Các công thức về hình chóp đều

Chuyên đề Toán 8: Các công thức về hình chóp đều tổng hợp lý thuyết kèm bài tập chuyên về hình chóp đều. Bên cạnh đó, chúng tôi có bổ sung thêm kiến thức về các hình chóp ít được nhắc đến trong sách giáo khoa. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các em học sinh ôn tập củng cố kiến thức chuẩn bị tốt cho bài giảng sắp tới.

A. Lý thuyết

1. Công thức diện tích của hình chóp đều

2. Công thức thể tích của hình chóp đều

3. Ví dụ áp dụng

Hướng dẫn:

a) Ta có ABCD là hình vuông, khi đó nửa chu vi bằng:

+ BD = AC = √(8² + 8²) = 8√2 cm ⇒ AO = BO = CO = DO = 4√2 cm

Do đó:

+ Diện tích xung quanh của hình chóp đều là:

S_xq = p.d = p.OB = 16.4√2 = 64√2 cm²

+ Diện tích toàn phần của hình chóp đều là

S_tp = S_xq + S_ABCD = 64√ 2 + 8² = 64 + 64√ 2 cm²

b) Thể tích của hình chóp đều là:

V = 1/3S.h = 1/3.S_ABCD.SO = 1/3.8².10 = 640/3cm³

B. Trắc nghiệm & Tự luận

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 cm, chiều cao của hình chóp là h = 2 cm. Thể tích của hình chóp đã cho là?

A. 6 cm³

B. 18 cm³

C. 12 cm³

D. 9 cm³

Lời giải:

Áp dụng công thức thể tích của hình chóp ta có:

V = 1/3h.S_ABCD = 1/3.2.3² = 6 cm³

Chọn đáp án A.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, BC = 5 cm. Biết thể tích của hình chóp S.ABCD bằng 36 cm³. Tính độ dài đường cao của hình chóp?

A. 6 cm

B. 8 cm

C. 5,4 cm

D. 7,2 cm

Lời giải:

Áp dụng công thức thể tích của hình chóp ta có:

V = 1/3.h.S_ABCD

Chọn đáp án C.

Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4 cm, các mặt bên là tam giác cân có độ dài cạnh bên là 6 cm. Diện tích xung quanh của hình chóp đã cho là?

A. 32 cm²

B. 32√2 cm²

C. 16√2 cm²

D. 16 cm²

Lời giải:

Chu vi của đáy ABCD là 2(4 + 4) = 16 cm

Gọi d là độ dài trung đoạn của hình chóp

Ta có: d = √(6² - 2²) = 4√2 cm

Áp dụng công thức diện tích xung quanh của hình chóp: S_xq = p.d

⇒ S_xq = 8.4√2 = 32√2 cm²

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 4 cm, chiều cao của hình chóp là 6 cm. Tính thể tích của hình chóp là?

A. 8 cm³

B. 8√3 cm³

C. 9 cm³

D. 16√3 cm³

Chọn đáp án B

Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều cạnh 5 cm và độ dài trung đoạn là 6 cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp?

A. 40 cm²

B. 36 cm²

C. 45 cm²

D. 50 cm²

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 6: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên là 13 cm và đáy là hình vuông cạnh 10 cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp?

A. 100 cm²

B. 120 cm²

C. 150 cm²

D. 240 cm²

Chọn đáp án D

II. Bài tập tự luận

Hướng dẫn:

Gọi M là trung điểm của BC thì SM là đường cao của mặt bên SBC (vì tam giác SBC cân tại S)

Áp dụng công thức: S_tp = S_xq + S_d

Ta có:(với p = 60 cm)

Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác SCM vuông tại M

SC² = CM² + SM² ⇒ 25² = 15² + SM² ⇔ SM² = 20² ⇔ SM = 20 cm

Do đó: S_xq = 60.20 = 1 200 cm²

⇒ S_tp = 1 200 + 900 = 2 100 cm²

Hướng dẫn:

Xét hình chóp S.ABC có AB = AC = BC = a và SH = 2a.

Gọi M là trung điểm của BC thì AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều ABC nên AM ⊥ BC và HM = 1/3AM.

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABM vuông tại M ta được:

AB² = BM² + AM² ⇒ a² = ( a/2 )² + AM²

Do đó HM = (a√3) /6.

Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác vuông SHM vuông tại H, ta có:

SM² = HM² + SH² ⇒ SM² = ( (a√3) /6 )² + ( 2a )²

Bài 3: a) Tính thể tích của hình chóp tam giác đều, biết diện tích đáy bằng 6 cm và chiều cao bằng 4 cm

b) Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều, biết chiều cao bằng 10 cm và cạnh đáy bằng 4 cm.

c) Tính độ dài trung đoạn của hình chóp tứ giác đều biết diện tích xung quanh của hình chóp là 60 cm, độ dài cạnh đáy 6 cm.

d) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều biết cạnh đáy là 12 cm, chiều cao mặt bên là 8 cm.

e) Tính chu vi đáy của hình chóp tứ giác đều biết thể tích của hình chóp là 125 cm,chiều cao của hình chóp là 15 cm.

f) Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều biết độ dài cạnh đáy là 10 cm, trung đoạn của hình chóp là 12 cm.

Bài 4:

a) Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 5 cm, trung đoạn 6,5 cm, chiều cao hình chóp là 6 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tứ giác đều?

b) Cho hình chóp tứ giác đều có chu vi mặt đáy bằng 40 cm, trung đoạn bằng 13 cm, chiều cao hình chóp bằng 12 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tứ giác đều?

c) Một hình chóp tứ giác đều có chiều cao bằng 15 cm, trung đoạn bằng 17 cm, độ dài cạnh đáy của hình chóp bằng 16 cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt của hình chóp), thể tích của hình chóp tứ giác đều?

d) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 8 cm, trung đoạn bằng 5 cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt của hình chóp) của hình chóp tứ giác đều đó?