. Vậy có tất cả số cần tìm.

Ta có:

Xét khai triển

Số hạng tổng quát

Số hạng không chứa x ứng với

Suy ra số hạng không chứa x là .

Vì trong khai triển nhị thức Newton đã cho có tất cả 6 số hạng nên

Vậy n = 5 là giá trị cần tìm.

Số cách sắp xếp học sinh thành một hàng dọc là .

Trường hợp 1: Nữ đứng trước

Có 6 vị trí để xếp, vì nam đứng cạnh nhau và nữ đứng cạnh nhau nên nữ sẽ đứng vị trí số 1, 2, 3 còn nam đứng vị trí số 4, 5, 6

Sắp xếp học sinh nữ vào vị trí 1, 2, 3

Vị trí số 1 có 3 cách chọn (vì có thể chọn một bạn bất kỳ trong 3 bạn nữ)

Vị trí số 2 có 2 cách chọn (vì chỉ có thể chọn một trong hai bạn nữ còn lại)

Vị trí số 3 có 1 cách chọn (vì chỉ còn 1 bạn nữ để chọn)

Có 6 vị trí để xếp, vì nam nữ đứng xen kẽ nên nữ sẽ đứng vị trí số 1, 3, 5 còn nam đứng vị trí số 2, 4, 6.

Sắp xếp học sinh nam vào vị trí 4, 5, 6

Vị trí số 4 có 3 cách chọn (vì có thể chọn một bạn bất kỳ trong 3 bạn nam)

Vị trí số 5 có 2 cách chọn (vì chỉ có thể chọn một trong hai bạn nam còn lại)

Vị trí số 6 có 1 cách chọn (vì chỉ còn 1 bạn nam để chọn)

Trường hợp 1 có 3.2.1.3.2.1 = 36 (cách xếp)

Trường hợp 2: Nam đứng trước

Tương tự như trường hợp 1, trường hợp 2 có 36 (cách xếp)

Vậy áp dụng quy tắc cộng ta có cả hai trường hợp có 36 + 36 = 72 (cách xếp).

Xét khai triển

Đạo hàm hai vế của ta được:

Trong công thức ta cho ta được:

.

Khi đó, .

Do đó số hạng không chứa trong khai triển nếu hay .

Suy ra số hạng cần tìm là .

Gọi số có 5 chữ cố có dạng là . Điều kiện

Ta chuyển bài toán về tìm số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số để lập số thoả yêu cầu của bài toán.

Do đó sẽ có số các số có 5 chữ số khác nhau lập từ là số

.

.

Số hạng không chứa ứng với là .

TH1. Có đúng 1 học sinh khối 10: (cách). (1 lớp 10 + 5 lớp 11 + 4 lớp 12 hoặc 1 lớp 10 + 5 lớp 12 + 4 lớp 11)

TH2. Có đúng 2 học sinh khối 10: (cách).

Có cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.

 Số cách lập nhóm có hai học sinh là: cách

Số học sinh còn lại 8 học sinh (vì 2 học sinh lập nhóm đầu tiên)

=> Số cách lập nhóm có 3 học sinh là: cách

Số học sinh còn lại còn 5 học sinh để lập nhóm 5 học sinh 

=> Số cách lập nhóm 5 học sinh là: cách

Mà các cách lập nhóm liên quan đến nhau

=> Số cách lập các nhóm gồm 2, 3, 5 học sinh từ một tổ có 10 học sinh là

cách.

Đặt là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.

{ các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}

Với mỗi số thuộc A có chữ số thì ta có thể bổ sung thêm số vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng

mà trong không có chữ số 9}

mà trong có đúng 1 chữ số 9}

Ta thấy tập A có phần tử

Tính số phần tử của

Với và với . Từ đó ta suy ra có phần tử.

Tính số phần tử của

Để lập số của thuộc tập ta thực hiện liên tiếp hai bước sau:

Bước 1: Lập một dãy gồm chữ số thuộc tập và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là .

Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9.

Do đó có phần tử.

Vậy số các số cần lập là:

.

Mỗi tập con tập gồm phần tử được lấy ra từ tập có phần tử là một tổ hợp chập của phần tử.

Vậy số tập con gồm phần tử của là tập con.

Áp dụng quy tắc cộng ta có số khả năng có thể xảy ra là: 35 + 15 = 50 khả năng.

 Số các hoán vị của n phần tử là: n!.

Chọn có: 9 cách.

Chọn có: 10 cách.

Chọn có: 1 cách.

Theo quy tắc nhân có: số.

Số cách chọn một học sinh bất kì trong nhóm là: 5 + 6 = 11 cách chọn.

 Ta có: .

Mỗi tập con có 8 phần tử của tập hợp là một tổ hợp chập 8 của 10. Vậy số tập con có 8 phần tử của tập hợp là. .