Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát là:
\(\Delta_1:a_1x+b_1y+c=0\);- \(\Delta_2:a_2x+b_2y+c=0\).
Phương pháp xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Xét tỉ số
- Nếu \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) thì \(\Delta_1\) trùng với \(\Delta_2\).
- Nếu \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\) thì \(\Delta_1\) song song với \(\Delta_2\).
- Nếu \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\) thì \(\Delta_1\) cắt \(\Delta_2\).
Nhận xét:
- \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) song song hoặc trùng nhau \(\Leftrightarrow \overrightarrow n_1\) và \(\overrightarrow n_2\) cùng phương \(\Leftrightarrow \overrightarrow u_1\) và \(\overrightarrow u_2\) cùng phương.
- \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau \(\Leftrightarrow \overrightarrow n_1\) và \(\overrightarrow n_2\) không cùng phương \(\Leftrightarrow \overrightarrow u_1\) và \(\overrightarrow u_2\) không cùng phương.
Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a. \(\Delta_1:2x+y+1 =0\) và \(\Delta_2:6x+3y+3 =0\).
b. \(\Delta_1:x-2y+1 =0\) và \(\Delta_2:-3x+3y+1 =0\).
c. \(\Delta_1:x-3y+5 =0\) và \(\Delta_1:2x-6y+1 =0\).
Hướng dẫn giải
a. Ta có: \(\frac26=\frac13=\frac13\) nên \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) trùng nhau.
b. Ta có: \(\dfrac{1}{-3}\neq \frac{-2}{3}\) nên \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau.
c. Ta có: \(\frac12=\frac{-3}{-6}\neq \frac51\) nên \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) song song.
2. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng:
- \(\Delta_1:a_1x+b_1y+c=0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n_1(a_1;b_1)\);
- \(\Delta_2:a_2x+b_2y+c=0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n_2(a_2;b_2)\).
Gọi \(\varphi\) là góc tạo bởi hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\).
Khi đó:
\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\(= \dfrac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)
Chú ý: Có thể thay thế cặp vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n_1;\overrightarrow n_2\) trong công thức trên bằng cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u_1;\overrightarrow u_2\).
Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1: - \sqrt 3 x + y + 3 = 0\) và \(\Delta_1: x + \sqrt 3 y + 1 = 0\).
Hướng dẫn giải
Vectơ pháp tuyến của \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) lần lượt là: \(\overrightarrow n_1 (-\sqrt3;1)\) và \(\overrightarrow n_2(1;\sqrt3)\).
Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\). Ta có:
\(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\(= \dfrac{{\left| {{-\sqrt3}.{1} + {1}.{\sqrt3}} \right|}}{{\sqrt {{({-\sqrt3}})^2 + {1}^2} .\sqrt {{1}^2 + ({\sqrt3})^2} }} =0\)
Do đó, góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) là \(\varphi=30^\circ\).
3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm \(M(x_0;y_0)\) đến đường thẳng \(\Delta:ax+by+c=0\) được tính theo công thức:
\(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm \(A(1;2)\) đến đường thẳng \(\Delta: 3x-4y-1=0\).
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta có:
\(d(A,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)\(=\frac{{\left| {3.{1} -4 .{2} -1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {(-4)^2}} }} =\frac{-6}{5}\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta\) là \(\frac{-6}{5}\).
