Mệnh đề toán học
- Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
- Một câu khẳng định đúng là một mệnh đề đúng.
- Một câu khẳng định sai là một mệnh đề sai.
- Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
- Người ta thường sử dụng các chữ cái in hoa để kí hiệu mệnh đề.
- Những mệnh đề liên quan đến Toán học được gọi là mệnh đề Toán học.
Ví dụ: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? Câu nào không phải là mệnh đề?
a) 
\(5\) là số lẻ.
b) \(1+2>4\).
c) Hôm nay trời đẹp quá!
d) \(0,0001\) là số rất bé.
Hướng dẫn giải
a) Đây là một khẳng định đúng nên nó là một mệnh đề. Mệnh đề này là mệnh đề đúng.
b) Đây là một khẳng định sai nên nó là một mệnh đề. Mệnh đề này là mệnh đề sai.
c) Đây là một câu cảm thán nên nó không phải mệnh đề.
d) Đây là một ước lượng không có tính đúng hoặc sai (do không đưa ra tiêu chí như thế nào là rất bé). Do đó, nó không phải là mệnh đề.
2. Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề chứa biến \(P(x)\) là một câu chứa biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề, nhưng với mỗi giá trị của biến \(x\) trong tập xác định \(X\) nào đó ta được một mệnh đề.
Ví dụ:
\(P(x):\) "\(3x\) chia hết cho \(2\)" là một mệnh đề chứa biến. Vì:
Với \(x=2\) thì \(P(x)\) là một mệnh đề đúng.
Với \(x=3\) thì \(P(x)\) là một mênh đề sai.
3. Mệnh đề phủ định
Cho mệnh đề \(P\). Mệnh đề "Không phải \(P\)" được gọi là mệnh đề phủ định của \(P\) và kí hiệu là \(\overline P\).
- Mệnh đề \(P\) và \(\overline P\) là hai câu khẳng định trái ngược nhau.
- Nếu \(P\) đúng thì \(\overline P\) sai, nếu \(P\) sai thì \(\overline P\) đúng.
Ví dụ: Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:
\(P:\) "\(9\) là số chẵn".
\(Q:\)"Hình vuông không phải là một hình chữ nhật".
Hướng dẫn giải
\(\overline P:\) "\(9\) không phải là số chẵn". Hoặc \(\overline P:\) "\(9\) là số lẻ".
\(\overline Q:\) "Hình vuông là một hình chữ nhật".
4. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
Cho hai mệnh đề \(P\) và \(Q\). Mệnh đề "Nếu \(P\) thì \(Q\)" được gọi là là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\).
- Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) sai khi \(P\) đúng, \(Q\) sai. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) đúng trong các trường hợp còn lại.
Trong Toán học, định lí là mệnh đề đúng. Các định lí trong Toán học thường có dạng \(P \Rightarrow Q\). Khi đó ta nói:
- \(P\) là giả thiết của định lí, \(Q\) là kết luận của định lí.
- \(P\) là điều kiện đủ để có \(Q\).
- \(Q\) là điều kiện cần để có \(P\).
Cho mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\). Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).
- Mệnh đề đảo không nhất thiết là mệnh đề đúng.
Ví dụ 1: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Vì \(2018\) chia hết cho \(2\) nên \(2018\) chia hết cho \(4\).
b) Nếu \(60\) chia hết cho \(10\) thì \(60\) chia hết cho \(5\).
Hướng dẫn giải
a) Xét \(P:\) "\(2018\) chia hết cho \(2\)" và \(Q:\) "\(2018\) chia hết cho \(4\)".
Ta thấy \(P\) đúng, \(Q\) sai nên mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề sai.
b) Xét \(P:\) "\(60\) chia hết cho \(10\)" và \(Q:\) "\(60\) chia hết cho \(5\)".
Ta thấy \(P\) đúng, \(Q\) đúng nên mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) đúng.
Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề "Nếu tam giác \(ABC\) là tam giác đều thì tam giác \(ABC\) là tam giác cân".
Hướng dẫn giải
Mệnh đề đảo được phát biểu: "Nếu tam giác \(ABC\) là tam giác cân thì tam giác \(ABC\) là tam giác đều".
Đây là một mệnh đề sai.
Ví dụ 3: Xét định lí "Nếu tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật thì hai đường chéo bằng nhau". Hãy sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần", "điều kiện đủ" để phát biểu lại định lí trên.
Hướng dẫn giải
+ Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau là điều kiện cần để nó là hình chữ nhật.
+ Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật là điều kiện đủ để nó có hai đường chéo bằng nhau.
5. Mệnh đề tương đương
Nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng thì ta nói \(P\) và \(Q\) là hai mệnh đề tương đương.
- Kí hiệu \(P \Leftrightarrow Q\).
- Đọc là \(P\) tương đương \(Q\) hoặc \(P\) khi và chỉ khi \(Q\).
- Khi đó, ta cũng nói \(P\) là điều kiện cần và đủ để có \(Q\) (hoặc ngược lại).
Ví dụ: Cho hai mệnh đề:
\(P:\) "Tam giác \(ABC\) có 3 cạnh bằng nhau".
\(Q:\) "Tam giác \(ABC\) có 3 góc bằng nhau".
Phát biểu mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\). Đây là mệnh đề đúng hay sai?
Hướng dẫn giải
\(P \Leftrightarrow Q\): "Tam giác \(ABC\) có 3 cạnh bằng nhau là điều kiện cần và đủ để tam giác \(ABC\) có 3 góc bằng nhau".
Vì \(P \Rightarrow Q\) đúng và \(Q \Rightarrow P\) đúng nên \(P \Leftrightarrow Q\) đúng.
6. Mệnh đề chứa kí hiệu \(\forall\) và \(\exists\)
Kí hiệu \(\forall\) (với mọi)
- Cho mệnh đề chứa biến \(P(x)\) với \(x \in X\). Khi đó khẳng định "Với mọi \(x\) thuộc \(X\), \(P(x)\) đúng" là một mệnh đề.
- Mệnh đề này sai nếu có \(x_0 \in X\) sao cho \(P(x_0)\) là một mệnh đề sai.
- Mệnh đề trên được kí hiệu là \(\forall x \in X,P(x)\) hoặc \(\forall x \in X:P(x)\).
Kí hiệu \(\exists\) (tồn tại)
- Cho mệnh đề chứa biến \(P(x)\) với \(x \in X\). Khi đó khẳng định "Tồn tại \(x\) thuộc \(X\) sao cho \(P(x)\) đúng" là một mệnh đề.
- Mệnh đề này đúng nếu có ít nhất một \(x_0 \in X\) sao cho \(P(x_0)\) là một mệnh đề đúng.
- Mệnh đề trên được kí hiệu là \(\exists x \in X, P(x)\) hoặc \(\exists x \in X: P(x)\).
Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu \(\forall\) và \(\exists\).
- Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(\forall x \in X,P(x)\) là \(\exists x \in X, \overline {P(x)}\).
- Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(\exists x \in X, P(x)\) là \(\forall x \in X, \overline {P(X)}\).
Ví dụ 1: Phát biểu mệnh đề sau và cho biết mệnh đề này đúng hay sai: "\(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0\)".
Hướng dẫn giải
+ Phát biểu: Với mọi số thực thì bình phương của số đó luôn dương.
+ Ta có: Với \(x=0\) thì \(0^2\) không lớn hơn \(0\). Do đó đây là mệnh đề sai.
Ví dụ 2: Viết mệnh đề phủ định của mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó:
\(P:\) "\(\exists x \in \mathbb{N}, x+1=0\)".
Hướng dẫn giải
+ \(\overline P:\) "\(\forall x \in \mathbb{N}, x+1 \neq 0\)".
+ Vì \(x \in \mathbb{N}\) nên \(x \ge0\). Do đó \(x+1\ge1>0\). Suy ra \(x+1 \neq0\) \(\forall x \in \mathbb{N}\). Đây là mệnh đề đúng.
