Tiệm cận của đồ thị hàm số

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Tìm tiệm cận của hàm số. Bộ tài liệu hướng dẫn các tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên, ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

• Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
• 300 câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12 (Có đáp án)
• Bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số và điểm uốn (Có đáp án)

Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Đường tiệm cận là gì?

- Cho đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có tập xác định D.

1. Tiệm cận ngang

- Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$ thì đường thẳng $y=y_0$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

2. Tiệm cận đứng

- Nếu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$ hoặc $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$ thì đường thẳng $x=x_0$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ví dụ:

Đường tiệm cận đứng là $x=-1$, Tiệm cận ngang là $y=2$

3. Tiệm cận xiên

- Điều kiện tìm đường tiệm cận xiên: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$

Tìm tiệm cận xiên có 2 cách:

Cách 1: Phân tích $y=f\left(x\right)$ thành dạng $y=ax+b+g\left(x\right)$ với $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}g\left(x\right)=0$ thì $y=ax+b,\left(a\ne 0\right)$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$.

Cách 2: Giả sử tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là , ta sẽ tìm a, b theo công thức: $\{\begin{array}{c}a=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}\\ b=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-ax\right]\end{array}$

Khi đó đường thẳng $y=ax+b,\left(a\ne 0\right)$ là phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

4. Đường tiệm cận của các hàm thông dụng

a. Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d},\left(ad-bc\ne 0\right)$ có $\{\begin{array}{c}TCD:x={\displaystyle \frac{-d}{c}}\\ TCN:y={\displaystyle \frac{a}{c}}\end{array}$

b. Hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}=Ax+B+\frac{r}{px+q},\left(ap\ne 0\right)$ có $\{\begin{array}{c}TCd:x={\displaystyle \frac{-p}{q}}\\ TCN:y=Ax+B\end{array}$

c. Hàm số hữu tỉ: $y=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ không chia hết có đường tiệm cận xiên khi bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu một bậc.

II. Ví dụ minh họa tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số a. $y=\frac{2x+1}{x-1}$ b. $y=\frac{x^2}{1-x}$ c. $y=2x-1-\frac{1}{x+2}$

Hướng dẫn giải

a. $y=\frac{2x+1}{x-1}$

Ta có: $\{\begin{array}{c}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=2\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=2\end{array}\Rightarrow y=2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: $\{\begin{array}{c}\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 1^{-}}{lim}y=+\mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow x=1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b. $y=\frac{x^2}{1-x}=x-1+\frac{1}{1-x}$

Ta có: $\{\begin{array}{c}\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 1^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: $\{\begin{array}{c}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }\end{array}$ Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta lại có: $\{\begin{array}{c}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(-x-1\right)\right]=0\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(-x-1\right)\right]=0\end{array}\Rightarrow y=-x-1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c. $y=2x-1-\frac{1}{x+2}$

Ta có: $\{\begin{array}{c}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }\end{array}$ Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có: $\{\begin{array}{c}\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 2^{-}}{lim}y=+\mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow x=2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta lại có: $\{\begin{array}{c}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(2x+1\right)\right]=0\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(2x+1\right)\right]=0\end{array}\Rightarrow y=2x+1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số $y=x+\sqrt{x^2-1}$

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định liên tục trên $D=\left(-\mathrm{\infty },1\right]\cup \left[1,+\mathrm{\infty }\right)$

Ta có:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x}=-\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(1-\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)=0$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1}{-x+\sqrt{x^2-1}}=0$

Vậy $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi $x\to -\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)=2$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1}{-x+\sqrt{x^2-1}}=0$

Vậy $y=2x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi $x\to +\mathrm{\infty }$

II. Bài tập trắc nghiệm tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

Câu 1: Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=1+\frac{3}{2x-3}$

A. $y=1,2x-3=0$	B. $y=\frac{2}{3},2x-3=0$
C. $y=2x-3,2x-3=0$	D. $y=5x+1,2x-3=0$

Câu 2: Cho 3 hàm số (1): $y=\frac{5x}{2-x}$, (2): $y=\frac{x^2}{x+1}$, (3): $y=\frac{x-2}{x^2-3x+2}$. Hàm số nào có đồ thị nhận đường thẳng $x=2$ là đường tiệm cận.

A. (1); (2)	B. (1)
C. (1); (3)	D. (3)

Câu 3: Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-3x+m}{x-m}$ không có tiệm cận?

A. $m=1$	B. $m=0$
C. $[\begin{array}{c}m=1\\ m=2\end{array}$	D. $[\begin{array}{c}m=0\\ m=1\end{array}$

Câu 4: Cho hàm số $y=\frac{1-2x}{x+1}$ tiệm cận đứng là:

A. $x=1$	B. $x=-1$
C. $y=1$	D. $y=-1$

(Còn tiếp)

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ!

--------------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Tìm tiệm cận của hàm số. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.