Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 10: Chứng minh các hệ thức hình học

Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 10: Chứng minh các hệ thức hình học được VnDoc.com sưu tầm nhằm giúp quá trình ôn tập và củng cố kiến thức chuẩn bị cho kì thi học kì mới môn Toán của các bạn học sinh lớp 9 trở nên thuận lợi hơn. Mời các bạn tham khảo

• 62 Bài tập Hình học lớp 9 ôn thi vào lớp 10
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 2: Giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 3: Phương trình bậc hai một ẩn
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 4
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 5: Hàm số và đồ thị
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 6: Chứng minh bất đẳng thức
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 7: Giải bất phương trình
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 8
• Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 9: Giải toán có nội dung số học

A. Kiến thức cần nhớ

1. Chứng minh tổng (hoặc hiệu) hai đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng thứ ba. Bạn có thể:

+ Chia đoạn thẳng lớn nhất hai thành phần, sao cho một phần bằng đoạn thẳng thứ nhất và chứng minh phần còn lại bằng đoạn thẳng thứ hai.

+ Dựng tổng của hai đoạn thẳng cho trước rồi chứng minh tổng này bằng đoạn thẳng thứ ba.

2. Chứng minh tổng (hoặc hiệu) hai góc bằng góc thứ ba 

+ Ta có thể làm tương tự như chứng minh tổng (hoặc hiệu) hai đoạn thẳng bằng đoạn thẳng thứ ba.

+ Dùng định lí về góc nội tiếp: Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90⁰) có số đi bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

3. Chứng minh hai hệ thức hình học bằng nhau:

a) Dùng định lí Ta - lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì tạo ra những cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

b) Hai tam giác đồng dạng thì các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, các cặp góc tương ứng bằng nhau.

c) Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

d) Dùng tính chất: Đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua điểm M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D.

Ta có: MA . MB = MC . MD

e) Dùng tính chất: Nếu từ một điểm M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB thì MT²  = MA . MB.

B. Bài tập chứng minh hệ thức hình học

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy điểm M bất kì trên cung nhỏ BC. Chứng minh rằng MB + MC = MA.

Phân tích tìm lời giải: Để chứng minh AM = BM + CM, lẽ tự nhiên chúng ta có hai ý tưởng: thứ nhất, tách AM  thành hai đoạn, đoạn thứ nhất bằng BM và chứng minh đoạn thứ hai bằng CM; thứ hai, có thể dụng một đoạn thẳng bằng BM + CM rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng AM. Thật vậy, ta có lời giải sau:

Cách 1. Trên tia MA lấy điểm D sao cho MD = MB

Tam giác BMD có MD = MB; $\widehat{BMD}=\widehat{BCA}={60}^0$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Suy ra tam giác BMD đều 

Suy ra BD = BM; $\widehat{MBD}={60}^0$

Xét tam giác ABD và tam giác CBM có AB = BC; $\widehat{B_1}=\widehat{B_3}\left(={60}^0-\widehat{B_2}\right);BD=BM$

nên $\mathrm{\Delta }ABD=\mathrm{\Delta }CBM\left(c-g-c\right)\Rightarrow AD=MC$

Vậy MB + MC = MD + AD = MA

Cách 2. Trên tia đối của tia MB, lấy điểm E sao cho ME = MC

Tứ giác ABMC nội tiếp có $\widehat{BAC}={60}^0$ nên $\widehat{BMC}={120}^0$ suy ra $\widehat{CME}={60}^0$

Suy ra tam giác CME đều

Suy ra CM = CE; $\widehat{C_3}={60}^0$

Xét tam giác ACM và tam giác BCE có AC = BC

$\widehat{ACM}=\widehat{BCE}\left(=\widehat{C_2}+{60}^0\right);CM=CE$ nên $\mathrm{\Delta }ACM=\mathrm{\Delta }BCE\left(c-g-c\right)$

Suy ra AM = BE = BM + ME hay AM = BM  + MC.

.............................................

Ngoài Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 10: Chứng minh các hệ thức hình học. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2019 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt