Hai mặt phẳng vuông góc Cánh Diều
Hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một trong các góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì hai mặt phẳng đã cho gọi là vuông góc với nhau.
Giả sử hai mặt phẳng 
\((M),(N)\) vuông góc với nhau. Kí hiệu là \((M)\bot(N)\) hay \((N)\bot(M)\).
Minh họa
II. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Định lí 1
Nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng mà đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Minh họa
Ví dụ: Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC =
BC;AD = BD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh rằng \((CDM)\bot(ABC)\) và \((CDM)\bot(ABD)\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Vì \(MA = MB\) nên \(\left\{ \begin{matrix}
AB\bot CM \\
AB\bot DM \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow AB\bot(CDM)\)
Hai mặt phẳng \((ABC);(ABD)\) đều chứa đường thẳng \(AB\) nên \((CDM)\bot(ABC)\) và \((CDM)\bot(ABD)\).
III. Tính chất
Định lí 2
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Minh họa
Ví dụ: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\). Các tam giác \(SAC,SBD\) cân. Chứng minh rằng:
a) \(SO\bot(ABCD)\)
b) \((SAC)\bot(SBC)\)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Ta có: Tam giác \(SAC;SBD\) cân tại \(S\) nên \(SO\bot AC,SO\bot BD\)
\(\Rightarrow SO\bot(ABCD)\)
b) Ta có: \(SO\bot(ABCD) \Rightarrow AC\bot
SO\) và \(AC\bot BD\) (vì \(ABCD\) là hình thoi)
\(\Rightarrow AC\bot(SBD)\)
\(\Rightarrow (SAC)\bot(SBD)\)
Định lí 3
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
Minh họa
Ví dụ: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\). Hai mặt phẳng \((SAD);(SAB)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên các cạnh \(SB,SD\). Chứng minh rằng \((SAC)\bot(AHK)\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
(SAB)\bot(ABCD) \\
(SAD)\bot(ABCD) \\
(SAB) \cap (SAD) = SA \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow SA\bot(ABCD) \Rightarrow
BC\bot SA\)
Mà \(BC\bot AB\) \(\Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow
(SBC)\bot(SAB)\)
Lại có: \((SBC) \cap (SAB) = SB\) và \(AH\bot SB \Rightarrow AH\bot(SBC)
\Rightarrow AH\bot SC(*)\)
Chứng minh tương tự ta có: \((SCD)\bot(SAD)\)
Lại có: \((SCD) \cap (SAD) = SD\) và \(AK\bot SD \Rightarrow AK\bot(SCD)
\Rightarrow AK\bot SC(**)\)
Từ (*) và (**) suy ra \(SC\bot(AHK)
\Rightarrow (SAC)\bot(AHK)\)
