Cách bấm máy tính tìm nhanh tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bạn đang học Toán 11 và gặp khó khăn khi tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số? Đừng lo! Với chiếc máy tính cầm tay quen thuộc như Casio fx-570VN Plus hay fx-580VN X, bạn hoàn toàn có thể bấm máy để tìm nhanh tiếp tuyến của hàm số, giúp tiết kiệm thời gian làm bài trắc nghiệm. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách bấm máy tính tìm tiếp tuyến bằng phương pháp sử dụng đạo hàm Toán 11, cực kỳ dễ hiểu và chính xác. Hãy cùng khám phá!

A. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \((C)\) và một điểm \(M\left( x_{0};y_{0} \right)\) thuộc đồ thị \((C)\). Tiếp tuyến của đồ thị \((C)\). Tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm M là đường thẳng d có phương trình \(y = f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right) + y_{0}\)

B. Bài tập ví dụ minh họa cách bấm máy tính tìm tiếp tuyến của đồ thị

Ví dụ 1. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{x} - \ln x\) tại điểm có hoành độ bằng 2.

A. \(\frac{1}{2} - ln2\)                 B. \(- \frac{1}{4}\)                  C. \(- \frac{3}{4}\)                          D. \(\frac{1}{4}\)

Hướng dẫn giải

Gọi tiếp điểm \(M\left( x_{0};y_{0} \right)\) => Phương trình tiếp tuyến \(y = f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right) + y_{0}\)

Sử dụng máy tính casio để tính hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2=> \(k = f'(2)\)

Ta thấy \(k = f'(2) = - 0,25 = \frac{- 1}{4}\)

Đáp án B chính xác.

Ví dụ 2. Cho hàm số \(y = - x^{3} + 3x - 2\) có đồ thị \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại giao điểm của \((C)\) với trục tung?

A. \(y = - 2x + 1\)                         B. \(y = 3x - 2\)

C. \(y = 2x + 1\)                          D. \(y = 3x - 2\)

Hướng dẫn giải

Gọi tiếp điểm \(M\left( x_{0};y_{0} \right)\) => Phương trình tiếp tuyến \(y = f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right) + y_{0}\)

M là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung => M có tọa độ \((0; - 2)\). Tính \(f'(0) = 0\)

Thế vào phương trình tiếp tuyến có \(y = 3(x - 0) - 2 = 3x - 2\)

Vậy đáp án chính xác là đáp án D.

Ví dụ 3. Số tiếp tuyến với đồ thị \((C):y = x^{3} - 3x^{2} + 2\) đi qua điểm \(M(1;0)\) là:

A. 4                    B. 2                   C. 3                  D. 1

Hướng dẫn giải

Gọi tiếp điểm \(M\left( x_{0};y_{0} \right)\) => Phương trình tiếp tuyến \(y = f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right) + y_{0}\)

Trong đó hệ số góc \(k = f'\left( x_{0} \right) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}\)

Thế \(f'\left( x_{0} \right)\) vào phương trình tiếp tuyến ta được: \(y = \left( 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right) + {x_{0}}^{3} - 3{x_{0}}^{2} + 2\)

Tiếp tuyến đi qua điểm \(M(1;0)\) suy ra

\(0 = \left( 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0} \right)\left( 1 - x_{0} \right) + {x_{0}}^{3} - 3{x_{0}}^{2} + 2\)

\(\Leftrightarrow - 2{x_{0}}^{3} + 6{x_{0}}^{2} - 6x_{0} + 2 = 0\)

Sử dụng máy tính với lệnh MODE 5 để giải phương trình bậc 3 trên

Ta thấy có 1 nghiệm \(x_{0}\) => Chỉ có 1 tiếp tuyền duy nhất.

Chọn đáp án D

Ví dụ 4. Cho hàm số \(y = x^{3} - 3x^{2} + 2\) có đồ thị \((C)\). Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của \((C)\) với hệ số góc nhỏ nhất?

A. \(y = - 3x + 3\)                  B. \(y = - 3x - 3\)

C. \(y = - 3x\)                        D. \(y = 0\)

Hướng dẫn giải

Gọi tiếp điểm \(M\left( x_{0};y_{0} \right)\) => Phương trình tiếp tuyến \(y = f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right) + y_{0}\)

Trong đó hệ số góc \(k = f'\left( x_{0} \right) = 3{x_{0}}^{2} - 6x_{0}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của k bằng chức năng MODE 7.

Ta thấy \(f'_{\min} = f'(1) = - 3 \Rightarrow x_{0} = - 3\)

\(\Rightarrow y_{0} = 1^{3} - 3.1^{2} + 2 = 0\)

Thế vào phương trình tiếp tuyến có \(y = - 3(x - 1) + 0 = - 3x + 3\)

Vậy chọn đáp án D

Ví dụ 5. Cho hàm số \(y = \frac{x + 2}{x + 1}\) có đồ thị hàm số \((C)\). Gọi \(d\) là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của \((C)\) đến một tiếp tuyến bất kì của \((C)\). Giá trị lớn nhất d có thể đạt được là:

A. \(3\sqrt{3}\)              B. \(\sqrt{3}\)                  C. \(\sqrt{2}\)                     D. \(2\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải

Gọi tiếp điểm \(M\left( x_{0};y_{0} \right)\) => Phương trình tiếp tuyến \(y = f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right) + y_{0}\)

Trong đó hệ số góc \(k = f'\left( x_{0} \right) = \frac{- 1}{\left( x_{0} + 1 \right)^{2}}\)

Thế \(k;y_{0}\) vào phương trình tiếp tuyến có dạng

\(y = \frac{- 1}{\left( x_{0} + 1 \right)^{2}}\left( x - x_{0} \right) + \frac{x_{0} + 2}{x_{0} + 1}\)

\(\Leftrightarrow \frac{- 1}{\left( x_{0} + 1 \right)^{2}}x + y - \frac{x_{0}}{\left( x_{0} + 1 \right)^{2}} - \frac{x_{0} + 2}{x_{0} + 1} = 0\)

Hàm số có tiệm cận đứng x =-1 và tiệm cận ngang y = 1 nên giao điểm hai tiệm cận là \(I( - 1;1)\)

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ 1 đến 1 đường thẳng ta có:

\(h = d\left( I;(d) \right) = \frac{\left| \frac{- 1}{\left( x_{0} + 1 \right)^{2}}( - 1) + 1 - \frac{x_{0}}{\left( x_{0} + 1 \right)^{2}} - \frac{x_{0} + 2}{x_{0} + 1} \right|}{\sqrt{\left\lbrack \frac{1}{\left( x_{0} + 1 \right)^{2}} \right\rbrack^{2} + 1^{2}}}\)

Dùng máy tính Casio với lệnh MODE 7 để tính các giá trị lớn nhất này:

Ta thấy \(h_{\max} = \sqrt{2}\)

Vậy chọn đáp án C.

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn chi tiết

Bài tập 1. Cho hàm số \(y = \frac{x + 1}{2x - 1}\). Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 có hệ số góc bằng bao nhiêu?

Bài tập 2. Tìm tọa độ của tất cả các điểm M trên đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = \frac{x - 1}{x + 1}\) sao cho tiếp tuyến của \((C)\) tại M song song với đường thẳng \(d:y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2}\)?

A. \((0;1),(2;3)\)                      B. \((1;0),( - 3;2)\)

C. \(( - 3;2)\)                              D. \((1;0)\)

Bài tập 3. Cho hàm số \(y = \frac{x - 1}{x + 2}\) có đồ thị \((C)\). Tiếp tuyến của \((C)\) tại giao điểm của \((C)\) và trục hoành có phương trình là:

A. \(y = 3x\)            B. \(y = 3x - 3\)                    C. \(y = x - 3\)                   D. \(y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}\)

Bài tập 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^{3} - 3x\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = 9x - 16\)?

Bài tập 5. Tìm tọa độ giao điểm M có hoành độ âm trên đồ thị \((C):y = \frac{1}{3}x^{2} - x + \frac{2}{3}\) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\)?

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

---------------------------------------------

Việc nắm vững cách bấm máy tính tìm nhanh tiếp tuyến của đồ thị hàm số không chỉ giúp bạn tối ưu thời gian làm bài trắc nghiệm Toán mà còn nâng cao khả năng vận dụng công cụ hỗ trợ vào giải toán hiệu quả. Đây là một trong những ứng dụng đạo hàm Toán 11 vô cùng thiết thực trong học tập và luyện thi.

 

Đừng quên luyện tập thường xuyên và chia sẻ bài viết này đến bạn bè nếu bạn thấy hữu ích. Ngoài ra, bạn có thể tham khảo thêm nhiều thủ thuật bấm máy tính Casio trong Toán 11 ngay trên trang của chúng tôi!