VnDoc.com

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2020-2021 Sở GD&ĐT Hà Nội lần 2

Đề thi học sinh giỏi môn Toán 12

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

ĐỀ THI CHỌN ĐT HSG QUỐC GIA TP HÀ NỘI

NĂM HỌC 2020-2021

Phan Phương Đức - Nguyễn Tiến Dũng

A. NGÀY THỨ NHẤT (19/10/2020)

Bài 1. Cho dãy số (u

n

) xác định bởi u

1

= 1 và u

n+1

=

u

n

2

n

u

n

+ 3

, ∀n ≥ 1. Tìm giới hạn lim

n

√

u

n

.

Bài 2.

Cho đa thức

P (x) = (x − a

1

) (x − a

2

) ···(x − a

9

) − 3

, trong đó

a

1

, a

2

, ··· , a

9

là các số nguyên đôi

một khác nhau. Chứng minh P (x) không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc

lớn hơn hoặc bằng 1.

Bài 3.

Cho tam giác

ABC

cân tại

A

(

∠BAC < 90

◦

) và

M

là trung điểm của đoạn thẳng

AB

. Lấy điểm

N

thuộc đoạn thẳng CM sao cho ∠CBN = ∠ACM .

a)

Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCN

tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác

AMN

.

b)

Đoạn thẳng

AC

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

AMN

tại điểm thứ hai là

P

. Gọi

I

là trung điểm

của đoạn thẳng BC. Chứng minh đường thẳng NP đi qua trung điểm của đoạn thẳng MI.

Bài 4. Tìm số bộ nguyên dương (a

1

, a

2

, ··· , a

15

) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) 1 ≤ a

1

< a

2

< ··· < a

15

≤ 2020;

ii) a

i

≡ i

2

(mod 5), ∀i = 1, 2, ··· , 15.

B. NGÀY THỨ HAI (20/10/2020)

Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn

f (4xf(x) + f(y)) = 4 (f(x))

2

+ y, ∀x, y ∈ R.

Bài 6.

Cho tam giác

ABC

nhọn

(AB < AC)

nội tiếp đường tròn

(O)

. Các đường cao

AD, BE

và

CF

của

tam giác

ABC

đồng quy tại

H

. Đường thẳng

EF

cắt đường thẳng

BC

tại điểm

S

. Qua

S

kẻ các tiếp tuyến

SX, SY tới đường tròn (O), với X, Y là các tiếp điểm.

a) Chứng minh D, X, Y thẳng hàng.

b)

Gọi

I

là giao điểm của hai đường thẳng

XY

và

EF

. Chứng minh đường thẳng

IH

đi qua trung điểm

của đoạn thẳng BC.

Bài 7. Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3.

a) Chứng minh

p−1

X

i=1



C

i

p



2

≡ 0 (mod p

3

).

b) Cho n là một số nguyên dương thỏa mãn n ≡ 1 (mod p). Chứng minh C

p

np

≡ n (mod p

4

).

Trang 1 Đề thi chọn ĐT HSG Quốc gia TP Hà Nội năm học 2020-2021

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2021 Sở GD&ĐT Hà Nội lần 2

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2020-2021 Sở GD&ĐT Hà Nội lần 2 vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập và ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây nhé.

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2020-2021 Sở GD&ĐT Hà Nội lần 2 để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết được tổng hợp gồm có 4 câu hỏi tự luận, thí sinh làm bài trong thời gian 180 phút. Đề có đáp án đi kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây nhé.

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2020-2021 Sở GD&ĐT Hà Nội lần 2, mong rằng qua đây các bạn có thêm nhiều tài liệu để học tập môn Toán lớp 12 nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...

Mời bạn đọc cùng tham gia nhóm Tài liệu học tập lớp 12 để có thêm tài liệu học tập nhé