Cách xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Toán 11 Có đáp án chi tiết
Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Có đáp án
Trong chương trình Toán 11, chuyên đề hàm số liên tục là một nội dung quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của sự liên tục tại một điểm và trên một khoảng – nền tảng để học tốt giải tích ở lớp 12. Việc xét tính liên tục của hàm số tại một điểm không chỉ yêu cầu nắm vững khái niệm giới hạn, mà còn cần vận dụng linh hoạt các quy tắc và tính chất cơ bản của hàm số.
Bài viết Cách xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Toán 11 Có đáp án chi tiết sẽ hướng dẫn cụ thể từng bước xét tính liên tục, kèm ví dụ minh họa và đáp án chi tiết, giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và rèn luyện kỹ năng giải bài nhanh, chính xác trong các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng.
A. Cách xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Phương pháp giải:
Để xét sự liên tục của hàm số 
\(y =
f(x)\) tại điểm tại \(x_{0}\) ta thực hiện các bước :
- Bước 1: Tính \(f\left( x_{0}
\right)\)
- Bước 2: Tính \(\lim_{x \rightarrow
x_{0}}f(x)\) (trong nhiều trường hợp để tính \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)\) ta cần tính \(\lim_{x \rightarrow
x_{0}^{-}}f(x)\) và \(\lim_{x
\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)\)
- Bước 3: So sánh \(\lim_{x \rightarrow
x_{0}}f(x)\) và \(f\left( x_{0}
\right)\) rồi rút ra kết luận.
Chú ý: Hàm số không liên tục tại \(x_{0}\) thì được gọi là gián đoạn tại \(x_{0}\)
B. Ví dụ minh họa xét tính liên tục của hàm số
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: \(f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x + 3}{x - 1}\ \ \ khi\ x \neq 1\ \\- 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1\end{matrix} \right.\)(tại \(x =
1\))?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(f( - 1) = \frac{- 1 + 3}{- 1 - 1}
= - 1\)
\(\lim_{x \rightarrow - 1}f(x) = \lim_{x
\rightarrow - 1}\frac{x + 3}{x - 1} = - 1 = f( - 1)\)
=> Hàm số liên tục tại \(x = -
1\)
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
\(f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{2 - 7x + 5x^{2} - x^{3}}{x^{2} - 3x + 2}\ khi\ x \neq 2 \\1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2\end{matrix} \right.\) (tại \(x =
2\))
Hướng dẫn giải
Ta có: \(f(2) =1\)
Mà \(\lim_{x \rightarrow 2}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 2}\frac{2 - 7x + 5x^{2} - x^{3}}{x^{2} - 3x + 2}\)
\(= \lim_{x \rightarrow 2}\frac{(x - 2)\left(
- x^{2} + 3x - 1 \right)}{(x - 2)(x - 1)}\)\(= \lim_{x \rightarrow 2}\frac{- x^{2} +
3x - 1}{(x - 1)} = 1 = f(2)\)
Vậy hàm số liên tục tại \(x =
2\)
C. Bài tập xét tính liên tục của hàm số Toán 11 (Có đáp án chi tiết)
Bài tập 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a) \(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
1 - \cos x\ \ \ khi\ x \leq 0 \\
\sqrt{x + 1}\ \ \ \ \ khi\ x > 0
\end{matrix} \right.\) (tại \(x =
0\))
b) \(f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x - 1}{\sqrt{2 - x} - 1}\ \ \ khi\ x < 1 \\- 2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1\end{matrix} \right.\) (tại \(x =
1\))
Bài tập 2. Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}\ \ \ khi\ x \neq 1\ \\
\frac{1}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \
\end{matrix} \right.\)(tại \(x =
1\))
Bài tập 3. Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\frac{x - 5}{\sqrt{2x - 1} - 3}\ \ khi\ x > 5 \\
(x - 5)^{2} + 3\ \ \ khi\ x \leq 5\
\end{matrix} \right.\)(tại \(x =
5\))
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
--------------------------------------------
Với bài viết Cách xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Toán 11 Có đáp án chi tiết, học sinh sẽ nắm vững lý thuyết, thành thạo các dạng bài thường gặp và tự tin chinh phục phần hàm số liên tục trong đề thi. Hãy tiếp tục ôn luyện với các chuyên đề Toán 11 khác như giới hạn, đạo hàm và ứng dụng, để củng cố kiến thức vững chắc, chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi học kỳ và kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới.
