Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Bất đẳng thức trong tam giác

Bài tập bất đẳng thức tam giác được VnDoc đăng tải sau đây bao gồm các nội dung chính như công thức bất đẳng thức tam giác và bài tập vận dụng chứng minh các bất đẳng thức Toán 9. Mời bạn đọc tham khảo tài liệu.

A. Bất đẳng thức tam giác

Nếu a;b;ca;b;c là số đo ba cạnh của tam giác thì a;b;c > 0a;b;c>0\left\{ \begin{matrix}
|b - c| < a < b + c \\
|a - c| < b < a + c\ \ \  \\
\ |a - b| < c < b + a\  \\
\end{matrix} \right.{|bc|<a<b+c|ac|<b<a+c    |ab|<c<b+a .

B. Bài tập chứng minh bất đẳng thức tam giác

Ví dụ 1: Biết a;b;ca;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:

a^{2} + b^{2} + c^{2} < \ 2(ab + bc
+ ac)a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) abc > (a + b - c)(b + c - a)(c + a -
b)abc>(a+bc)(b+ca)(c+ab)

Hướng dẫn giải

a. Vì a;b;ca;b;c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có:

\left\{ \begin{matrix}
0 < a < b + c \\
0 < b < a + c\ \ \  \\
\ 0 < c < b + a\  \\
\end{matrix} \right.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a^{2} < a(b + c) \\
b^{2} < b(a + c)\ \ \  \\
\ c^{2} < c(b + a)\  \\
\end{matrix} \right.{0<a<b+c0<b<a+c    0<c<b+a  {a2<a(b+c)b2<b(a+c)    c2<c(b+a) 

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:

a^{2} + b^{2} + c^{2} < a(b + c) +
b(a + c) + c(b + a)\  = 2(ab + bc + ca)a2+b2+c2<a(b+c)+b(a+c)+c(b+a) =2(ab+bc+ca)

Vậy a^{2} + b^{2} + c^{2} < \ 2(ab +
bc + ac)\ \ (dpcm)a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)  (dpcm)

b. Ta có: \left\{ \begin{matrix}
|b - c| < a \Rightarrow a^{2} > a^{2} - (b - c)^{2} > 0 \\
|a - c| < b\  \Rightarrow b^{2} > b^{2} - (c - a)^{2} > 0\
\  \\
\ |a - b| < c \Rightarrow c^{2} > c^{2} - (a - b)^{2} > 0 \\
\end{matrix} \right.{|bc|<aa2>a2(bc)2>0|ac|<b b2>b2(ca)2>0   |ab|<cc2>c2(ab)2>0

Nhân vế các bất đẳng thức ta được:

\Rightarrow a^{2}b^{2}c^{2} >
\left\lbrack a^{2} - (b - c)^{2} \right\rbrack.\left\lbrack b^{2} - (c -
a)^{2} \right\rbrack.\left\lbrack c^{2} - (a - b)^{2}
\right\rbracka2b2c2>[a2(bc)2].[b2(ca)2].[c2(ab)2]

\Rightarrow a^{2}b^{2}c^{2} > (a + b
- c)^{2}(b + c - a)^{2}(c + a - b)^{2}a2b2c2>(a+bc)2(b+ca)2(c+ab)2

\Rightarrow abc > (a + b - c)(b + c -
a)(c + a - b)abc>(a+bc)(b+ca)(c+ab)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có chu vi 2p =
a + b + c2p=a+b+c (a;b;ca;b;c là độ dài các cạnh của tam giác). Chứng minh rằng: \frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} + \frac{1}{p -
c} \geq 2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
\right)1pa+1pb+1pc2(1a+1b+1c)?

Hướng dẫn giải

Ta có: \left\{ \begin{matrix}
p - a = \dfrac{b + c - a}{2} > 0 \\
p - b = \dfrac{a + c - b}{2} > 0 \\
p - c = \dfrac{b + a - c}{2} > 0 \\
\end{matrix} \right.{pa=b+ca2>0pb=a+cb2>0pc=b+ac2>0

Áp dụng bất đẳng thức \frac{1}{x} +
\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}1x+1y4x+y ta được:

\frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} \geq
\frac{4}{(p - a) + (p - b)} = \frac{4}{c}1pa+1pb4(pa)+(pb)=4c

Tương tự: \frac{1}{p - b} + \frac{1}{p -
c} \geq \frac{4}{a}1pb+1pc4a\frac{1}{p -
a} + \frac{1}{p - c} \geq \frac{4}{b}1pa+1pc4b

\Rightarrow 2\left( \frac{1}{p - a} +
\frac{1}{p - b} + \frac{1}{p - c} \right) \geq 4\left( \frac{1}{a} +
\frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)2(1pa+1pb+1pc)4(1a+1b+1c)

Hay \frac{1}{p - a} + \frac{1}{p - b} +
\frac{1}{p - c} \geq 2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
\right)1pa+1pb+1pc2(1a+1b+1c)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu '' = '' xảy ra khi: p - a = p - b = p
- c \Leftrightarrow a = b = cpa=pb=pca=b=c

Khi đó tam giác ABC là đều.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Chuyên đề Toán 9

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng