Các dạng toán vận dụng dấu hiệu chia hết để giải
Vận dụng dấu hiệu chia hết để giải Toán
Các dạng Toán vận dung dấu hiệu chia hết là các dạng Toán, bài tập có vận dụng tính chất chia hết để giải giúp các em học sinh giỏi nắm chắc và vận dụng tính chất chia hết để giải các bài Toán nâng cao, các dạng bài tập thi học sinh giỏi. Mời các em cùng tham khảo và tải về.
Các bài toán về dấu hiệu chia hết
Dạng 1. Tìm chữ số chưa biết theo dấu hiệu chia hết
Ví dụ 1: Thay a, b trong số 2007ab bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2; 5 và 9.
Giải: Số 2007ab đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0. Thay b = 0 vào số 2007ab ta được 2007a0. Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Vậy (2 + 0 + 0 + 7 + a + 0) chia hết cho 9 hay 9 + a chia hết cho 9, suy ra a = 0 hoặc a = 9.
Vậy ta tìm được 2 số thoả mãn bài toán là 200700; 200790.
Ta biết rằng: A chia cho B dư r tức là:
- A - r chia hết cho B (1)
- A + (B - r) chia hết cho B (2)
Từ đó các bạn có thể giải quyết bài toán:
Ví dụ 2: Cho A = x459y. Hãy thay x, y bởi chữ số thích hợp để A chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
Nhận xét: A chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1 nên A - 1 đồng thời chia hết cho 2; 5 và 9. Vậy ta có thể giải bài toán dựa vào điều kiện (1) A - r chia hết cho B để giải.
Giải: Vì A chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1 nên A - 1 chia hết cho 2; 5 và 9. Vậy chữ số tận cùng của A - 1 phải bằng 0, suy ra y = 1. Vì A - 1 chia hết cho 9 nên x + 4 + 5 + 9 + 0 chia hết cho 9 hay x + 18 chia hết cho 9. Do 18 chia hết cho 9 nên x chia hết cho 9, nhưng x là chữ số hàng cao nhất nên x khác 0. Từ đó x chỉ có thể bằng 9. Thay x = 9; y = 1 vào A ta được số 94591.
Ở bài toán trên A chia cho các số có cùng số dư. Bây giờ ta xét:
Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2; chia cho 4 dư 3 và chia cho 5 dư 4.
Tuy các số dư khác nhau nhưng: 2 - 1 = 1; 3 - 2 = 1; 4 - 3 = 1; 5 - 4 = 1. Như vậy ta có thể sử dụng điều kiện (2) A + (B - r) chia hết cho B để giải bài toán này.
Giả: Gọi số cần tìm là A. Vì A chia cho 2 dư 1 và A chia cho 5 dư 4 nên A + 1 đồng thời chia hết cho 2 và 5. Vậy chữ số tận cùng của A + 1 là 0. Hiển nhiên A +1 không thể có 1 chữ số. Nếu A + 1 có 2 chữ số thì có dạng x0. Vì x0 chia hết cho 3 nên x chỉ có thể là 3; 6; 9 ta có số 30; 60; 90. Trong 3 số đó chỉ có 60 là chia hết cho 4.
Vậy A +1 = 60
A = 60 - 1
A = 59
Do đó số cần tìm là 59.
Bài luyện tập:
Bài 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 sao cho khi chia cho 2 ; 3 ; 4 ; 5 và 7 đều dư 1.
Bài 2: Cho số a765b; tìm a; b để khi thay vào số đã cho ta được số có 5 chữ số chia cho 2 dư 1; chia cho 5 dư 3 và chia cho 9 dư 7.
Bài 3: Hãy viết thêm 3 chữ số vào bên phải số 567 để được số lẻ có 6 chữ số khác nhau, khi chia số đó cho 5 và 9 đều dư 1.
Bài 4: Tìm số có 4 chữ số chia hết cho 2; 3 và 5, biết rằng khi đổi chõ các chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hoặc hàng chục với hàng nghìn thì số đó không thay đổi.
Dạng 2. Tìm số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết
Ví dụ : Một số nhân với 9 thì được kết quả là 180 648 07? Hãy tìm số đó.
Giải: Một số nhân với 9 thì được kết quả là 180 648 07? nên số 180 648 07? chia hết cho 9. Vì số 180 648 07? chia hết cho 9 nên (1 + 8 + 0 + 6 + 4 + 8 + 0 + 7 + ?) chia hết cho 9, hay 34 + ? chia hết cho 9, suy ra ? = 2. Thay ? = 2 vào số 180 648 07? ta được 180 648 072. Số cần tìm là:
180 648 072 : 9 = 20072008.
Dạng 3. Chứng tỏ một số hoặc một biểu thức chia hết cho (hoặc không chia hết cho) một số nào đó
Ví dụ: Cho số tự nhiên A. Người ta đổi chỗ các chữ số của A để được số B gấp 3 lần số A. Chứng tỏ rằng số B chia hết cho 27.
Giải: Theo bài ra ta có: B = 3 x A (1), suy ra B chia hết cho 3, nhưng tổng các chữ số của số A và số B như nhau (vì người ta chỉ đổi chỗ các chữ số) nên ta cũng có A chia hết cho 3 (2). Từ (1) và (2) suy ra B chia hết cho 9. Nếu vậy thì A chia hết cho 9 (vì tổng các chữ số của chúng như nhau) (3). Từ (1) và(3), suy ra B chia hết cho 27.
Dạng 4. Các bài toán thay chữ bằng số
Ví dụ: Điền các chữ số thích hợp (các chữ cái khác nhau được thay bởi các chữ số khác nhau)
HALONG + HALONG + HALONG = TTT2006
Giải: Ta có vế trái: HALONG + HALONG + HALONG = 3 x HALONG. Như vậy vế trái là một số chia hết cho 3. Vế phải TTT2006 có: (T + T + T + 2 + 0 + 0 + 6) = 3 x T + 6 + 2 = 3 x (T + 2) + 2 không chia hết cho 3, suy ra TTT2006 không chia hết cho 3. Điều này chứng tỏ không thể tìm được các chữ số thoả mãn bài toán.
Dạng 5. Các bài toán có lời văn
Ví dụ: Hai bạn An và Khang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan. An đưa cho cô bán hàng 4 tờ mỗi tờ 50 000 đồng và được trả lại 72 000đồng. Khang nói: "Cô tính sai rồi". Bạn hãy cho biết Khang nói đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
Giải: Vì số 18 và số 12 đều chia hết cho 3, nên tổng số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo phải là số chia hết cho 3. Vì An đưa cho cô bán hàng 4 tờ 50 000đồng và được trả lại 72 000đồng, nên số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo là:
4 x 50 000 – 72 000 = 128 000 (đồng)
Vì số 128 000 không chia hết cho 3, nên bạn Khang nói "Cô tính sai rồi" là đúng.
Dạng 6. Các bài toán hình học
Ví dụ: Có 10 mẩu que lần lượt dài: 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, ... , 8cm, 9cm, 10cm.
Hỏi có thể dùng cả 10 mẩu que đó để xếp thành một hình tam giác đều được không?
Giải: Một hình tam giác đều có cạnh là (a) là số tự nhiên thì chu vi (P) của hình đó phải là số chia hết cho 3 vì P = a x 3.
Tổng độ dài của 10 mẩu que là: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 (cm)
Vì 55 là số không chia hết cho 3 nên không thể xếp 10 mẩu que đó thành một hình tam giác đều được.
Dạng 7. Trò chơi – Toán vui
Ví dụ: Khi được hỏi: "Số nào có bốn chữ số mà khi ta đọc theo thứ tự từ phải sang trái thì sẽ tăng lên 6 lần?" Một học sinh giỏi toán đã trả lời ngay tức khắc. Bạn hãy đoán xem bạn ấy đã trả lời như thế nào?
Giải: Bạn ấy đã trả lời là: "Không có số nào như vậy". Ta có thể giải thích điều này như sau: Giả sử số phải tìm là , theo bài ra ta có: x 6 = . Suy ra a chỉ có thể bằng 1 vì nếu a bằng 2 trở lên thì x 6 sẽ cho một số có 5 chữ số. Mặt khác, tích x 6 là một số chẵn, tức là a phải chẵn. Mâu thuẫn này chứng tỏ không tồn tại số nào thoả mãn bài toán.
(Kết luận này không chỉ đúng với số có 4 chữ số mà đúng với số có chữ số tuỳ ý)
Dạng 8. Các bài toán khác
Ví dụ: Hãy chứng tỏ rằng: Nếu cho 3 số tự nhiên nào đó trong đó không có số nào chia hết cho 3 thì bao giờ ta cũng có hoặc là tổng cả ba số đó hoặc là tổng của hai số nào đó trong ba số đã cho phải chia hết cho 3.
Giải: Một số tự nhiên không chia hết cho 3 thì khi chia cho 3 sẽ có số dư là 1 hoặc 2.
- Nếu cả ba số chia cho 3 có cùng số dư thì tổng ba số đó chia hết cho 3.
- Nếu ba số chia cho 3 không cùng số dư thì tổng của hai số có số dư khác nhau sẽ chia hết cho 3.
Khi giải các bài tập toán liên quan đến chia hết, chúng ta thường sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5 và 9. Tuy nhiên trong thực tế có nhiều bài phải vận dụng một số tính chất chia hết khác để giải. Chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho M là một số có ba chữ số và N là số có ba chữ số viết theo thứ tự ngược lại của M. Biết M lớn hơn N. Hãy chứng tỏ rằng hiệu của M và N chia hết cho 3.
Phân tích: Hiệu hai số chia hết cho một số nào đó khi số bị trừ và số trừ cùng chia hết cho số đó hoặc số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho số đó. Dựa vào tính chất này ta chứng tỏ hiệu chia hết cho một số nào đó bằng cách chứng tỏ số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho số đó.
Giải: Đặt M = abc thì N = cba (a > c > 0; a, b, c là chữ số), khi đó M - N = abc - cba. Giả sử cba chia cho 3 dư r thì a + b + c chia cho 3 cũng dư r. Do a + b + c = c + b + a nên cba chia cho 3 cũng có số dư r. Vậy hiệu M - N chia hết cho 3.
Xem toàn bộ Tài liệu Tại đây
