Cấp số nhân Cánh Diều
Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi 
\(q\) , tức là:
\(u_{n} = u_{n - 1}.q;(q \geq
2)\)
Số \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân.
Chú ý:
- Nếu \(\left( u_{n} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q\) và \(u_{n} \neq 0\) với mọi \(n \geq 1\) thì với số tự nhiên \(n \geq 2\) ta có: \(\frac{u_{n}}{u_{n - 1}} = q\) .
- Khi \(q = 1\) thì cấp số nhân là một dãy số không đổi.
Ví dụ: Xét trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân, (nếu có) hãy tìm công bội của cấp số nhân đó:
| a) \(u_{n} = ( - 3)^{2n + 1}\) |
b) \(u_{n} = ( - 1)^{n}.5^{3n +
2}\) |
| c) \(\left\{ \begin{matrix}
u_{1} = 2 \\
u_{n + 1} = {u^{2}}_{n} \\
\end{matrix} \right.\) |
d) \(\left\{ \begin{matrix}
u_{1} = 3 \\
u_{n + 1} = \frac{9}{u_{n}} \\
\end{matrix} \right.\) |
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =
\frac{( - 3)^{2(n + 1) + 1}}{( - 3)^{2n + 1}} = \frac{( - 3)^{2n + 3}}{(
- 3)^{2n + 1}} = ( - 3)^{2} = 9\) không phụ thuộc vào \(n\)
Vậy \(\left( u_{n} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = 9\) .
b) Ta có:
\(\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =
\frac{( - 1)^{n}.5^{3(n + 1) + 2}}{( - 1)^{n}.5^{3n + 2}} = - 1.5^{3} =
- 125\) không phụ thuộc vào \(n\)
Vậy \(\left( u_{n} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = -
125\).
c) Ta có: \(u_{2} = {u_{1}}^{2} =
4\) ; \(u_{3} = {u_{2}}^{2} =
16\) ; \(u_{4} = {u_{3}}^{2} =
256\)
\(\Rightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} =
\frac{4}{2} = 2\) và \(\frac{u_{4}}{u_{3}} = \frac{256}{16} =
16\)
Nhận thấy \(\frac{u_{2}}{u_{1}} \neq
\frac{u_{4}}{u_{3}}\)
Vậy \(\left( u_{n} \right)\) là không một cấp số nhân.
d) Ta có:
\(\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{9}{u_{n}}}{\dfrac{9}{u_{n - 1}}} = \dfrac{u_{n -1}}{u_{n}}\)
\(\Rightarrow u_{n + 1} = u_{n -
1};\forall n \geq 2\)
Do đó ta có:
\(u_{1} = u_{3} = u_{5} = ... = u_{2n + 1}
= ...(*)\)
\(u_{2} = u_{4} = u_{6} = ... = u_{2n} =
...(**)\)
Theo đề bài ta có: \(u_{1} = 3 \Rightarrow
u_{2} = \frac{9}{u_{1}} = 3(***)\)
Từ (*), (**) và (***) suy ra \(u_{1} =
u_{2} = u_{3} = u_{4} = u_{5} = u_{6} = ... = u_{2n} = u_{2n + 1} =
...\)
Vậy \(\left( u_{n} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = 1\).
2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số nhân \(\left( u_{n}
\right)\) có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_{n}\) được xác định bởi công thức:
\(u_{n} = u_{1}.q^{n - 1};(n \geq
2)\)
Tính chất
Ba số hạng \(u_{n - 1},u_{n},u_{n +
1}\) là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi \({u_{n}}^{2} = u_{n - 1}.u_{n + 1}\) với \(n \geq 1\).
Ví dụ: Cho ba số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm ba số đó.
Hướng dẫn giải
Gọi \(u_{1};u_{2};u_{3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Theo bài ra ta có:
Tổng ba số dương bằng 65 suy ra \(u_{1} +
u_{2} + u_{3} = 65(*)\)
\(u_{1} - 9;u_{2};u_{3} - 19\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng suy ra \(u_{1} - 1 + u_{3} - 19 = 2u_{2}(**)\)
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{matrix}
u_{1} + u_{2} + u_{3} = 65 \\
u_{1} - 1 + u_{3} - 19 = 2u_{2} \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
u_{1} + u_{2} + u_{3} = 65 \\
u_{1} - 2u_{2} + u_{3} = 20 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
u_{1} + u_{1}q + u_{1}q^{2} = 65 \\
u_{1} - 2u_{1}q + u_{1}q^{2} = 20 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
u_{1}\left( 1 + q + q^{2} \right) = 65 \\
u_{1}\left( 1 - 2q + q^{2} \right) = 20 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow \frac{1 + q + q^{2}}{1 - 2q
+ q^{2}} = \frac{13}{4}\)
\(\Leftrightarrow 4\left( 1 + q + q^{2}
\right) = 13\left( 1 - 2q + q^{2} \right)\)
\(\Leftrightarrow 9q^{2} - 30q + 9 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}q = 3 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} \right.\)
Vì \(u_{1};u_{2};u_{3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân tăng dần nên chọn \(q = 3\)
\(\Rightarrow u_{1} = 5 \Rightarrow u_{2}
= 15;u_{3} = 45\)
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân \(\left( u_{n}
\right)\) có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q \neq 1\).
Đặt \(S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... +
u_{n}\) . Khi đó:
\(S_{n} = \frac{u_{1}.\left( 1 - q^{n}
\right)}{1 - q}\)
Chú ý: Nếu \(q =
1\) thì \(S_{n} = n.u_{1}\)
Ví dụ: Tính tổng của dãy số
a) \(S_{n} = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... +
2^{n}\)
b) \(S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}}
+ \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}}\)
Hướng dẫn giải
a) \(S_{n} = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... +
2^{n}\)
Ta có:
\(2;2^{2};2^{3};...;2^{n}\) là một cấp số nhân với n số hạng có số hạng đầu \(u_{1} = 2\) và công bội \(q = 2\).
Do đó:
\(S_{n} = u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 - q} =
2.\frac{1 - 2^{n}}{1 - 2} = 2\left( 2^{n} - 1 \right)\)
b) \(S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}}
+ \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}}\)
Ta có:
\(\frac{1}{2};\frac{1}{2^{2}};\frac{1}{2^{3}};...;\frac{1}{2^{n}}\) là một cấp số nhân với n số hạng có số hạng đầu \(u_{1} = \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\) .
Do đó:
\(S_{n} = u_{1}.\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q} =2.\dfrac{1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n}}{1 - \dfrac{1}{2}} = 1 -\frac{1}{2^{n}}\)
