Ứng dụng tính liên tục của hàm số giải phương trình Toán 11 có đáp án

Trong chương trình Giải tích Toán 11, việc ứng dụng tính liên tục của hàm số để giải phương trình là nội dung quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa lý thuyết và thực hành. Dựa vào tính liên tục của hàm số, ta có thể chứng minh sự tồn tại nghiệm, xác định khoảng nghiệm và giải quyết các bài toán nâng cao một cách nhanh chóng, chính xác.

Bài viết Ứng dụng tính liên tục của hàm số giải phương trình Toán 11 có đáp án sẽ giúp học sinh nắm chắc phương pháp giải, bước lập luận chi tiết, cùng bài tập minh họa có đáp án cụ thể, phục vụ tốt cho quá trình ôn tập và chuẩn bị thi học kỳ, thi THPT Quốc gia môn Toán.

A. Các bước xét và áp dụng tính liên tục để giải phương trình

Chú ý:

• Nếu \(f(a).f(b) < 0\) thì phương trình có nghiệm thuộc \(\lbrack a;b\rbrack\)
• Để chứng minh \(f(x) = 0\) có ít nhất \(n\) nghiệm trên \(\lbrack a;b\rbrack\) , ta chia đoạn \(\lbrack a;b\rbrack\) thành \(n\) khoảng nhỏ rời nhau, rồi chứng minh trên mỗi khoảng đó phương trình có ít nhất một nghiệm.

B. Ví dụ minh họa Ứng dụng tính liên tục giải phương trình (Có đáp án chi tiết)

Hướng dẫn giải

Dễ thấy hàm \(f(x) = x^{3} - 3x + 1\) liên tục trên \(R\).

Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = - 1 \\ f( - 1) = 3 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow f( - 2).f( - 1) < 0\)

=> Tồn tại một số \(a_{1} \in ( - 2; - 1):f\left( a_{1} \right) = 0(1).\)

\(\left\{ \begin{matrix} f(0) = 1 \\ f(1) = - 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow f(0).f(1) < 0\)

=> Tồn tại một số \(a_{2} \in (0;1):f\left( a_{2} \right) = 0(2).\)

\(\left\{ \begin{matrix} f(1) = - 1 \\ f(2) = 3 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow f(1).f(2) < 0\)

=> Tồn tại một số \(a_{3} \in (1;2):f\left( a_{3} \right) = 0(3).\)

Do ba khoảng \(( - 2; - 1),(0;1)\) và \((1;2)\) đôi một không giao nhau nên phương trình \(x^{3} - 3x + 1 = 0\) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.

Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên \(x^{3} - 3x + 1 = 0\) có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Xét \(f(x) = x^{5} - 3x + 3\)

\(\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = + \infty \Rightarrow\) tồn tại một số \(x_{1} > 0\) sao cho \(f\left( x_{1} \right) > 0.\)

\(\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - \infty \Rightarrow\) tồn tại một số \(x_{2} < 0\) sao cho \(f\left( x_{2} \right) < 0.\)

Từ đó \(f\left( x_{1} \right).f\left( x_{2} \right) < 0 \Rightarrow\) luôn tồn tại một số \(x_{0} \in \left( x_{2};x_{1} \right):f\left( x_{0} \right) = 0\) nên phương trình \(x^{5} - 3x + 3 = 0\) luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét \(\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 1 \end{matrix} \right.\). Phương trình có dạng \(x^{2} - x - 3 = 0\) nên phương trình có nghiệm

Với \(\left\{ \begin{matrix} m \neq 1 \\ m \neq 1 \end{matrix} \right.\) giả sử \(f(x) = \left( 1 - m^{2} \right)(x + 1)^{3} + x^{2} - x - 3\)

\(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(f(x)\) liên tục trên \(\lbrack - 1;0\rbrack\)

Ta có \(f( - 1) = m^{2} + 1 > 0;\ f(0) = - 1 < 0 \Rightarrow f( - 1).f(0) < 0\)

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số \(m\).

C. Bài tập vận dụng ứng dụng tính liên tục giải phương trình

Bài tập 1. Chứng minh rằng phương trình \(2x + 6\sqrt[3]{1 - x} = 3\) có 3 nghiệm phân biệt?

Bài tập 2. Chứng minh rằng phương trình \(x^{4} + x^{3} - 3x^{2} + x + 1 = 0\) luôn có nghiệm?

Bài tập 3. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:

a) \(\cos x + mcos2x = 0\)                         b) \(m\left( 2\cos x - \sqrt{2} \right) = 2\sin5x +1\)

Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.

-------------------------------------------------------------------

Thông qua bài viết Ứng dụng tính liên tục của hàm số giải phương trình Toán 11 có đáp án, học sinh sẽ hiểu sâu hơn về cách vận dụng lý thuyết hàm số liên tục để tìm nghiệm phương trình nhanh, chính xác. Hãy luyện tập thêm các bài tập hàm số liên tục Toán 11 khác để củng cố kiến thức, rèn kỹ năng tư duy và đạt điểm cao trong các kỳ kiểm tra và kỳ thi quan trọng sắp tới.