Cách xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn Toán 11 Có đáp án chi tiết
Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, trên đoạn Toán 11
Trong chương trình Giải tích Toán 11, nội dung xét tính liên tục của hàm số trên khoảng hoặc đoạn là phần kiến thức quan trọng, giúp học sinh hiểu sâu về bản chất của hàm số và khả năng vận dụng vào các bài toán thực tế. Việc nắm vững điều kiện liên tục trên khoảng, đoạn không chỉ giúp giải đúng bài tập tự luận và trắc nghiệm, mà còn là bước nền tảng cho chuyên đề giới hạn và đạo hàm ở lớp 12.
Bài viết Cách xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn Toán 11 Có đáp án chi tiết cung cấp hệ thống lý thuyết cơ bản, các bước xét tính liên tục cụ thể, kèm bài tập minh họa có đáp án chi tiết, giúp học sinh ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong các kỳ kiểm tra, thi học kỳ và kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.
A. Cách xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn
Phương pháp
- Để chứng minh hàm số
\(y = f(x)\) liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận. - Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó.
- Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào.
B. Ví dụ minh họa xét tính liên tục của hàm số
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng:
\(f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} + x + 2}{x^{3} + 1}\ \ \ khi\ x \neq - 1\ \\\frac{4}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = - 1\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\lim_{x \rightarrow - 1}f(x) = \lim_{x
\rightarrow - 1}\frac{x^{3} + x + 2}{x^{3} + 1}\)
\(= \lim_{x \rightarrow - 1}\frac{x^{3} +
1 + (x + 1)}{x^{3} + 1}\)
\(= \lim_{x \rightarrow - 1}\left( 1 +
\frac{1}{x^{2} - x + 1} \right) = \frac{4}{3}\)
Do đó, hàm số này liên tục tại \(x = -
1\).
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng:
\(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} - 3x + 4\ \ \ khi\ x < 2\ \\
5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2\ \\
2x + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left. \ b \right)\ \lim_{x \rightarrow
2^{-}}\left( x^{2} - 3x + 4 \right)\ = 2;\ \lim_{x \rightarrow
2^{+}}(2x + 1) = 5\)
Mà \(f(x) = 5\) khi \(x = 2\)
\(\Rightarrow \lim_{x \rightarrow
2^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2}f(x) \neq \lim_{x \rightarrow
2^{-}}f(x)\)
Do đó, hàm số đã cho liên tục khi \(x \geq
2\).
Ví dụ 3. Tìm các giá trị của \(m\) để hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
\(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}\ \ \ \ \ khi\ x \neq - 2 \\
m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = - 2\ \
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
Hàm số \(f(x)\) liên tục với \(\forall x \neq 2\).
Do đó \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R \Leftrightarrow}f(x)\) liên tục tại \(x = 2\)
\(\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow
2}f(x) = f(2)\) \((1)\)
Ta có:
\(\lim_{x \rightarrow 2}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x \rightarrow
2}\frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)}\)
\(= \lim_{x \rightarrow 2}(x + 1) = 2 + 1
= 3;f(2) = m\)
Khi đó \((1) \Leftrightarrow 3 = m
\Leftrightarrow m = 3\).
C. Bài tập xét tính liên tục trên khoảng, đoạn Toán 11 (Có lời giải)
Bài tập 1. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng:
\(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\frac{x^{2} - 4}{x + 2}\ \ \ \ \ khi\ x \neq - 2 \\
- 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = - 2\ \
\end{matrix} \right.\).
Bài tập 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng:
\(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\frac{x^{2} - 2}{x - \sqrt{2}}\ \ \ \ \ khi\ x \neq \sqrt{2} \\
2\sqrt{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \sqrt{2}\ \
\end{matrix} \right.\).
Bài tập 3. Tìm các giá trị của \(m\) để hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng: \(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + x\ \ \ \ \ \ khi\ x < 1\ \ \ \ \ \ \ \\
2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\
mx + 1\ \ \ \ \ khi\ x > 1\ \
\end{matrix} \right.\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
--------------------------------------------------------------------------
Qua bài viết Cách xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn Toán 11 Có đáp án chi tiết, học sinh sẽ nắm chắc các dạng bài tập quan trọng và hiểu rõ cách vận dụng lý thuyết vào thực hành. Hãy luyện tập thêm các bài tập hàm số liên tục Toán 11 có đáp án và các chuyên đề giới hạn – đạo hàm – tính đơn điệu của hàm số, để củng cố kiến thức vững vàng và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi sắp tới.
