Bất đẳng thức trong tam giác
Chuyên đề Toán 9: Bất đẳng thức tam giác
Bài tập bất đẳng thức tam giác được VnDoc đăng tải sau đây bao gồm các nội dung chính như công thức bất đẳng thức tam giác và bài tập vận dụng chứng minh các bất đẳng thức Toán 9. Mời bạn đọc tham khảo tài liệu.
A. Bất đẳng thức tam giác
Nếu 
\(a;b;c\) là số đo ba cạnh của tam giác thì \(a;b;c > 0\) và \(\left\{ \begin{matrix}
|b - c| < a < b + c \\
|a - c| < b < a + c\ \ \ \\
\ |a - b| < c < b + a\ \\
\end{matrix} \right.\).
B. Bài tập chứng minh bất đẳng thức tam giác
Ví dụ 1: Biết \(a;b;c\) là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
| \(a^{2} + b^{2} + c^{2} < \ 2(ab + bc
+ ac)\) |
\(abc > (a + b - c)(b + c - a)(c + a -
b)\) |
Hướng dẫn giải
a. Vì \(a;b;c\) là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
0 < a < b + c \\
0 < b < a + c\ \ \ \\
\ 0 < c < b + a\ \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a^{2} < a(b + c) \\
b^{2} < b(a + c)\ \ \ \\
\ c^{2} < c(b + a)\ \\
\end{matrix} \right.\)
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:
\(a^{2} + b^{2} + c^{2} < a(b + c) +
b(a + c) + c(b + a)\ = 2(ab + bc + ca)\)
Vậy \(a^{2} + b^{2} + c^{2} < \ 2(ab +
bc + ac)\ \ (dpcm)\)
b. Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
|b - c| < a \Rightarrow a^{2} > a^{2} - (b - c)^{2} > 0 \\
|a - c| < b\ \Rightarrow b^{2} > b^{2} - (c - a)^{2} > 0\
\ \\
\ |a - b| < c \Rightarrow c^{2} > c^{2} - (a - b)^{2} > 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Nhân vế các bất đẳng thức ta được:
\(\Rightarrow a^{2}b^{2}c^{2} >
\left\lbrack a^{2} - (b - c)^{2} \right\rbrack.\left\lbrack b^{2} - (c -
a)^{2} \right\rbrack.\left\lbrack c^{2} - (a - b)^{2}
\right\rbrack\)
\(\Rightarrow a^{2}b^{2}c^{2} > (a + b
- c)^{2}(b + c - a)^{2}(c + a - b)^{2}\)
\(\Rightarrow abc > (a + b - c)(b + c -
a)(c + a - b)\)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có chu vi \(2p =
a + b + c\) (\(a;b;c\) là độ dài các cạnh của tam giác). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} + \frac{1}{p -
c} \geq 2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
\right)\)?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
p - a = \dfrac{b + c - a}{2} > 0 \\
p - b = \dfrac{a + c - b}{2} > 0 \\
p - c = \dfrac{b + a - c}{2} > 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x} +
\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}\) ta được:
\(\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} \geq
\frac{4}{(p - a) + (p - b)} = \frac{4}{c}\)
Tương tự: \(\frac{1}{p - b} + \frac{1}{p -
c} \geq \frac{4}{a}\) và \(\frac{1}{p -
a} + \frac{1}{p - c} \geq \frac{4}{b}\)
\(\Rightarrow 2\left( \frac{1}{p - a} +
\frac{1}{p - b} + \frac{1}{p - c} \right) \geq 4\left( \frac{1}{a} +
\frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)\)
Hay \(\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} +
\frac{1}{p - c} \geq 2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Dấu '' = '' xảy ra khi: \(p - a = p - b = p
- c \Leftrightarrow a = b = c\)
Khi đó tam giác ABC là đều.
