Các phép biến đổi lượng giác Cánh Diều
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác 
\(\sin \left( {a - b} \right);\cos \left( {a + b} \right);\tan \left( {a + b} \right)\) biết \(\sin a = \frac{8}{{17}};\tan b = \frac{5}{{12}}\) và \(a;b\) là các góc nhọn.
Hướng dẫn giải
Vì a và b là các góc nhọn nên \(\cos a > 0;\cos b > 0;\sin b > 0\)
Khi đó: \(\cos b = \sqrt {\frac{1}{{{{\tan }^2}b + 1}}} = \frac{{12}}{{13}}\)
\(\Rightarrow \sin b = \frac{5}{{13}}\)
\(\cos a = \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = \frac{{15}}{{17}}\)
Vậy
\(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b = \frac{{21}}{{221}}\)
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b = \frac{{140}}{{221}}\)
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = \frac{{171}}{{140}}\)
2. Công thức nhân đôi
- \(\sin 2a = 2\sin a.\cos b\)
- \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\)
- \(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\)
Mở rộng công thức nhân ba
- \(\sin 3a = 3\sin a - 4{\sin ^3}a\)
- \(\cos 3a = 4{\cos ^3}a - 3\cos a\)
Ví dụ: Chứng minh hệ thức sau: \(\dfrac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{2\cot \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right).{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)}} = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}}\)
Hướng dẫn giải
Biến đổi vế trái ta được:
\(VT = \dfrac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{2\cot \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right).{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)}}\)
\(= \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{\cot \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right).\left[ {1 + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - 2x} \right)} \right]}}\)
\(= \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{\cot \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right).\left( {1 + \sin 2x} \right)}}\)
\(= \tan \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right).\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \sin 2x}}\)
\(= \frac{{1 + \sin 2x}}{{\cos 2x}}.\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \sin 2x}} = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}}\)
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
- \(\sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\)
- \(\sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)
- \(\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\)
Ví dụ: Biến đổi thành tổng:
a) \(2\sin x\sin 2x\sin 3x\)
b) \(8\cos x.\sin 2x.\sin 3x\)
Hướng dẫn giải
a) \(2\sin x\sin 2x\sin 3x\)
\(= \sin 3x\left( {\cos x - \cos 3x} \right)\)
\(= \frac{1}{2}.\left( {2\sin 3x\cos x - \sin 6x} \right)\)
\(= \frac{1}{2}.\left( {\sin 4x + \sin 2x - \sin 6x} \right)\)
b) \(8\cos x.\sin 2x.\sin 3x\)
\(= 4\sin 3x\left( {\sin 3x + \sin x} \right)\)
\(= 4{\sin ^2}3x + \sin 3x\sin x\)
\(= 4{\sin ^2}3x + 2\cos 2x - 2\cos 4x\)
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
|
· |
|
Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(A = \frac{{\cos 7x - \cos 8x - \cos 9x + \cos 10x}}{{\sin 7x - \sin 8x - \sin 9x + \sin 10x}}\)
b) \(B = \frac{{\sin 2x + 2\sin 3x + \sin 4x}}{{\sin 3x + 2\sin 4x + \sin 5x}}\)
c) \(C = \frac{{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{\cos x + 2{{\cos }^2}x - 1}}\)
d) \(D = \frac{{\sin 4x + \sin 5x + \sin 6x}}{{\cos 4x + \cos 5x + \cos 6x}}\)
Hướng dẫn giải
\(\begin{matrix}
{\text{A}} = \dfrac{{(\cos 10x + \cos 7x) - (\cos 9x + \cos 8x)}}{{(\sin 10x + \sin 7x) - (\sin 9x + \sin 8x)}} \hfill \\
= \dfrac{{2\cos \dfrac{{17x}}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2} - 2\cos \dfrac{{17x}}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}{{2\sin \dfrac{{17x}}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2} - 2\sin \dfrac{{17x}}{2}\cos \dfrac{x}{2}}} \hfill \\
= \dfrac{{2\cos \dfrac{{17x}}{2}\left( {\cos \dfrac{{3x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right)}}{{2\sin \dfrac{{17x}}{2}\left( {\cos \dfrac{{3x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right)}} = \cot \dfrac{{17x}}{2} \hfill \\
\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}
B = \dfrac{{(\sin 4x + \sin 2x) + 2\sin 3x}}{{(\sin 5x + \sin 3x) + 2\sin 4x}} \hfill \\
= \dfrac{{2\sin 3x.\cos x + 2\sin 3x}}{{2\sin 4x.\cos x + 2\sin 4x}} \hfill \\
= \dfrac{{2\sin 3x(\cos x + 1)}}{{2\sin 4x(\cos x + 1)}} = \dfrac{{\sin 3x}}{{\sin 4x}} \hfill \\
\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}
C = \dfrac{{(\cos 3x + \cos x) + 1 + 2{{\cos }^2}x - 1}}{{\cos x + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)}} \hfill \\
= \dfrac{{2\cos 2x.\cos x + 2{{\cos }^2}x}}{{\cos x + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)}} \hfill \\
= \dfrac{{2\cos x(\cos 2x + \cos x)}}{{\cos x + \cos 2x}} = 2\cos x \hfill \\
\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}
D = \dfrac{{(\sin 6x + \sin 4x) + \sin 5x}}{{(\cos 6x + \cos 4x) + \cos 5x}} \hfill \\
= \dfrac{{2\sin 5x.\cos x + \sin 5x}}{{2\cos 5x.\cos x + \cos 5x}} \hfill \\
= \dfrac{{\sin 5x(2\cos x + 1)}}{{\cos 5x(2\cos x + 1)}} = \tan 5x \hfill \\
\end{matrix}\)
