Giới hạn của dãy số Cánh Diều
1. Định nghĩa giới hạn của dãy số
a) Dãy số có giới hạn 0
Dãy số 
\(\left( u_{n} \right)\) có giới hạn \(0\) khi \(n\) dần tới dương vô cực nếu \(\left| u_{n} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\lim_{n \rightarrow + \infty}u_{n} =
0\).
Chú ý:
- Ngoài cách viết \(\lim_{n \rightarrow +
\infty}u_{n} = 0\) ta có thể viết \(\lim u_{n} = 0\) hay \(u_{n} \rightarrow 0\) khi \(n \rightarrow + \infty\).
- \(\lim\frac{1}{n} = 0\)
- Nếu \(u_{n}\) ngày càng gần đến 0 khi \(n\) ngày càng lớn thì \(\lim u_{n} = 0\).
Ví dụ: Chứng minh dãy số sau có giới hạn là 0.
| a) \(u_{n} = \frac{( -1).\cos n}{n^{4}}\) |
b) \(u_{n} = \frac{1}{n(2n +
3)}\) |
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\left| u_{n} \right| = \left|
\frac{( - 1).cosn}{n^{4}} \right| \leq \frac{1}{n^{4}}\)
Mà \(\lim\frac{1}{n^{4}} = 0 \Rightarrow
\lim u_{n} = 0\)
b) Ta có: \(\left| u_{n} \right| = \left|
\frac{1}{n(2n + 3)} \right| = \left| \frac{1}{2n^{2} + 3n} \right| \leq
\frac{2}{n^{2}}\)
Mà \(\lim\frac{1}{n^{2}} = 0 \Rightarrow
\lim u_{n} = 0\)
b) Dãy số có giới hạn hữu hạn
Dãy số \(\left( u_{n} \right)\) có giới hạn hữu hạn bằng \(a\) khi \(n\) dần tới dương vô cực nếu
\(\lim_{n \rightarrow + \infty}\left( u_{n} - a
\right) = 0\)
Kí hiệu là \(\lim_{n
\rightarrow + \infty}u_{n} = a\)
Chú ý:
- Ngoài cách viết \(\lim_{n \rightarrow +
\infty}u_{n} = a\) ta có thể viết \(\lim u_{n} = a\) hay \(u_{n} \rightarrow a\) khi \(n \rightarrow + \infty\).
- Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
- Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số \(\left( u_{n} \right)\) với \(u_{n} = ( - 1)^{n}\).
Ví dụ: Cho dãy số \(\left(
v_{n} \right)\) xác định bởi công thức \(v_{n} = \frac{1}{n^{3} + 2}\). Bằng định nghĩa hãy chứng minh \(\lim v_{n} =
2\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\lim\left( v_{n} - 2 \right) =
\lim\left( \frac{1}{n^{3}} + 2 - 2 \right) = \lim\frac{1}{n^{3}} =
0\)
Vậy \(\lim v_{n} = 2\)
2. Một số giới hạn cơ bản
- \(\lim\frac{1}{u} = 0,lim\frac{1}{u^{k}} =
0,\left( k \in \mathbb{N}^{*} \right)\).
- \(\lim\frac{c}{n} = 0;lim\frac{c}{n^{k}} =
0\) với \(c = const;k \in
\mathbb{N}^{*}\).
- \(\lim q^{n} = 0;\left( |q| < 1
\right)\)
- \(\lim\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} =
e;(e = 2,718...)\)
B. Định lí về giới hạn hữu hạn
a) Nếu \(\lim_{n \rightarrow + \infty}u_{n}
= a;\lim_{n \rightarrow + \infty}v_{n} = b\) thì
| \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(
u_{n} + v_{n} \right) = a + b\) |
\(\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(
u_{n}.v_{n} \right) = a.b\) |
| \(\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(
u_{n} - v_{n} \right) = a - b\) |
\(\lim_{n \rightarrow + \infty}\left(
\frac{u_{n}}{v_{n}} \right) = \frac{a}{b};(b \neq 0)\) |
b) Nếu \(\left\{ \begin{gathered}
{u_n} \geqslant 0;\forall n \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a \hfill \\
\end{gathered} \right.\) thì \(\left\{ \begin{gathered}
a > 0 \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Ví dụ: Tính các giới hạn:
| a) \(\lim\frac{n(n + 1)}{(n +
4)^{3}}\) |
b) \(\lim\frac{n\sqrt{n} - 1}{n +
n\sqrt{n}}\) |
| c) \(\lim\frac{2n^{3} + 2n - 1}{3n^{3} - n
+ 3}\) |
d) \(\lim\left( \sqrt{n^{2} + 2n + 3} - n
\right)\) |
Hướng dẫn giải
a) \(\lim\frac{n(n + 1)}{(n + 4)^{3}} =
\lim\frac{n^{2} + n}{(n + 4)^{3}}\)
\(= \lim\dfrac{\dfrac{1}{n} +\dfrac{1}{n^{2}}}{\left( 1 + \dfrac{4}{n} \right)^{3}} = 0\)
b) \(\lim\frac{n\sqrt{n} - 1}{n +
n\sqrt{n}} = \lim\frac{n^{\frac{3}{2}} - 1}{n +
n^{\frac{3}{2}}}\)
\(= \lim\frac{1 -
\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}{\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} + 1} =
1\)
c) \(\lim\dfrac{2n^{3} + 2n - 1}{3n^{3} - n+ 3} = \lim\frac{2 + \dfrac{2}{n^{2}} - \dfrac{1}{n^{3}}}{3 -\dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{3}{n^{3}}} = \dfrac{2}{3}\)
d) \(\lim\left( \sqrt{n^{2} + 2n + 3} - n
\right)\)
\(= \lim\frac{\left( \sqrt{n^{2} + 2n + 3}
- n \right)\left( \sqrt{n^{2} + 2n + 3} + n \right)}{\left( \sqrt{n^{2}
+ 2n + 3} + n \right)}\)
\(= \lim\frac{2n + 3}{\sqrt{n^{2} + 2n +
3} + n}\)
\(= \lim\dfrac{2n + \dfrac{3}{n}}{\sqrt{1 +\dfrac{2}{n} + \dfrac{3}{n^{2}}} + 1} = 1\)
C. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn \(u_{1};u_{1}q;u_{2}q^{2};...;u_{1}q^{n -
1};...\) có công bội \(q\) thỏa mãn \(|q| < 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn được tính bằng công thức:
\(S_{n} = u_{1} + u_{1}q + u_{2}q^{2} +
... = \frac{u_{1}}{1 - q}\)
Ví dụ: Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là \(\frac{3}{4}\), số hạng đầu là một số dương.
Hướng dẫn giải
Gọi \(u_{1}\) là số hạng đầu, \(q\) là công bội và \(S\) là tổng của cấp số nhân đã cho.
Khi đó: \(S_{n} = \frac{u_{1}}{1 -
q}\)
Theo bài ra ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix}\dfrac{u_{1}}{1 - q} = 12 \\u_{1}(1 - q) = \dfrac{3}{4} \\u_{1} > 0 \\\end{matrix} \right.\)
Nhân 2 phương trình của hệ trên với nhau ta được \({u_{1}}^{2} = 9;\left( u_{1} > 0 \right)
\Rightarrow u_{1} = 3\)
Thay ngược số hạng đầu vừa tìm được vào hệ phương trình ta được \(q = \frac{3}{4}\)
Vậy cấp số nhân đã cho có số hạng đầu \(u_{1} = 3\) và công bội \(q = \frac{3}{4}\) .
D. Giới hạn vô cực
- Ta nói dãy số \(\left( u_{n}
\right)\) có giới hạn là \(+
\infty\) nếu \(n \rightarrow +
\infty\) lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\lim u_{n} = + \infty\) hay \(u_{n} \rightarrow + \infty\) khi \(n \rightarrow + \infty\).
- Ta nói dãy số \(\left( u_{n}
\right)\) có giới hạn là \(-
\infty\) khi \(n \rightarrow +
\infty\) nếu \(\lim\left( - u_{n}
\right) = + \infty\) kí hiệu là \(\lim
u_{n} = - \infty\) hay \(u_{n}
\rightarrow - \infty\) khi \(n
\rightarrow + \infty\).
Chú ý:
- \(\lim n^{k} = + \infty;\left( k \in
\mathbb{N}^{*} \right)\)
- \(\lim q^{n} = + \infty;\left(
q\mathbb{\in R};q > 1 \right)\)
- \(\lim u_{n} = + \infty \Leftrightarrow
\lim\left( - u_{n} \right) = - \infty\)
- Nếu \(\lim u_{n} = a\) hoặc \(\lim v_{n} = + \infty;\left( \lim v_{n} = - \infty
\right)\) thì \(\lim\frac{u_{n}}{v_{n}}
= 0\)
- Nếu \(\lim u_{n} = a;(a > 0)\) và \(\lim v_{n} = 0;v_{n} > 0\) với mọi n thì \(\lim\frac{u_{n}}{v_{n}} = 0 = +
\infty\)
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
| a) \(\lim\frac{n^{5} + n^{4} - n -
2}{4n^{3} + 6n^{2} + 9}\) |
b) \(\lim\frac{\sqrt[3]{n^{6} - 7n^{3} -
5n + 8}}{n + 12}\) |
| c) \(\lim\frac{n\sqrt{n} + \sqrt[3]{n^{2}
+ 2} + n^{3}}{n^{2} + n\sqrt{n} - 12}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(\lim\frac{n^{5} + n^{4} - n -
2}{4n^{3} + 6n^{2} + 9}\)
\(= \lim\dfrac{n^{2} + n - \dfrac{1}{n} -\dfrac{2}{n^{3}}}{4 + \dfrac{6}{n} + \dfrac{9}{n^{3}}}\)
\(= \lim\frac{n^{2} + n}{4} = +
\infty\)
b) \(\lim\frac{\sqrt[3]{n^{6} - 7n^{3} - 5n
+ 8}}{n + 12}\)
\(= \lim\dfrac{\sqrt[3]{n^{3} - 7 -\dfrac{5}{n^{2}} + \dfrac{8}{n^{3}}}}{1 + \dfrac{12}{n}} = +\infty\)
c) \(\lim\frac{n\sqrt{n} + \sqrt[3]{n^{2} +
2} + n^{3}}{n^{2} + n\sqrt{n} - 12}\)
\(= \lim\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{n}} +\sqrt[3]{\dfrac{n^{2} + 2}{n^{6}}} + n}{1 + \dfrac{1}{\sqrt{n}} -\dfrac{12}{n^{2}}} = + \infty\)
